<<<Vissza a Handouthoz

 

Teljes  levelezésem Mekis Péterrel a Cantor cikkem elutasítása kapcsán

Az egyik emailben egy  ponton részemről elhangzott, hogy mostantól „ringen kívül” megy a levélváltás. Mekis Péter 2010.10.07.én kelt emailjében kifejezetten azt kérte tőlem, hogy – a többivel együtt - az ez utáni emaileket is rakjam fel a honlapomra. E kérése kapcsán magát kimondottan magánszemélyként deklarálta. 

Kérésének eleget teszek.  Az összes e témában vele folytatott emailt változtatás nélkül felrakom a mai napon: : 2010.10.08. –án.

Az első levél és az arra adott válaszom átfedésben van a MALevelezés.htm -el, az egységes szerkezet érdekében.

Budapest, 2010.10.08.

Geier János

 

 

1. levél

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. augusztus 25. 11:45

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk - állásfoglalás

 

Tisztelt Geier Úr!

Kérésére elismétlem a gondolatmenetével kapcsolatos legfontosabb
(pontosabban általam legfontosabbnak tartott) kifogásaimat.

Az Ön által vázolt Cantor-bizonyításban nem keletkezik értékrés. A B,
T és t szimbólumok ugyanis egzisztenciális kvantorral kötött változók,
nem pedig névkonstansok. Az, hogy a bizonyítás kifejtésekor nem minden
formulában írjuk ki az őket kötő kvantorokat, kényelmes megoldás,
amely követhetővé teszi a bizonyítást, de annak tisztán formális
kifejtésekor eltűnik. Indirekt feltevése szerint "létezik B: M->H
bijektív leképezés"; itt még explicit az egzisztenciális kvantor. A T
elem ennek a függvényében van megadva, tehát a megfelelő, teljesen
kiírt formulákban a T-t kötő kvantor a B-t kötő kvantor hatókörén
belül szerepel. És így tovább.

Mármost az egzisztenciális kvantorral kifejezett létezési állítások
nem okoznak értékrést; a "van olyan x, hogy x páros is meg páratlan
is" mondat a szokásos kontextusokban hamis (mert x egyetlen értékelése
sem elégíti ki); a standard elsőrendű szemantika szabályai szerint
x-nek ettől függetlenül van értéke. (Ezért okoz kisebb gubancot, ha a
"Van Isten" mondatban az "Isten" szót némi blaszfémiával
predikátumnak, a létezést pedig egzisztenciális kvantifikációnak
értjük, nem pedig tulajdonnévnek, illetve predikátumnak.)

De formális matematikai kontextusban a névkonstansok sem okozhatnak
értékrést. Kétféle névkonstanst szoktunk megkülönböztetni: a
primitíveket, amelyek a nyelv alapjelei közé tartoznak, és a
definícióval bevezetetteket. A primitív konstansok azért nem lehetnek
értékrésesek, mert a nyelv interpretációjakor automatikusan jelölet
rendelődik hozzájuk; a definícióval bevezetettek pedig azért, mert
azok csak rövidítések, és a levezetések minden egyes formulájából
kiküszöbölhetők. (Ha a matematikát halmazelméletbe ágyazva fejtjük ki,
minden konstans definícióval bevezetett lesz, mert a halmazelmélet
nyelve csak egy (olykor két) relációs szimbólumot tartalmaz. De
bármely elmélet kifejthető pusztán predikátumokkal.)

Kérdés persze, hogy mennyiben alkalmazhatók egy naiv halmazelméleti
gondolatmenetre a standard elsőrendű szintaxis és szemantika
szabályai. Ön a dolgozatában úgy döntött, hogy alkalmazhatók; a fenti
bírálatban ehhez alkalmazkodtam. Érdemes azonban ezt is szétszálazni.
1. Ha naiv halmazelméleten Cantor informális gondolatmeneteit értjük,
akkor azt az elsőrendű kifejtés a modern logika előfeltevésrendszere
szerint rekonstruálja, ami egy sor interpretációs problémát vet fel,
és ezekkel külön-külön foglalkozni kell. Az ilyen rekonstrukciók külön
műfajt alkotnak a logikatörténeten belül.
2. Naiv halmazelméleten szokás elsőrendben kifejtett axiomatikus
elméletet is érteni, amely az extenzionalitási axiómából és a
korlátlan komprehenziós sémából áll ("van olyan x, hogy bármely y-ra y
eleme x-nek a.cs.a., ha F", ahol F a nyelv tetszőleges formuláját
képviselheti). E korlátlan komprehenziós sémából következik a
Zermelo-Fraenkel halmazelmélet részhalmaz-axiómasémája, ezért az Ön
részhalmaz-sémát mellőző gondolatmenetébe nem illik bele.
3. Ha naiv halmazelméleten a tankönyvek informális fejtegetéseit
értjük, akkor ezeket érdemes axiomatikus kontextusban felírt formális
levezetések népszerű kifejtéseinek értenünk, amelyekben rengeteg
egyszerűsítés és kihagyott részlet van. Ezek roppant bosszantóak a
figyelmes olvasó számára, de némi türelemmel és utánajárással
feltérképezhetők azok a fordítási konvenciók, amelyekkel a népszerű
gondolatmenet és a formális levezetés lefordíthatók egymásba. A
cikkéből az derült ki, hogy ezt a harmadik utat követi; a fenti
bírálatomban pedig az általam megfelelőnek vélt konvenciókkal
hozakodtam elő.

Hadd térjek ki az indirekt bizonyítás kérdésére is. A standard
elsőrendű logika keretein belül bármely indirekt bizonyítás
lefordítható direkt bizonyítássá. Ezt a következőképpen mutathatjuk
meg. Legyen G formulahalmaz, F formula, H formula, |- a levezetés
jele, ~ a negációé, & a konjunkcióé, -> pedig a kondicionálisé.
1. G, ~F |- H & ~H      -- F indirekt módon levezethető a G premisszákból.
2. G |- ~F -> (H & ~H) -- a fenti metanyelvi formulára alkalmaztuk a
dedukciótételt.
3. G |- F                    -- F direkt módon is levezethető G-ből;
alkalmaztuk a standard elsőrendű logikában érvényes "(~F -> (H & ~H))
<-> F" tautológiát; ez a kalkulusban levezethető, de akár
igazságtáblázattal is ellenőrizhető.
A fenti gondolatmenet természetesen nem adja kezünkbe egy konkrét
indirekt bizonyítás direkt párját, de szavatolja annak létezését. Ha
jól emlékszem, Máté kolléga az Ön dolgozatának vitáján be is mutatta a
Cantor-bizonyítás direkt változatát. A fenti, általánosabb okfejtés
csak annyiban érdekes, hogy kiderül belőle: a standard logika keretei
között stiláris kérdés, hogy direkt vagy indirekt bizonyítást
választunk-e. A kétfajta bizonyítás között nincs elvi különbség. Ön
azt írja: "az indirekt bizonyítás végén kimondott állítás egy
metaállítás, ellentétben a direkt bizonyítással, amikor is végig belső
állítások szerepelnek a levezetés során". Ez tévedés. Maga az
ellentmondás (fentebb "H & ~H") tárgynyelven van. Ha ehhez metanyelven
hozzátesszük, hogy "és ellentmondásra jutottunk", az annyi, mint ha
egy direkt bizonyítás végére odabiggyesztjük, hogy "QED"; metanyelvi
pontot tesz egy tárgynyelvi formulasorozat végére.

Néhány megjegyzés a részhalmaz-séma státuszával kapcsolatban.
1. Ez a séma nem esszenciális része a Zermelo-Fraenkel (ZF)
halmazelméletnek; levezethető ugyanis a többiből. Azért szokták külön
felírni, mert a pótlási sémát (behelyettesítési sémát, replacementet,
Ruzsa, ha jól emlékszem, Fraenkel-axiómának nevezi) nélkülöző, ZF-nél
lényegesen gyengébb Zermelo-halmazelméletből (Z) viszont nem hagyható
el.
2. Ha a Cantor-tétellel helyettesítenénk a részhalmaz-sémát, az ZF-et
nem érintené, Z viszont jócskán gyengülne; alapvető dolgokat nem
lehetne benne bizonyítani.
3. Ön szerint a részhalmaz-sémának "van ugyan véges tapasztalat az
alátámasztására, de végtelenre való korlátlan általánosítását
semmiféle tapasztalat nem támasztja alá. Itt egyfajta célszerűség
dominál az okszerűség felett." Ezek a megjegyzések felvetnek néhány
matematikafilozófiai problémát. Ha tapasztalaton olyasféle intuitív
belátást értünk, amilyenről Gödel ír platonista korszakában, akkor a
végtelen nem jelent korlátozást. Ha empirikus tapasztalatot, akkor meg
kellene mondanunk, hogy a fizikai valóság mely jelenségeit nevezzük
halmazoknak. Kétséges, hogy bármely ilyen beazonosítás kielégítő
lenne-e a matematikus közösség számára. Az empíria természetesen
motiválhat egy matematikai axiómarendszert, de alá nem támaszthatja
azt. Az axiómák megválasztása mindig önkényes lépés, amelyet három
alapvető szempont korlátoz: a) a konzisztencia; b) az, hogy az adott
területen elfogadott állítások levezethetőek legyenek; c) az, hogy az
axiómák intuitíve elfogadhatóak legyenek. (Természetesen további
szempontok is közrejátszhatnak még; például a más rendszerekkel való
összhang, vagy az elegancia.) Ilyen értelemben mindig a célszerűség
dominál az okszerűség felett.

Gondolatmenetének filozófiatörténeti kontextusa különösen izgalmas. A
nemlétezőről való beszéd problémáját a hagyomány Parmenidésztől
eredezteti (bár explicit formában először Platónnál jelenik meg):
miről beszélünk akkor, amikor valaminek a létezését tagadjuk? Talán
nem túlzás azt állítani, hogy a modern logika egyik legfontosabb
vívmánya e probléma eliminálása -- legalábbis a formális vagy formális
eszközökkel rekonstruálható gondolatmenetekből. Dolgozata tehát
merészen anakronisztikus; formális logikai eszközök sajátos
értelmezésével igyekszik egy megnyugtatóan lezártnak gondolt problémát
visszacsempészni a filozófiába. Ehhez azonban mindenképpen szükséges
volna a vonatkozó szakirodalomra (mindenekelőtt Quine "Arról, hogy mi
van" című cikkére) való reflexió.

Örömömre szolgál, hogy mind dolgozatában, mind leveleiben
különválasztja a vita tárgyszerű kérdéseit (ki mit mond, és igaza
van-e) a motívumok kérdéskörétől (ki miért képviseli a maga
álláspontját). Ehhez alkalmazkodva én is csak a fentiektől függetlenül
utalnék röviden a motívumainkra. Ha egy tétel széles körben elfogadott
bizonyításáról kiderül, hogy hibás (amint az például a négyszín-tétel
hosszú történetében többször is megesett), azt szerintem mindenképpen
pozitív fejleménynek kell tekinteni. Az ilyen fejlemények mindig
frissítő hatással vannak a tudományra, akár a tétel feladásával
reagálunk rájuk, akár új bizonyítás keresésével, vagy esetleg új,
gazdagabb elmélet konstrukciójával. Személy szerint alig várom, hogy
inkonzisztensnek bizonyuljon a halmazelmélet standard ZF
axiómarendszere. (Sajnos ennek nem sok jele mutatkozik.) Szóval azt,
hogy érdekeink fűződnének az Ön ignorálásához, a magam részéről
tisztelettel elutasítom. Mellesleg mind tanszékünknek, mind kis
hazánknak rendkívül jól jönne egy tudományos szenzáció.
Gondolatmenetét ennek megfelelően a tőlünk telhető legnagyobb
körültekintéssel vizsgáltuk meg.

Tisztelettel:

Mekis Péter

 

Válaszom az 1. levélre, egyben szerepel a „ringen kívül” kifejezés.

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. augusztus 30. 14:54

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk - állásfoglalás

 

Tisztelt Mekis úr!

Élőben tegeződtünk, de maradhat a magázódás.

Köszönöm levelét, ez már kellően részletes, és a szándéka szerint valóban
cáfolat.
Azonban én nem fogadom el cáfolatnak, mert meglátásom szerint levelében
foglaltakat az "ignoratio elenchi" kifejezéssel lehet leginkább jellemezni.
Az ezzel kapcsolatos kifogásaimat alább fogom részletezni. Előtte azonban
szeretnék néhány dolgot (sajnos ismételten) leszögezni:

1 Továbbra sem kaptam semmiféle választ arra, mi a visszatáncolás
magyarázata. (ld. előző levelem)

>Kérésére elismétlem a gondolatmenetével kapcsolatos legfontosabb
>(pontosabban általam legfontosabbnak tartott) kifogásaimat.

2 Továbbra sem kaptam olyan bírálatot, melyre elmondható lenne, hogy
"konszenzusos álláspontunkat tartalmazza". Ez az előbbi mondatából is
látszik. Így levelében foglaltakat nem tudom másnak tekinteni, mint egy
magánvéleménynek.

3 Levele végén tisztelettel visszautasítja, hogy én itt mismásolást sejtek.
A helyzet az, hogy nekem van egy alapelvem az ilyen esetekre: ha világos
kérdésre nem kapok világos választ, akkor az illetőről - e kérdés
vonatkozásában - a lehető legnegatívabbat tételezem fel. (Nem tud rá
válaszolni, tudna, de az árulkodó lenne stb.)  Az előbbi két pont kapcsán ez
sajnos még most is áll. Az Ön  levelét viszont tisztességesnek tartom.

4 Mivel többszöri kérdésre sem kaptam választ az előbbi 1 2 pontokra, a
dolognak ezt a részét nem erőltetem tovább. A nemválasz is válasz. Számomra
nem létkérdés, hogy a cikkem épp a Világosságban jelenjen meg. Ezért,
mintegy "ringen kívül", rátérek a szakmai részre.


A levelében foglaltakról az a tömör véleményem, hogy ez eklatáns
mintapéldája annak a klasszikus mondásnak, miszerint: akinek csak egy
kalapácsa van, az mindent szögnek néz. Én egy matematikai gondolatmenetről
mutattam ki, matematikai elvekre lapozva és matematikai gondolatmenettel,
hogy az hibás. Erre fel kapok egy filozófiai, absztrakt logikai elemzést. Ön
filozófus (ha jól sejtem), én matematikus (is) vagyok. Így tehát adott a
lehetősége az egymás mellett való elbeszélésnek - és ez félig-meddig létre
is jött. Mindenesetre megpróbálom visszaterelni a gondolatmenetet az eredeti
folyásba.

Én a matematikát a tiszta, világos (és kalandos) gondolkodás iskolájának
tekintem, nem pedig formális lépések sorozatának. Én, ahol csak lehet,
gondolatmenetről beszélek, nem pedig levezetésről: egy bizonyítás gondolatok
egymásutánja. Ezeket természetesen valahogyan le kell írni, le is írjuk élő
szóban és a szükséges mértékben formulákkal. A formulák részei az élő szóban
kifejtett mondatoknak, segédeszközök, hogy tömörebb és átláthatóbb legyen a
leírás. Egy másodfokú egyenletet is el lehet mondani a,b,c és x jelek
nélkül: gondoltam egy számot, megszoroztam önmagával, ezt megszoroztam 3
mal. stb. De tömörebb az algebrai írásmód. Én a szokásos, klasszikus (ha
tetszik "naív halmazelméleti") Cantor bizonyítás rekonstruálásában a logikai
jeleket ugyanebben az értelemben használtam. Itt tehát semmiféle fordítási
(élő szóból logikai formulára történő) probléma nem merülhet fel.


>Az Ön által vázolt Cantor-bizonyításban nem keletkezik értékrés. A B,
>T és t szimbólumok ugyanis egzisztenciális kvantorral kötött változók,
>nem pedig névkonstansok. Az, hogy a bizonyítás kifejtésekor nem minden
>formulában írjuk ki az őket kötő kvantorokat, kényelmes megoldás,
>amely követhetővé teszi a bizonyítást, de annak tisztán formális
>kifejtésekor eltűnik. Indirekt feltevése szerint "létezik B: M->H
>bijektív leképezés"; itt még explicit az egzisztenciális kvantor. A T
>elem ennek a függvényében van megadva, tehát a megfelelő, teljesen
>kiírt formulákban a T-t kötő kvantor a B-t kötő kvantor hatókörén
>belül szerepel. És így tovább.


Hogy ez így van-e a "a standard elsőrendű szintaxis és szemantika szabályai"
szerint, azt itt nem vitatom, mert mellékútra vezetne. De szeretném felhívni
a figyelmét a "Tétel_2"  re és annak vége után kimondott "Következmény" re.
Ez kimondja, hogy a Tétel_1 bizonyítása során, elérve a (*) pontot, a
megadott feltételek mellett a T nem létezik. Ezért a (*) ponton túl a
bizonyítás nem folytatható. Ezt feketén-fehéren bebizonyítottam, eddig senki
nem mutatott ki hibát se a Diagonalizációs tételem, se a Tétel_2
bizonyításában.

Kérdésem_1: lát matematikai hibát a gondolatmenetemben? Ha igen, hol?

Ruzsa nyomán én szemantikai értékrésnek tekintem ezt a helyzetet: a T egy
jel, de amit jelölne, az az adott feltételek mellett nem létezik. (Van e
légköre a Merkur bolygó holdjának?) Ha most Ön erre azt mondja, hogy itt
mégsincs szemantikai értékrés, akkor csupán elnevezésen vitatkozunk. A
lényeg a Tétel_2 ben megfogalmazott matematikai állítás, és annak
következménye: (*) ponton túl a levezetés nem folytatható, hasonlóan a 0 val
való osztáshoz, amint az a cikkemben és az előadásomban kifejtettem.

Kérésem_2: meg tudná adni azt a "tisztán formális kifejtést", ahol a T előtt
a "minden" vagy "vanolyan" kvantor szerepel?

>Mármost az egzisztenciális kvantorral kifejezett létezési állítások
>nem okoznak értékrést; a "van olyan x, hogy x páros is meg páratlan
>is" mondat a szokásos kontextusokban hamis (mert x egyetlen értékelése
>sem elégíti ki); a standard elsőrendű szemantika szabályai szerint
>x-nek ettől függetlenül van értéke.

Ez érdekes, ilyenről még sose hallottam. Ha a szokásos kontextus
(=természetes matematikai gondolkodásnmód) és a formális logika között
ekkora eltérés van, az igencsak elgondolkodtató.

Meg tudná mondani, mi az x értéke ilyenkor?

Egyébként pedig: én egy "szokásos kontextus" szerinti gondolatmenetet
mondtam el, ott pedig Ön is elismeri, hogy ilyenkor nincs olyan x, mely e
feltételt kielégíti. Maradjunk e szokásos kontextusnál.

>De formális matematikai kontextusban a névkonstansok sem okozhatnak
>értékrést. Kétféle névkonstanst szoktunk megkülönböztetni: a
>primitíveket, amelyek a nyelv alapjelei közé tartoznak, és a
>definícióval bevezetetteket. A primitív konstansok azért nem lehetnek
>értékrésesek, mert a nyelv interpretációjakor automatikusan jelölet
>rendelődik hozzájuk; a definícióval bevezetettek pedig azért, mert
>azok csak rövidítések, és a levezetések minden egyes formulájából
>kiküszöbölhetők. (Ha a matematikát halmazelméletbe ágyazva fejtjük ki,
>minden konstans definícióval bevezetett lesz, mert a halmazelmélet
>nyelve csak egy (olykor két) relációs szimbólumot tartalmaz. De
>bármely elmélet kifejthető pusztán predikátumokkal.)

Maradjunk a szokásos kontextusánál. Ezt a dolgozatomban is erőteljesen
kellően hangsúlyoztam, és indokoltam az okát.

>Kérdés persze, hogy mennyiben alkalmazhatók egy naiv halmazelméleti
>gondolatmenetre a standard elsőrendű szintaxis és szemantika
>szabályai. Ön a dolgozatában úgy döntött, hogy alkalmazhatók; a fenti
>bírálatban ehhez alkalmazkodtam.

Én nem döntöttem így. Fent már említettem: nálam a formulák az élő nyelven
kifejtett gondolatmenet részei, tömörítés és átláthatóság kedvéért. Ha
"minden" helyett fejre állított A-t írok,  vagy "van olyan" helyett
tükrözött E-t, csak csupáncsak gyorsírás.


>Érdemes azonban ezt is szétszálazni.
>1. Ha naiv halmazelméleten Cantor informális gondolatmeneteit értjük,
>akkor azt az elsőrendű kifejtés a modern logika előfeltevésrendszere
>szerint rekonstruálja, ami egy sor interpretációs problémát vet fel,
>és ezekkel külön-külön foglalkozni kell. Az ilyen rekonstrukciók külön
>műfajt alkotnak a logikatörténeten belül.

Kérdésem_3: Az én dolgozatomban lát olyan interpretációt, ami problematikus?

>2. Naiv halmazelméleten szokás elsőrendben kifejtett axiomatikus
>elméletet is érteni, amely az extenzionalitási axiómából és a
>korlátlan komprehenziós sémából áll ("van olyan x, hogy bármely y-ra y
>eleme x-nek a.cs.a., ha F", ahol F a nyelv tetszőleges formuláját
>képviselheti). E korlátlan komprehenziós sémából következik a
>Zermelo-Fraenkel halmazelmélet részhalmaz-axiómasémája, ezért az Ön
>részhalmaz-sémát mellőző gondolatmenetébe nem illik bele.

Hát, ha "is", akkor azt kell megállapítani, hogy én nem erről a fajta 'naiv'
halmazelméletről beszélek.  Nem gondolom, hogy ez a megjegyzése a dolgozatom
lényegét érintené.

>3. Ha naiv halmazelméleten a tankönyvek informális fejtegetéseit
>értjük, akkor ezeket érdemes axiomatikus kontextusban felírt formális
>levezetések népszerű kifejtéseinek értenünk, amelyekben rengeteg
>egyszerűsítés és kihagyott részlet van.

Szerintem meg éppen hogy fordítva van, amit az idősorrend is egyértelműen
bizonyít: a Cantor tétel szóbeli (nemformális, matematikai stílusú)
kifejtése volt előbb (1891), és csak jóval későbbi az axiomatikus felépítés.
Ruzsa általam idézett műve szerint "naív halmazelmélet" alatt cseppet sem a
tankönyvek népszerű fejtegetéseit értjük, hanem a Hilbert-program előtti
halmazelméletet. Egyebek között épp erről szól a dolgozatom. (Ön is ajánlott
nekem olvasmányt, hadd ajánljak én is: Ruzsa, 1966.)


>Ezek roppant bosszantóak a
>figyelmes olvasó számára, de némi türelemmel és utánajárással
>feltérképezhetők azok a fordítási konvenciók, amelyekkel a népszerű
>gondolatmenet és a formális levezetés lefordíthatók egymásba. A
>cikkéből az derült ki, hogy ezt a harmadik utat követi; a fenti
>bírálatomban pedig az általam megfelelőnek vélt konvenciókkal
>hozakodtam elő.

Az idézett gondolatmenetet én nem nevezném "népszerűnek". Minden jel szerint
ez  Cantor eredeti gondolatmenete. (Cantor eredeti hatványhalmaz tétel
bizonyításának sajnos nem jutottam nyomára, de a valós számok nem
megszámlálhatóságáról szóló tétel fénymásolatban rendelkezésemre áll. Az is
egy "népszerű kifejtése" lenne az "axiomatikus kontextusban kifejtett"
levezetésnek?)

Kérdésem_4: tudna megadni nekem olyan szakirodalmi referenciát, ahol a
Cantor tétel "nem-népszerű"   (=standard elsőrendű logika szerinti)
formában van levezetve?

>Hadd térjek ki az indirekt bizonyítás kérdésére is. A standard
>elsőrendű logika keretein belül bármely indirekt bizonyítás
>lefordítható direkt bizonyítássá.

Én nem a standard elsőrendű logika szerint érveltem, hanem matematikai
gondolatsorral. ld. fent. Így ez a bekezdés itt irreleváns.

Nézzük mégis..:

>Ezt a következőképpen mutathatjuk
>meg. Legyen G formulahalmaz, F formula, H formula, |- a levezetés
>jele, ~ a negációé, & a konjunkcióé, -> pedig a kondicionálisé.
>1. G, ~F |- H & ~H      -- F indirekt módon levezethető a G premisszákból.
>2. G |- ~F -> (H & ~H) -- a fenti metanyelvi formulára alkalmaztuk a
>dedukciótételt.
>3. G |- F                    -- F direkt módon is levezethető G-ből;
>alkalmaztuk a standard elsőrendű logikában érvényes "(~F -> (H & ~H))
><-> F" tautológiát; ez a kalkulusban levezethető, de akár
>igazságtáblázattal is ellenőrizhető.
>A fenti gondolatmenet természetesen nem adja kezünkbe egy konkrét
>indirekt bizonyítás direkt párját, de szavatolja annak létezését.

Kérdésem_5: Meg tudná nekem adni a Cantor tétel direkt bizonyítását?

>Ha jól emlékszem, Máté kolléga az Ön dolgozatának vitáján be is mutatta a
>Cantor-bizonyítás direkt változatát.

Nem adta meg. Amit Máté András ennek nevezett a plénum előtt, az egy nyers
vázlata valaminek, amiben én másnapra (miután megkaptam tőle a korábbra
ígért írásbeli szöveget)  kimutattam ugyanazt a hibát. Indirekt bizonyítás
volt az is, azzal a "csellel", hogy az indirekt feltételt nem az elején
mondta ki, később viszont becsempészte a gondolatmenetbe.

>A fenti, általánosabb okfejtés
>csak annyiban érdekes, hogy kiderül belőle: a standard logika keretei
>között stiláris kérdés, hogy direkt vagy indirekt bizonyítást
>választunk-e. A kétfajta bizonyítás között nincs elvi különbség. Ön
>azt írja: "az indirekt bizonyítás végén kimondott állítás egy
>metaállítás, ellentétben a direkt bizonyítással, amikor is végig belső
>állítások szerepelnek a levezetés során". Ez tévedés. Maga az
>ellentmondás (fentebb "H & ~H") tárgynyelven van. Ha ehhez metanyelven
>hozzátesszük, hogy "és ellentmondásra jutottunk", az annyi, mint ha
>egy direkt bizonyítás végére odabiggyesztjük, hogy "QED"; metanyelvi
>pontot tesz egy tárgynyelvi formulasorozat végére.

Megnézem a dolgozatot: valóban pontatlanul fogalmaztam, ez az én hibám. (A
kérdés mellékszál, írtam is, hogy mellesleg. ..ha már erről van szó.) Az
előadáson viszont ezt mondtam el, idézet a ppt ből:

A feltételek által adott "játszótérről" áttérünk egy másik "játszótérre", és
ott egy "meta-kapura" focizunk,
azaz
Tegyük fel, hogy (P1,P2..Pn), akkor K
helyett

      Tegyük fel, hogy (P1,P2, .. Pn , ?K),  akkor "abszurdum"

(3 metalépés közbeiktatva. Ez gyengít, de ez nem baj, ha nincs más.)


Noha valóban mellékszál, azért folytatom:
A korábban kifejtett nézőpontom szerint a QED-t nem "csak úgy
odabiggyesztjük" a levezetés végére. Ez szerves része egy matematikai
gondolatmeneteket tartalmazó dolgozatoknak. (Meg kell őket nézni - véges
tapasztalat. Mindenütt ott van, esetleg qed helyett más lezáróval, vagy
implicite, de a szövegből kiderül, hol van vége a bizonyításnak.) Az
indirekt bizonyításnál pedig még inkább így van. Én az indirekt bizonyítás
utolsó állítása alatt (és valóban, itt félreérthetően fogalmaztam) ezt
értettem: 'tehát ellentmondásra jutottunk'. Ennek kimondására szükség van
annak érdekében, hogy vissza tudjunk menni az "eredeti játszótérre." Nem
szabad elfelejteni: mi az eredeti tételt akarjuk bizonyítani, ide vissza
kell térni. Ha ezt nem mondja ki, hogyan tér vissza?  Továbbra is tartom:
egy tétel indirekt módszerrel való bizonyítása 3 metalépés közbeiktatásával
történik. De, mint említettem, ez mellékszál.

A továbbiakra már nem reflektálnék ilyen részletesen, csak egyetlen
megjegyzésére:

>Dolgozata tehát merészen anakronisztikus; formális logikai eszközök sajátos
> értelmezésével igyekszik egy megnyugtatóan lezártnak gondolt problémát
> visszacsempészni a filozófiába.

A "merészen anakronisztikus" ebben a kontextusban számomra hízelgő: épp ezt
akartam. Gomboljuk újra a kabátot. Lehet, hogy itt lesz a megoldás a várva
várt áttörésre. Hadd idézzek a ppt -mből:

És még Neumanntól u.ott: "., számomra az egyetlen megoldásnak látszik a
megfiatalító visszatérés a forráshoz: többé-kevésbé közvetlen tapasztalati
eszmék újragondolásához."

A "formális logikai eszközök sajátos értelmezésével" ellen tiltakozom.
Fentebb említettek szerint: én ezeket a formulákat úgy használom, mint a
másodfokú egyenlet levezetésénél az algebrát. Több helyen egyből meg is
adtam az oda-vissza fordítást. (nem mindenüt, a szókorlát miatt.) A
filozófiába meg végképp nem akarok visszacsempészni semmit: én egy
matematikai hibáról beszélek. Hogy ennek mik a matematika-filozófiai
következményei, azt a filozófusokra hagyom.
Ami végül a "megnyugtatóan lezártnak gondolt problémát" illeti: sokan
gondolják úgy, hogy nem lezárt. Dolgozatomban (a szókorláton belül)
igyekeztem azt is megmutatni, hogy a halmazelméletre vonatkozó hilberti
program (ezen belül ZF ax.) sokkal inkább szociológiai-pszichológiai, mint
csupán matematikai kérdés volt annak idején.

Üdvözlettel
Geier János

 

2. levél.

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 1. 13:40

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk - állásfoglalás

 

Tisztelt Geier Úr!

Engedje meg, hogy a vita parttalanná válását elkerülendő először csak
az ötödik kérdésére válaszoljak. A többi elől sem akarok kihátrálni,
de először adnék egy direkt bizonyítást a Cantor-tételre. (Nem tudom,
hogy ez mennyire esik egybe Máté kolléga változatával.) A bizonyítás
szándékosan el lesz bonyolítva felesleges esetszétválasztásokkal;
ezekre késobb még visszatérek.

Tétel: Egyetlen halmazból sem vezet bijektív függvény a hatványhalmazába.

Bizonyítás: Mivel minden bijektív függvény egyben szürjektív is, elég
megmutatnunk, hogy egyetlen halmazból sem vezet szürjektív függvény a
hatványhalmazába. Tekintsünk tetszőleges H halmazt. Legyen P(H) a H
halmaz részhalmazainak halmaza. Legyen f:H->P(H) tetszőleges függvény
(értelmezési tartománya H, értékkészlete része P(H)-nak). Vizsgáljuk
meg, hogy f szürjektív-e (értékkészlete egyenlo-e P(H)-val).
1. eset: H üres. Ekkor f üres, P(H) egyelemű, és ez az egyetlen elem
nem képe semminek, f tehát nem szürjektív.
2. eset: H nem üres. Legyen C a H azon x elemeinek összessége,
amelyekre x nem eleme f(x)-nek. C részhalmaza H-nak, tehát eleme
P(H)-nak.
2a. eset: C üres. Ekkor a feltételek szerint a komplementere egybeesik
H-val, ami nem üres. Vegyuk most C komplementerének tetszőleges y
elemét. Feltételeink szerint y nem eleme C-nek, de y eleme f(y)-nak;
ebből következik, hogy f(y) nem egyenlő C-vel. Tehát C olyan eleme
P(H)-nak, amely H egyetlen elemének sem képe, vagyis f nem szürjektív.
2b. eset: C komplementere üres. Ekkor a feltételek szerint C egybeesik
H-val, tehát nem üres. Vegyük most C tetszőleges x elemét.
Feltételeink szerint x eleme C-nek, de x nem eleme f(x)-nek; ebből
következik, hogy f(x) nem egyenlő C-vel. Tehát C olyan eleme P(H)-nak,
amely H egyetlen elemének sem képe, vagyis f nem szürjektív.
2c. eset: Sem C, sem a komplementere nem üres. Vegyük C tetszőleges x
elemét. Feltételeink szerint x eleme C-nek, de x nem eleme f(x)-nek;
ebből következik, hogy f(x) nem egyenlő C-vel. Vegyuk most C
komplementerének tetszőleges y elemét. Feltételeink szerint y nem
eleme C-nek, de y eleme f(y)-nak; ebből következik, hogy f(y) nem
egyenlő C-vel. Tehát C olyan eleme P(H)-nak, amely H egyetlen elemének
sem képe, vagyis f nem szürjektív.
Mivel f tetszőleges volt, levonhatjuk a következtetést, hogy H-ból
P(H)-ba képezo függvények mindegyikének értékkészlete valódi része
P(H)-nak, vagyis nincs szürjektív függvény H-ból P(H)-ba. Q.E.D.

Ebben a bizonyításban nem éltünk indirekt feltevéssel. Végig
tetszőleges halmazokról (elemekről, függvényekről stb.) beszéltünk, és
esetszétválasztással biztosítottuk, hogy általános kijelentéseinkre
minden esetben létezzenek pozitív példák. Így egyszer sem vetődött fel
a kérdés, hogy amiről beszélünk, létezik-e.

A bizonyításban a további viták megelőzése érdekében, felesleges
esetszétválasztással elkerültük az üres általánosításokat. A modern
matematikai standardben a "minden kettőnél nagyobb páros prímszám
nagyobb, mint egy" típusú mondatokat igaznak tekintjük. (Vagyis nem
tulajdonítunk egzisztenciális súlyt az univerzális kijelentéseknek.)
Az esetszétválasztások így elhagyhatóak, segítve a kifejtés
eleganciáját:

Bizonyítás': Mivel minden bijektív függvény egyben szürjektív is, elég
megmutatnunk, hogy egyetlen halmazból sem vezet szürjektív függvény a
hatványhalmazába. Tekintsünk tetszőleges H halmazt. Legyen P(H) a H
halmaz részhalmazainak halmaza. Legyen f:H->P(H) tetszőleges függvény
(értelmezési tartománya H, értékkészlete része P(H)-nak). Vizsgáljuk
meg, hogy f szürjektív-e (értékkészlete egyenlő-e P(H)-val). Legyen C
a H azon x elemeinek összessége, amelyekre x nem eleme f(x)-nek. C
részhalmaza H-nak, tehát eleme P(H)-nak. Vegyük most C tetszőleges x
elemét. Feltételeink szerint x eleme C-nek, de x nem eleme f(x)-nek;
ebből következik, hogy f(x) nem egyenlő C-vel. Vegyuk most C
komplementerének tetszoleges y elemét. Feltételeink szerint y nem
eleme C-nek, de y eleme f(y)-nak; ebből következik, hogy f(y) nem
egyenlő C-vel. Tehát C olyan eleme P(H)-nak, amely H egyetlen elemének
sem képe, vagyis f nem szürjektív. Mivel f tetszőleges volt,
levonhatjuk a következtetést, hogy H-ból P(H)-ba képező függvények
mindegyikének értékkészlete valódi része P(H)-nak, vagyis nincs
szürjektív függvény H-ból P(H)-ba. Q.E.D.

(Hosszú levelem lényegi része az iménti bekezdés; a többi csak kiegészítés.)

---

Talán nem érdektelen analóg példaként felidézni az egyik legszebb és
legegyszerubb indirekt bizonyítást.

Tétel: Nincs legnagyobb prímszám.

Bizonyítás: Indirekt módon. Tegyük fel, hogy van legnagyobb prímszám.
Képezzük az összes prímszám szorzatát egészen a legnagyobbig, és az
eredményhez adjunk egyet; a kapott számot nevezzük M-nek. M nem lehet
prím, hiszen minden prímnél nagyobb. Ha viszont nem prím, akkor vannak
prímosztói. Legyen p az M tetszőleges prímosztója. p az összes
prímszám szorzatával 1-et ad maradékul, tehát nem szerepelt a
szorzásban. Ez ellentmond annak, hogy az összes prímet szoroztuk
össze. Q.E.D.

A gondolatmenet végére kiderül, hogy nincs legnagyobb prímszám, tehát
az M szám sem létezik. El kell-e vetni emiatt a bizonyítás M
bevezetése utáni részét? Természetesen nem. Az, hogy az M jelet egy
nemlétezőnek bizonyult számra vezetjük be, csak a kifejtés drámai
erejét növeli. Bár ez a retorikai fogás ártalmatlan, a bizonyításból
nehézség nélkül kihagyható. Tekintsük például az alábbi direkt
változatot:

Bizonyítás2: Direkt módon. Vegyünk egy tetszőleges q prímszámot.
Képezzük az összes prímszám szorzatát egészen q-ig, és az eredményhez
adjunk egyet; a kapott számot nevezzük M-nek. M nem tartozhat a 2-től
q-ig tartó prímszámok közé, hiszen nagyobb q-nál. Két eset lehetséges:
a) M prím. Ekkor találtunk egy q-nál nagyobb prímszámot. b) M nem
prím; ekkor vannak prímosztói. Legyen p egy tetszoleges prímosztó. p
nem tartozhat a 2-tol q-ig tartozó prímszámok közé, hiszen M ezek
mindegyikével 1-et ad maradékul; tehát nagyobb q-nál, vagyis megint
csak találtunk egy q-nál nagyobb prímszámot. Összegezve: bármely q
prímszámnál létezik nagyobb prímszám, tehát nincs legnagyobb prímszám.
Q.E.D.

Ebben a gondolatmenetben nem éltünk indirekt feltevéssel, és nem
vezettünk be nemlétezőnek bizonyult entitásokra jeleket. (Vö.:
Euklidész: Elemek, IX. 20. -- itt direkt változatot találunk.)

Azt állítom, hogy az Ön által tárgyalt Cantor-bizonyítás és az itt
idézett euklidészi prímszám-bizonyítás analóg:
1. mindkettőben később nemlétezőnek bizonyuló entitásra vezetünk be jelet;
2. ha ez az egyikben zavart okozna, zavart okozna a másikban is;
3. egyikben sem okoz zavart;
4. megfelelő átalakításokkal a nemlétezőre utaló jel elhagyható.

Ha igényt tart rá, Egy későbbi levélben a többi kérdésére is válaszolok.

Tisztelettel:

Mekis Péter

 

 

Válasz a 2. levélre.

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 2. 17:00

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk - állásfoglalás

Tisztelt  Mekis Úr!

Ugorjunk egyből a sűrűjébe:

> Legyen f:H->P(H) tetszőleges függvény
>(értelmezési tartománya H, értékkészlete része P(H)-nak). Vizsgáljuk
>meg, hogy f szürjektív-e (értékkészlete egyenlő-e P(H)-val).

(*)

A gondolatmenet e pontján tehát még nem tudhatjuk, hogy a két lehetőség
közül melyik áll fenn: f szürjektív avagy f nem szürjektív.
Ezért itt a bizonyítást két ágra kell bontani:

1 eset:
Tegyük fel, hogy f szürjektív. Ekkor a cikkemben idézett indirekt
gondolatmenethez jutunk vissza. Ezért ez az ág nem folytatható az ott
bizonyítottak miatt.

2 eset:
Tegyük fel, hogy f nem szürjektív. Ekkor azt tételeztük fel, amit
bizonyítani akartunk. Ezért ez az ág sem folytatható.

Tehát ez a bizonyítás is elakad a fenti (*) pontnál.

Várom az ellenérveit.

Üdvözlettel
Geier János

 

3. levél

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 2. 20:16

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk - állásfoglalás

 

Tisztelt Geier Úr!

Egyik feltevéssel sem kell élnünk. Miért is kellene megelőlegeznünk a gondolatmenetünk eredményét? Néhány sorral később kiderül, hogy f egyetlen esetben sem szürjektív.

Üdvözlettel:

Mekis Péter

 

Válasz a 3. levélre

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 2. 20:58

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Tisztelt Mekis úr!

 

Szerintem meg nem mindig szándék kérdése, hogy akarunk-e élni az esetszétválasztás lehetőségével: az én elképzelésem szerinti tiszta világos matematikai gondolkodásmód szerint minden matematikai levezetésben kötelező szétágazni azokon a pontokon, ahol az egyes ágakhoz tartozó feltételek eltérő folytatásra vezethetnek. Márpedig itt eltérőre vezetnek. Én ezzel nem futok előre: az adott ponton megnézem, mik a lehetőségek, visszatekintve, eddigiek alapján. (Ld még korlátozási szabály.) Az adott ponton pedig 2 lehetség van még: vagy szürjektív, vagy nem. Ez ez levezetés eddigi lépéseiből következik, tehát ez nem előrefutás.

Ön viszont előre fut ezzel a kijelentésével: "Néhány sorral később kiderül, hogy f egyetlen esetben sem szürjektív." Vagyis kvázi ezt mondja: igaz, hogy szét lehetne ágazni, de felesleges. De ez inkább ezt jelenti: ha szétágazok, nem tudom bebizonyítani amit akarok. Ezért inkább nem ágazok szét, ...lám, így sikerül. (Triviális példák vannak az ilyen csúsztatásra, amivel akár azt is be lehet bizonyítani, hogy bármely két szám egyenlő.)

 

 

Itt van a két kritikus mondat:

>1 A gondolatmenet e pontján tehát még nem tudhatjuk, hogy a két lehetőség közül melyik áll fenn: f szürjektív avagy f nem szürjektív.
>2 Ezért itt a bizonyítást két ágra kell bontani:

 

Gondolom, az elsővel egyetért.

Emiatt a másodikkal is egyet kéne értenie.

Ha nem ért egyet, miért nem?

 

GJ.

 

 

4. levél

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 2. 21:19

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk - állásfoglalás

 

Tisztelt Geier Úr!

Már írtam: azért nem kell esetszétválasztással élnünk, mert
1. a gondolatmenet folytatásához nincs rá szükség;
2. az esetszétválasztás a konklúzióra vonatkozik.
Ez problémás, mert:
1. A kisebbik probléma: Csinálunk egy felesleges esetszétválasztást, és ennek egyik ágán visszakapjuk az indirekt bizonyítást. Ez csak annyiban haszontalan, hogy az én Ön által adott feladatom direkt bizonyítás szerkesztése volt. (Nekem, mint már írtam, az indirekt változat is megfelel.)
2. A nagyobbik probléma: Az esetszétválasztás egyik ága az, hogy a bizonyítandó tétel igaz, a másik az, hogy a bizonyítandó tétel hamis. Így bármely matematikai bizonyítást meg lehetne akasztani. Például:
T: 2+2=4
B: 1. Tegyük fel, hogy 2+2=4. Ezzel megelőlegeztük a bizonyítandót, tehát el kell vetni. 2. Tegyük fel, hogy 2+2 /=4. (Jó, tudom, jobb helyeken !=.) Ez marhaság, hiszen más gondolatmenetből tudjuk, hogy 2+2=4, tehát a 4 jelet ellentmondásos tulajdonságokkal rendelkező entitásra használjuk, ami lehetetlenség, tehát nincs jelölete, értékrés lép fel, a bizonyítást e ponttól nem lehet folytatni. Harmadik eset nincs. Tehát a tétel szokásos bizonyítása hibás, mert mire belekezdenénk, elakadunk.

Üdvözletel:

MP

 


Válasz a 4. levélre

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 2. 22:01

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Kedves Péter!

 

Már késő van, majd holnap folytatom a részletekkel.

 

Most csak egy rövid visszaidézés:

>Legyen f:H->P(H) tetszőleges függvény
>(értelmezési tartománya H, értékkészlete része P(H)-nak). Vizsgáljuk
>meg, hogy f szürjektív-e (értékkészlete egyenlő-e P(H)-val).
Ezt nem én írtam.

Mondjuk én egy bizopnyító-gép vagyok, aki csak azt látja, ami oda van írva.

És tfh. arra vagyok programozva, hogy ha a leírt állítás egynél több, eltérő hatású lehetőséget tartalmaz,

akkor ezeket kötelező külön megvizsgálnom. 

Ide fentre az van írva, hogy  f tetszőleges H ból P(H) -ba ható függvény. 

Ha tetszőleges, akkor akár szürjektív is lehet. (Nem én mondtam, hogy tetszőleges - én csak olvasom.)

Itt tehát két eset lehet: vagy szürjektív, vagy nem.

Tehát szét kell választani - erre vagyok programozva. Ez függeltlen a céltól, független a konklúziótól.

 

A többit majd holnap.

 

Üdv

GJ.

 

 

Válasz a 4. levélre B.

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 4. 9:09

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Tisztelt Mekis  Úr!

Most lett időm pontosítani és részletezni a legutóbbi emailemet.

Vegyük a bizonyítógép - vagy inkább bizonyítás-ellenőrző-gép (BEG)
hasonlatot,
és nézzük az Ön fő levezetését:

>Bizonyítás': Mivel minden bijektív függvény egyben szürjektív is, elég
>megmutatnunk, hogy ...
>Legyen f:H->P(H) tetszőleges függvény
>(értelmezési tartománya H, értékkészlete része P(H)-nak).
Ok. A BEG ezt elfogadja.

>Vizsgáljuk
>meg, hogy f szürjektív-e (értékkészlete egyenlő-e P(H)-val).
OK. Ez jogos egy kérdés, tovább megy.

>Legyen C
>a H azon x elemeinek összessége, amelyekre x nem eleme f(x)-nek. C
>részhalmaza H-nak, tehát eleme P(H)-nak.
Itt a bizonyítás konstruktőre BK definiált egy C objektumot azáltal, hogy
arra bizonyos követelményt állított fel.
(Megjegyzés: én jobb szeretném itt a "megnevezés" szót használni, a
"'definíció" helyett, utóbbit
tartsuk meg az általános fogalmakra.)
A BEG úgy van programozva, hogy amikor a bizonyítás során egy megnevezéshez
érkezik,
megvizsgálja, vajon a korább megadott feltételek mellett létezik-e olyan
objektum, ami
kielégíti a megnevezésben megadott követelményt. (korlátozási szabály)

Nézzük:
Mivel H részhalmazai egyúttal P(H) elemei is és vice versa, ezért e
követelmény ekvivalens azzal, hogy
"legyen C a P(H) azon eleme, mely eleget tesz a következő követelménynek: x
eleme C -nek akkor és csak akkor, ha x nem eleme f(x) -nek, ahol x eleme H
nak."
Talán nem részletezem tovább, elég, ha itt utalok a dolgozatmobeli Tétel2 re
és annak "Következmény"-ére, mert itt pontosan ugyanarról van szó, kissé más
jelölésekkel:
ez a követelmény egy relációból származtatott diagonalizációs tulajdonság
egy konkrét esete.  (A reláció itt: R(x,y) := a (6) ban alkalmazott
jelölések átnevezésével megkapható)
Ezért BEG kötelezően megviszgálja, érvényes-e rá a Diagonalizációs tétel, és
így vajon ez a tétel nem okoz-e itt (akárcsak részleges) korlátozást.
BEG rájön: nem igaz, hogy tetszőleges, H ról P(H) ba ható függvénynél
létezik a fenti követelményknek eleget tevő C eleme P(H).
Ti. szürjektív f esetén bizonyítottan nem létezik ilyen C. (ld. Tétel2)
Mivel f tetszőleges H ról P(H) ba ható függvény, így akár szürkjetkív is
lehet, ezért itt részleges korlátozás áll fenn.
Ez az oka annak, hogy itt kötelező ketté választani a bizonyítás folyását.
Az esetszétválasztás éppen e részleges korlátozás szerint kell megtenni:
szürjektív esetben nincs ilyen C, ezért ekkor másképp meg a folytatás, mint
nemszürjektív esetben.
A többit már korábban elmondtam.

Most nincs több időm, mert elutazom, de ha igényli, a majd vasárnap este
vagy hétfőn reggel elemzem a 2+2=4 és többi észrevételét is.


Üdvözlettel
Geier János

UI:
És itt még egy hansúlyozó megjegyzés a dolgozatombeli indirekt
bizonyítás-kritikákoz: én nem azt mondom ott, hogy a (*) pontnál lehetne
akár másképp is haladni. Azt bizonyítottam,  hogy kötelező ott megállnim,
mert különben vétünk a Tétel2 által adott korlátozás ellen, csakúgy mint itt
imént, a direkt bizonyításnál. Az, hogy a (*) pontnál elakad a bizonyítás,
függelten a részhalmaz ax  vagy a komperhenzitivitás bármiféle szigorúbb
vagy lazább értelmezésétő. Utóbbi már csak azzal kapcsolatos, hogy akkor
milyen másik Cantor-tétel-bizonyítást készíthetünk az eredeti helyett.

 

5. levél

 

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 6. 15:23

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk - állásfoglalás

 

Tisztelt Geier Úr!

A C halmaz minden olyan esetben létezik, amikor az f függvény létezik. A nemlétező esetekről nem kell külön beszélnünk. (De fenntartom, hogy nem ezen múlik a bizonyítás helyessége. A teljesen kifejtett bizonyításban csupa olyan kijelentés szerepel, mint hogy "bármely H halmazra és bármely f: H->P(H) függvényre igaz, hogy van pontosan egy olyan C halmaz, amely ilyen-és-ilyen tulajdonságú, és ez tulajdonságaiból adódóan nincs benne f értékkészletében". Ebben nincsenek konstansok, csak kvantifikált változók; az értékrés lehetősége tehát nem merül fel.)

Úgy tűnik, ismét irányt váltottunk. Egyszer már elfogadtam, hogy a matematika megalapozásában kialakult 20. századi standard eszköztárról (elsőrendű logika (vagy szükség esetén más, rokon logikai rendszerek) szintaxisa és szemantikája, axiomatikus építkezés, bizonyításelméleti és modellelméleti eszközök) eltérünk a józan ész ("természetes matematikai gondolkodásmód") nevében. Ha most bizonyítógépben kezdünk el gondolkodni, akkor mégiscsak vissza kell térni valamilyen formális eszköztárhoz, mert egy gépen nem lehet számon kérni a természetes gondolkodást. (Ha fiktív bizonyítógépünk úgy van programozva, hogy szimulálja a matematikus természetes nyelvi heurisztikáját vagy érvelését, akkor nem nyerünk semmit a hasonlattal.) Ha gépen absztrakt algoritmust értünk, a problémakör meglehetősen kidolgozottnak tekinthető a Turing-gépre (illetve más primitív algoritmusfogalmakra) alapozva. Ha programban manifesztált, fizikailag létező számítógépeken futtatott algoritmust, az sem mondható szűz területnek. Én ugyan nem vagyok járatos e téren, de közös tájékozódási pontnak javasolnám ezt az összefoglalást:. http://en.wikipedia.org/wiki/Automated_theorem_proving). Láthatóan a létező bizonyítógépek jobbára a standard elsőrendű (rosszabb esetben nulladrendű) eszköztárat használják. Ami a konkrét problémát illeti, egy nálam ilyen kérdésekben járatosabb diákomtól, Molnár Kristóftól kaptam egy izgalmas hivatkozást: http://muaddibspace.blogspot.com/2009/10/cantors-diagonalization-proof-in-coq.html. Úgy tűnik, a Coq algoritmusának nem okozott problémát a Cantor-bizonyítás. Ebből, amennyire látom, ebből három irányba tudunk következtetni: 1. nincs is probléma (ez egybeesik az általam és a tanszékünk által képviselt állásponttal); 2. nem jó a gépes hasonlat (ez esetben más irányban kellene folytatni a vitát); 3. a Cantor-bizonyítás hibája olyan elterjedt, hogy a bizonyítógépeket is megfertőzte.

Miután egyéb érveim javát már elhasználtam, e pillanatban az utóbbi tűnik a leginkább járható útnak; nézzük meg, mi minden esne áldozatul a matematikában, ha az Ön gondolatmenete helytálló volna. Bizonyításelméleti és modellelméleti standardjeink bizonyosan. Ezen felül láhatólag algoritmuselméleti standardjeink is. De számomra úgy tűnik (emellett hoztam fel az Euklidész-bizonyítás és a 2+2=4 példáját), hogy tetszőleges matematikai bizonyításunk nehézség nélkül olyan formára hozható, hogy az Ön érvelése szerint értékrés lépjen fel benne. (Félreértés ne essék: továbbra is fenntartom, hogy érve hibás, és a matematikában szokásos jelhasználati szabályok félreértésén alapul.)

Tisztelettel:

Mekis Péter

 

Válasz az 5. levélre

 

From: Geier János

To: Péter Mekis

Sent: Monday, September 06, 2010 6:57 PM

Subject: [SPAM] Re: cikk - állásfoglalás

 

Tisztelt Mekis Úr!

 

Látom, nem adja fel - én sem. Előre bocsátom: én élvezem ezt a vitát.

Nem minden érvére fogok most részletesen válaszolni, hogy ne divergáljunk túlzottan.

 

Vegye úgy, hogy a BEG én vagyok. Ezzel a hasonlattal csak azt akartam kifejezni, hogy igyekszem következetes lenni, és gondolatmenetének egyes lépéseit lokálisan követni.

 

Azt gondolom, hogy egy bizonyítás akkor és akkor korrekt, ha minden egyes lépése korrekt.  Ezért annak, aki ellenőrizi egy bizonyítás korrektségét (helyességét), nem általános jellemzést kell arról adnia, és nem is helyette egy másik bizonyítást mondania: az egymásutáni lépéseket kell megvizsgálni, és legalább egy lépésben kimutatni a hibát - ha van.

 

Ugyanezt kérem most Öntől is: alább elemeire bontom a fő direkt gondolatmenetét, Mx szekkel jelölve, és mindegyik alatt egy Gx megjegyzést teszek.

Ha úgy gondolja, hogy az én kritikai gondolatmenetemben - mellyel az ön gondolamenetében szerintem kimutattam a hibát - hiba van, akkor kérem, ebben, az én gondolatmenetemben mutasson rá a hibára.

 

>Tétel: Egyetlen halmazból sem vezet bijektív függvény a hatványhalmazába.

>Bizonyítás':

M1:

Mivel minden bijektív függvény egyben szürjektív is, elég
megmutatnunk, hogy egyetlen halmazból sem vezet szürjektív függvény a
hatványhalmazába.

G1:

OK.

 

M2:

Tekintsünk tetszőleges H halmazt. Legyen P(H) a H
halmaz részhalmazainak halmaza.

G2:

OK.

 

M3:

Legyen f:H->P(H) tetszőleges függvény
(értelmezési tartománya H, értékkészlete része P(H)-nak). Vizsgáljuk
meg, hogy f szürjektív-e (értékkészlete egyenlő-e P(H)-val).

G3:

A későbbiek egyszerűbbé tétele érdekében engedje meg, hogy csak injektív függvényekre korlátozódjak. Ez nem csorbítja az ön gondolatmenetét.

Legyen f: H->P(H)  tetszőleges injektív függvény.

 

 

M4:

Legyen C a H azon x elemeinek összessége, amelyekre x nem eleme f(x)-nek.

 

G4: (egymásutáni részekre bontva jelölöm a könnyebb beazonosítás kedvéért.)

 

G4a:

Mivel H részhalmazai egyúttal P(H) elemei is és vice versa, ezért e követelmény ekvivalens azzal, hogy
"legyen C a P(H) azon eleme, mely eleget tesz a következő követelménynek: x eleme C -nek akkor és csak akkor, ha x nem eleme f(x) -nek, ahol x eleme H nak."  (**)
Itt a C re megfogalmazott követelmény egy relációból származtatott diagonalizációs tulajdonság egy konkrét esete.  Ez a reláció itt: R(x,y) := a (6) ban alkalmazott jelölések átnevezésével megkapható. Ez a reláció a  (K,P(H)) páron van értelmezve, ahol K az f injektív függvény képhalmaza. Ottani jelölésekkell: U=K, V=P(H).  Emiatt itt is érvényes a teljesen általános (azaz az U,V páron értelmezett tetszőleges R relációból származtatott Diagonalizációs tulajdonságra érvényes) Diagonalizációs tétel: ha U=V, akkor nincs olyan C eleme V nek, mely eleget tesz a fenti (**) követelménynek.

G4b:

Korábban kimondatott egy feltétel: M3 első mondata, ill. ennek kissé módosított verziója, G3 utolsó mondata. E feltétel magában foglalja azt is, hogy f lehet akár szürjektív is. Ha szürjektív, akkor és csak akkor K=P(H). Tehát ekkor nincs olyan C eleme V nek, mely eleget tesz a fenti (**) követlménynek. Tehát nem igaz az, hogy tetszőleges f: H->P(H) függvény esetén létezik a (**) követelménynek eleget tévő C eleme P(H). Ti. szürjektív esetben nem igaz.

 

G4c:

Ezen előzmények miatt kötelező itt egy esetszétválasztás.

1. eset: Tegyük fel, hogy f szürjektív. Akkor a bizonyítás az említett ok miatt elakad - hiszen ez esetben C nem jelöl létező dolgot.

2. eset: Tegyük fel, hogy f nem szürjektív. Akkor pedig azt feltételeztük ezen az ágon, amit bizonyítani akartunk.

 

Ezzel kimutattam a hibát a direkt gondolatmenetében. Az M5 re és a továbbiakra már nem kerülhet sor.

 

(M5:

C részhalmaza H-nak, tehát eleme P(H)-nak. ....)

 

********************

 

 

A többire csak vázlatosan:

A Coq és hasonló bizonyításellenőrző alogritmusokkal kb 2 éve én is foglalkoztam. Most nem akarom részletesen felidézni, de akkor megállapítottam, hogy az miért nem tartja hibásnak a Cantor bizonyítást. Azért, mert nincs beleépítve az, amiről én beszélek: aminek definíciója van, azt eleve létezőnek tekinti. Ezt talán majd később megvitathatjuk.

 

A 2+2=4 et nem tartom szerencsés példának. Ha gondolja, elmondom, miért, de nem akarok nagyon szétágazni. Azt a sejtését, miszerint az én gondolatmenetemmel tetszőleges bizonyítás elakasztható, talán egy "valódibb" bizonyításon megnézhetnénk egyszer. Esetleg adhatna erre a sejtésére egy általános bizonyítást, nemcsak példát.

 

Tisztában vagyok vele, milyen kapukat döngetek: igen, sok minden fenekestül felfordulna, ha elfogadnák, amiről beszélek. De ez nem matematikai érv. Ezért bízom abban, hogy ez nem befolyásolja Önt abban, hogy fenti gondolatmenetemet konkrétan elemezze és konkrétan rámutasson arra a pontra, ahol a hibát gondolja. Mint ahogyan - higgye el - engem sem az motivál, hogy mindenáron fel akarok valamit forgatni. Úgy vélem, megláttam valamit, és ennek akarok a végére járni, aminek jó próbája az Önnel való jelen vita.

 

Ha úgy gondolja, hogy a gondolatmeneteim valamelyikében "a matematikában szokásos jelhasználati szabályok"  valahol félre vannak értelmezve, kérem mutasson rá konkrétan az adott pontra. Én ugyanis épp fordítva gondolom: ha nagyon következetesek vagyunk ezekhez a szokásos szabályokhoz, akkor kiderül, hogy helyes, amit mondok  az elakadásokról. Én e szokásos szabályokat alkalmaztam fenti MxGx kritikámban.

 

Várom tehát azt a Gx pontot, ahol Ön szerint hibát vétettem, indoklással. Ha a gondolatmenetben valahol túl vázlatos lettem volna, szívesen tovább részletezem. Ha túl részletes, szívesen tömörítem. A javítható sajtóhibáktól kérem nézzen el.

 

Üdvözlettel

Geier János

 

 

 

6. levél

 

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 9. 22:34

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Tisztelt Geier Úr!

Ami a fő vitapontot illeti, körben forgunk. A most leírt ellenvetését már leírta, én pedig már válaszoltam rá. Ezen az ágon nem sok értelmét látom a folytatásnak, de a konkrét kérdésére válaszolva: G4a fölösleges kitérőt tesz, G4b pedig hibás. Idézem:
"G3 utolsó mondata (...) magában foglalja azt is, hogy f lehet akár szürjektív is. Ha szürjektív, akkor és csak akkor K=P(H). Tehát ekkor nincs olyan C eleme V nek, mely eleget tesz a fenti (**) követlménynek. Tehát nem igaz az, hogy tetszőleges f: H->P(H) függvény esetén létezik a (**) követelménynek eleget tévő C eleme P(H). Ti. szürjektív esetben nem igaz."
Ez az irány csak az indirekt változatban jó. A direkt változatban _máshonnan tudjuk_, hogy létezik C, és _ebből következtetünk_ arra, hogy f nem szürjektív. Ha ezt a gondolatmenetet követjük, az esetszétválasztás nemcsak szükségtelen, de hibás is, mert a konklúziót (ill. annak tagadását) átemeli a premisszák közé. Ha az indirekt gondolatmenetet követjük, akkor ez az átemelés természetesen helyes; de nem azt követjük, éspedig az Ön kifejezett kérésére.

Ami a matematikai logikában bevett jelhasználati szabályokat illeti, ezekről már szintén többször esett szó, ezúttal mellékelek hivatkozásokat is.
Definíció: "Van olyan x, hogy F" (F tetszőleges elsőrendű formula) tetszőleges v értékelés mellett igaz, ha F igaz legalább egy olyan v' értékelés mellett, amely legfeljebb x-ben tér el v-től. (Ez az elsőrendű nyelvek standard Tarski-stílusú igazságdefiníciójának az egzisztenciális kvantorra vonatkozó pontja.)
Következmény: Ha x-et nem tudjuk úgy értékelni, hogy F igaz legyen, akkor a mondat bármely v értékelés mellett igaz lesz. A v értékelés ilyenkor is hozzárendeli a tárgyalási univerzum egy elemét x-hez, tehát nem keletkezik értékrés. (Elnézést kérek, hogy elsős tananyagot mondok fel, de korábbi levelében azt állította, hogy erről soha nem hallott.)
Magyar nyelvű referenciák: Ruzsa Imre: Logikai szintaxis és szemantika I., Akadémiai, 1988, 204.o. (2.4); Ferenczi Miklós: Matematikai logika, Műszaki, 2002, 49.o. (iv); Csirmaz Imre: Matematikai logika, ELTE, 1994, 18.o. (v).

Az érvek sorozatos ismétlődéséből úgy tűnik, elbeszélünk egymás mellett.

Üdvözlettel:

Mekis P.

 

 

Válasz a 6. levélre

 

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 13. 17:41

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Tisztelt Mekis Úr!

 

A mellé-érvelést már én is észrevételeztem korábban. Azt gondolom, ha nyitottabb lenne, és meg is akarná érteni, miről beszélek, talán ez elkerülhető lenne.

Ne felejtse: ez ügyben én tettem le előbb valamit az asztalra, és arra kéne reagálni, ezt kéne úgymond cáfolni. Emiatt én eleve nem érvelhetek mellé, hiszen véges végig arról beszélek, amit a cikkemben leírtam. Ami pedig a megismételt kérdéseimet illeti: azért kérdezek újból és újból, hogy konkrét választ kapjak a konkrét kérdéseimre. Ez már alakul.

 

Nézzük a konkrétumokat:

>Ez az irány csak az indirekt változatban jó. A direkt változatban _máshonnan tudjuk_, hogy létezik C, és _ebből következtetünk_ arra, hogy f nem szürjektív. Ha ezt a >gondolatmenetet követjük, az esetszétválasztás nemcsak szükségtelen, de hibás is, mert a konklúziót (ill. annak tagadását) átemeli a premisszák közé. Ha az indirekt >gondolatmenetet követjük, akkor ez az átemelés természetesen helyes; de nem azt követjük, éspedig az Ön kifejezett kérésére.


Én ezt a mondatsort nem tudom indoklásnak tekinteni: ez csupán az Ön álláspontjának részletezése, indoklás nélkül. (Pl miért lenne hiba, hogy egyéb okok miatt éppen a konklúzió tagadása jön be az egyik ágba?  Egyéb okok miatt jön az be, kötelezően, és meg is mondtam, hogy miért.)

 

Ehhez kérdéseim, hogy tisztán értsem, milyen alapokat fogad el:

 

1

Elfogadja-e hogy az cikkeben lévő indirekt bizonyításról ott bebizonyítottam, hogy az elakad a (*) pontnál?

 

2

Elfogadja-e a "korlátozási szabályt", mint egy többé kevéssbé íratlan szabályt, amit lépten nyomon alkalmazunk matematikai levezetések során?

 

3

Elfogaja-e a korlátozási szabály következő szűkített verzióját:

Ha egy matematikai leveztés során olyan feltételek állnak elő, melyek megfelenek egy általános tétel premisszáinak, és e tétel konklúziója korlátozást jelent a levezetés folytatására, akkor azt kötelező alkalmazni az adott ponttól kezdve, azaz a korlátozás alá eső  lépéseket nem szabad megtenni.

 

Erre mondok egy fiktív vázlatos példát, nem bizonyításul, csak az előbbiek megvilágítására:

 

Tekintsünk bizonyos premisszákat, és legyen köztük a következő premissza:

   ...

P:   legyenek a és b tetszőleges valós számok.

   ...

Akkor:  ...és itt van valami konklúzió, pl. egy algebrai azonosság, amit bizonyítani szeretnénk.

 

Bizonyítás:

... elkezdjük a bizonyítást, egymásutáni lépésekben, és egyszer az a gondolatunk támad (mert ezt célszerűnek látjuk annak érdekében, hogy eljussunk a bizonyításra váró konklúzióhoz), hogy  bevezetjük a c=1/(a-b) jelet.

Ezek után az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk c vel, és akadály nélkül tovább lépünk.

..végül QED.

 

Ön szerint ez rendjén van?  Nem lehetséges, hogy amikor bevezettük a c=1/(a-b) jelet egy pillanatra meg kell állnunk és azt mondani: hoppá, biztosan létezik ilyen c a megadott feltételek mellett?  Ha a és b tetszőleges, akkor bizony a=b is lehetséges, emiatt itt kötelező ketté ágazni: egyik ág, hogy a=b, másik az, hogy a<>b.

Az itt alkalmazott általános szabály az, hogy 0 val nem szabad osztani. E mögött lévő általános tétel (egy lehetséges megfogalmazása) pedig az, hogy x=0 esetén nem létezik olyan c, melyere c*x=1.  Ez itt részleges korlátozást jelent, emiatt van az, hogy kötelező ketté ágazni, azaz az a=b esetet önállóan kezelni..

 

Én erről beszélek kezdettől fogva. A párhuzam talán nyilvánvaló.

 

Mi a véleménye a fentiekről?

 

Kérem, akkor is válaszoljon, ha azt ismétlésnek véli. Foglaljuk össze a helyzetet.

 

----------------

 

>Ami a matematikai logikában bevett jelhasználati szabályokat illeti, ezekről már szintén többször esett szó, ezúttal mellékelek hivatkozásokat is.  ....

 

Amit ebben a bekezdésben ír, arra ezt kell, hogy mondjam: nem ezt kérdeztem.

Nem azt kérdeztem ugyanis egymagában, hogy milyen logikai szabályt sértek meg ön szerint, hanem azt, hogy a gondolatmenetem mely pontja sért logikai szabályt.  Ide idézem:

"Ha úgy gondolja, hogy a gondolatmeneteim valamelyikében "a matematikában szokásos jelhasználati szabályok"  valahol félre vannak értelmezve, kérem mutasson rá konkrétan az adott pontra."

 

Konkrétan, az adott pontra!

 

Ami korábbi ehhez kapcsolódó megjegyzésemet illeti, melyre hivatkozik, kérem nézze meg ott a teljes szöveget. Nem azt mondtam, amit itt állít ezzel kapcsolatban. Nézze csak meg, alább beidéztem.

 

Egyébként pedig: Csirmaz László (nem István) jegyzetének adott hivatkozásában a (v) -ben valóban le van írva az a tautológia (tkb fordítás élő nyelv szavairól logikai jelekre) amit itt Ön "Definíció"ként mond,  de hát ez nyilvánvaló, és én ezt sose sértettem meg. (Ez áll addig, míg rá nem mutat a megfelelő pontra a gondolatmenetemben.)

Továbbá: a Csirmaz/Hajnal jegyzetben se a 18. oldalon, se annak környékén nem látok olyat, ami az Ön  "Következtmény" ében szerepel (A másik kettő könyv beszerzés alatt, azokra majd később térek ki. Nagyon kíváncsi vagyok, azokban van-e szó az Ön által leírt "Következmény" ben foglaltakról.)

 

Ezzel kapcsolatban örülnék, ha válaszolna egy korábbi levelemben feltett kérdésemre, beidézem a teljes környezetet:  ( két >> az Ön, egy > az én szövegem)

 

>>Mármost az egzisztenciális kvantorral kifejezett létezési állítások
>>nem okoznak értékrést; a "van olyan x, hogy x páros is meg páratlan
>>is" mondat a szokásos kontextusokban hamis (mert x egyetlen értékelése
>>sem elégíti ki); a standard elsőrendű szemantika szabályai szerint
>>x-nek ettől függetlenül van értéke.

>Ez érdekes, ilyenről még sose hallottam. Ha a szokásos kontextus
>(=természetes matematikai gondolkodásnmód) és a formális logika között
>ekkora eltérés van, az igencsak elgondolkodtató.

>Meg tudná mondani, mi az x értéke ilyenkor?

Szóval: meg tudná mondani, mi az x értéke ilyenkor?

 

Üdvözlettel

Geier János

 

Módosítok: Csirmaz 18. oldalon (v) ben nem az a definíció áll, amit itt ön mond.

 

GJ.

 

 

7. levél

 

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 16. 20:56

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Tisztelt Geier Úr!

> A mellé-érvelést már én is észrevételeztem korábban. Azt gondolom,
> ha nyitottabb lenne, és meg is akarná érteni, miről beszélek, talán
> ez elkerülhető lenne.
> Ne felejtse: ez ügyben én tettem le előbb valamit az asztalra, és
> arra kéne reagálni, ezt kéne úgymond cáfolni. Emiatt én eleve nem
> érvelhetek mellé, hiszen véges végig arról beszélek, amit a
> cikkemben leírtam. Ami pedig a megismételt kérdéseimet illeti:
> azért kérdezek újból és újból, hogy konkrét választ kapjak a konkrét
> kérdéseimre. Ez már alakul.
Lehet, hogy Ön összekeveri az "elbeszélni egymás mellett" és a
"mellébeszélni" kifejezéseket?

Engedelmével a továbbiakban csak a konkrét kérdéseire válaszolok.

> Elfogadja-e hogy az cikkeben lévő indirekt bizonyításról ott
> bebizonyítottam, hogy az elakad a (*) pontnál?
Nem. Indoklás a korábbi leveleimben.

> Elfogadja-e a "korlátozási szabályt", mint egy többé kevéssbé íratlan
> szabályt, amit lépten nyomon alkalmazunk matematikai levezetések során?
Nem. A szabály roppant elnagyoltan van megfogalmazva; az
egyenletátalakítási analógiák pedig tévesek. A matematikai
levezetésnek a huszadik század első fele óta pontosan rögzített
szabályai vannak, nem pedig íratlanok. Azokat a levezetéseket
tekintjük helyesnek, amelyek lefordíthatók elsőrendű
predikátumkalkulusba (vagy indokolt és kivételes esetben más logikai
kalkulusokba).

Ugyanez a helyzet általában a "természetes matematikai
gondolkodásmódra" való hivatkozással. Ha nem fogadja el a matematika
formális megalapozásának huszadik századi standardjeit, azt
javasolnám, írjon ezekről tanulmányt, amelyben a természetes
matematikai gondolkodásmód elsőbbsége mellett érvel a matematikus
közösség standardjeivel szemben; a Cantor-tétel bizonyításának
helyessége ehhez képest részletkérdés.

> Elfogaja-e a korlátozási szabály következő szűkített verzióját:
> Ha egy matematikai leveztés során olyan feltételek állnak elő, melyek
> megfelenek egy általános tétel premisszáinak, és e tétel konklúziója
> korlátozást jelent a levezetés folytatására, akkor azt kötelező alkalmazni
> az adott ponttól kezdve, azaz a korlátozás alá eső lépéseket nem szabad
> megtenni.
Nem. Indoklás fentebb.

>
> Erre mondok egy fiktív vázlatos példát, nem bizonyításul, csak az előbbiek
> megvilágítására:
>
> Tekintsünk bizonyos premisszákat, és legyen köztük a következő premissza:
> ...
> P: legyenek a és b tetszőleges valós számok.
> ...
> Akkor: ...és itt van valami konklúzió, pl. egy algebrai azonosság, amit
> bizonyítani szeretnénk.
>
> Bizonyítás:
> ... elkezdjük a bizonyítást, egymásutáni lépésekben, és egyszer az a
> gondolatunk támad (mert ezt célszerűnek látjuk annak érdekében, hogy
> eljussunk a bizonyításra váró konklúzióhoz), hogy bevezetjük a c=1/(a-b)
> jelet.
> Ezek után az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk c vel, és akadály nélkül
> tovább lépünk.
> ..végül QED.
>
> Ön szerint ez rendjén van? Nem lehetséges, hogy amikor bevezettük a
> c=1/(a-b) jelet egy pillanatra meg kell állnunk és azt mondani: hoppá,
> biztosan létezik ilyen c a megadott feltételek mellett? Ha a és b
> tetszőleges, akkor bizony a=b is lehetséges, emiatt itt kötelező ketté
> ágazni: egyik ág, hogy a=b, másik az, hogy a<>b.
> Az itt alkalmazott általános szabály az, hogy 0 val nem szabad osztani. E
> mögött lévő általános tétel (egy lehetséges megfogalmazása) pedig az, hogy
> x=0 esetén nem létezik olyan c, melyere c*x=1. Ez itt részleges korlátozást
> jelent, emiatt van az, hogy kötelező ketté ágazni, azaz az a=b esetet
> önállóan kezelni..
>
> Én erről beszélek kezdettől fogva. A párhuzam talán nyilvánvaló.
>
> Mi a véleménye a fentiekről?
A nullával osztás nem jó analógia. Az osztás műveletét nem értelmezzük
az összes valós számra; ez egyrészt nem értékréses probléma, másrészt
nem analóg a Cantor-bizonyításban szereplő halmazokéval és
függvényekével.

> Amit ebben a bekezdésben ír, arra ezt kell, hogy mondjam: nem ezt kérdeztem.
> Nem azt kérdeztem ugyanis egymagában, hogy milyen logikai szabályt sértek
> meg ön szerint, hanem azt, hogy a gondolatmenetem mely pontja sért logikai
> szabályt. Ide idézem:
> "Ha úgy gondolja, hogy a gondolatmeneteim valamelyikében "a matematikában
> szokásos jelhasználati szabályok" valahol félre vannak értelmezve, kérem
> mutasson rá konkrétan az adott pontra."
>
> Konkrétan, az adott pontra!
Többször megtettem. Azok a kifejezések, amelyek a Cantor-tétel
bizonyításában ön szerint értékrésesek, a formális kifejtésben
kvantifikált változóknak bizonyulnak. Nem lép fel értékrés. Ez a
félreértés.

> Ami korábbi ehhez kapcsolódó megjegyzésemet illeti, melyre hivatkozik, kérem
> nézze meg ott a teljes szöveget. Nem azt mondtam, amit itt állít ezzel
> kapcsolatban. Nézze csak meg, alább beidéztem.
>
> Egyébként pedig: Csirmaz László (nem István) jegyzetének adott
> hivatkozásában a (v) -ben valóban le van írva az a tautológia (tkb fordítás
> élő nyelv szavairól logikai jelekre) amit itt Ön "Definíció"ként mond, de
> hát ez nyilvánvaló, és én ezt sose sértettem meg. (Ez áll addig, míg rá nem
> mutat a megfelelő pontra a gondolatmenetemben.)
> Továbbá: a Csirmaz/Hajnal jegyzetben se a 18. oldalon, se annak környékén
> nem látok olyat, ami az Ön "Következtmény" ében szerepel (A másik kettő
> könyv beszerzés alatt, azokra majd később térek ki. Nagyon kíváncsi vagyok,
> azokban van-e szó az Ön által leírt "Következmény" ben foglaltakról.)
>
> Ezzel kapcsolatban örülnék, ha válaszolna egy korábbi levelemben feltett
> kérdésemre, beidézem a teljes környezetet: ( két >> az Ön, egy > az én
> szövegem)
>
>>>Mármost az egzisztenciális kvantorral kifejezett létezési állítások
>>>nem okoznak értékrést; a "van olyan x, hogy x páros is meg páratlan
>>>is" mondat a szokásos kontextusokban hamis (mert x egyetlen értékelése
>>>sem elégíti ki); a standard elsőrendű szemantika szabályai szerint
>>>x-nek ettől függetlenül van értéke.
>
>>Ez érdekes, ilyenről még sose hallottam. Ha a szokásos kontextus
>>(=természetes matematikai gondolkodásnmód) és a formális logika között
>>ekkora eltérés van, az igencsak elgondolkodtató.
>
>>Meg tudná mondani, mi az x értéke ilyenkor?
> Szóval: meg tudná mondani, mi az x értéke ilyenkor?
Benne van a definícióban. Az, amit az aktuális értékelés (Csirmaz: e,
Ruzsa: v) x-hez rendel; vagyis a struktúra alaphalmazának (Ruzsa:
tárgyalási univerzum) tetszőleges eleme. A struktúra nem határozza meg
x értékét; ezt a struktúrától független értékelés határozza meg. (Egy
megjegyzés: a kvantordefiníció nem tautologikus. Metanyalvi
kvantifikációval definiálja a tárgynyelvi kvantifikációt. Ha ez
tautologikus lenne, rendkívül leegyszerűsödne a modellelmélet.) x
értékének esetlegessége persze bosszantó, de mivel nem érinti a
formula igazságértékét, nem okoz bajt. A szemantika szintén Tarskitól
származó algebrai kifejtése (ld.
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_logic) sokkal elegánsabb
megoldás, de összhangban van a klasszikus Tarski-definícióval.

> Módosítok: Csirmaz 18. oldalon (v) ben nem az a definíció áll, amit itt ön
> mond.
Hadd magyarázzam el (a jelöléseket igyekszem a lehetőségekhez képest imitálni):
- A |= F[e] azt jelenti, hogy F igaz az A struktúrában az e
változóértékelés mellett (18.o. 3.5 def. fölötti bek.).
- A |= F[e(x/a)] azt jelenti, hogy A igaz az e értékelés azon
módosítása mellett, amely x-hez a-t rendeli (17.o. 3.3 def.).
Tehát az Ex F formula igaz az A struktúrában az e értékelés mellett
a.cs.a., ha az alaphalmaznak van olyan a eleme, hogy azon e' értékelés
mellett, amely x-hez a-t, minden más változóhoz e értékét rendeli, a
kvantortól megfosztott F formula igaz A-ban. Ez pontosan az, amit én
írtam. Csirmaznak az a megfogalmazása félreérthető lehet, hogy az
alaphalmaz elemét "x helyébe téve" lesz igaz a formula. Ebből úgy
tűnhet, mintha behelyettesítéses kvantifikációról volna szó (ld.
http://en.wikipedia.org/wiki/Truth-value_semantics). De a formális
meghatározásból egyértelmű, hogy Tarski-szemantikában vagyunk.

Üdvözlettel:

Mekis P.

Ui.: Már régóta szeretném figyelmébe ajánlani W. V. O. Quine
halmazelméletét (http://en.wikipedia.org/wiki/New_Foundations). Ebben
valóban nem működik a Cantor-tétel bizonyítása; igaz, más okból, mint
az Ön verziójában. Mindez annyiban érdekes, hogy egy matematikai
érvelést akkor lehet megítélni, ha tisztáztuk azokat a nyelvi és
axiomatikus kereteket, amelyek közt mozgunk. MP

 

 

 

Válasz a 7. levélre

 

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 138. 8:11

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Kedves Péter!

Köszönöm a részletes válaszát. Ebből számomra már szinte teljes a kép.
Hogy valóban teljes legyen, engedjen meg utolsó kérdést:
Ön szerint mi az oka annak, hogy "Az osztás műveletét nem értelmezzük
az összes valós számra;" ?

Üdvözlettel
János

 

 

 

8. levél

 

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 18. 16:23

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Tisztelt Geier Úr!

> Ön szerint mi az oka annak, hogy "Az osztás műveletét nem értelmezzük
> az összes valós számra;" ?
Az, hogy kényelmetlen lenne áttérni a projektív valós számegyenesre a
számolásban. (Vagy hogy is mondjuk magyarul a real projective line-t.)

Üdvözlettel:

Mekis Péter

 

 

Válasz a 8. levélre

 

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 19. 8:42

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Kedves Péter!

Ez nem válasz a kérdésremre. Ugyanis nem az volt a kérdés, hogy mi lenne, ha
kibővítenénk a valós számok halmazát oly módon, hogy azon már értelmezni
lehessen a 0 val való osztást (ez a bizonyos projektív számegyenes ugyebár
erről szól, ld. wikipedia). Ön a válaszában azt az egyelten dolgot állítja,
hogy ez az áttérés "kényelemetlen" lenne. Valóban az lenne, de hát ki beszél
itt erről?
Maradjunk csak szépen a valósak halmazán, ahogyan az eredeti kérdés is
szólt.
Mivel azt mondtam, hogy az lesz az utolsó kérdésem, így a kérdést nem teszem
fel újból. Emlékeztetek azonban arra, hogy én arra már korábban megadtam az
általánosan elfogadott és nyilvánvalóan helyes választ (mert nem létezik
olyan c valós szám, melyre c*0=1), de Ön ezzel nem értett egyet.
Hát akkor most magán a sor: a kérdésre az adekvát válaszát továbbra is
várom.

üdv.
János

 

 

9. levél

 

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 19. 14:26

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

 

Tiszetelt Geier Úr!

> Ez nem válasz a kérdésremre.
De, szerintem igen. A valós számtest ugyanis nem természettől adott; a
számok körének bővítése a matematikatörténet évezredei során bevett
eszköze volt a parciális műveletek totálissá alakításának. Ahogy a
kivonás kedvéért a nullát és a negatív számokat, az osztás kedvéért a
törteket stb., úgy a nullával való osztás kedvéért a végtelent is bele
lehetne venni a számtestbe. Kényelmetlen csak azért volna, mert 1. az
1/x függvényt nem tenné folytonossá, és 2. az x/0 függvény nem lenne
invertálható.

> Emlékeztetek azonban arra, hogy én arra már korábban megadtam az
> általánosan elfogadott és nyilvánvalóan helyes választ (mert nem létezik
> olyan c valós szám, melyre c*0=1), de Ön ezzel nem értett egyet.
De, ezzel egyetértek. Csak azzal nem, hogy ez értékréses probléma
lenne. Érdemes különbséget tenni két jelenség között:
- egy elméleten belül egy függvény nem a teljes tárgyalási univerzumon
van értelmezve;
- egy elmélet nyelvének interpretációfüggvénye nem minden kontextuson
van értelmezve.
A két jelenség akár együtt is járhat, de függetlenek egymástól.
Értékrésről az utóbbi esetben beszélünk. Hadd engedjek meg magamnak
egy újabb diagnosztikai tippet: lehet, hogy e kettő összekeverése
miatt akad el Önnél a Cantor-bizonyítás?

Üdvözlettel:

Mekis Péter

 

Válasz a 9. levélre

 

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 19. 16:07

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Kedves Péter!

> Ahogy a
>kivonás kedvéért a nullát és a negatív számokat, az osztás kedvéért a
>törteket stb., úgy a nullával való osztás kedvéért a végtelent is bele
>lehetne venni a számtestbe.

És attól, hogy "be lehetne vezetni", ezt már úgy kell kezelnünk, mintha
létezne is?
Így gondolja?

>De, ezzel egyetértek. Csak azzal nem, hogy ez értékréses probléma
>lenne. Érdemes különbséget tenni két jelenség között:
>- egy elméleten belül egy függvény nem a teljes tárgyalási univerzumon
>van értelmezve;
>- egy elmélet nyelvének interpretációfüggvénye nem minden kontextuson
>van értelmezve.

Már korábban mondtam: ne akadjunk fenn azon, hogy mit nevezünk értékrésnek.
Ettől még a Tétel2 igaz.

Ennek ellenére megpróbálom lefordítani magamanak az előbbieket, majd
erősítsen meg vagy korrigáljon:
"- egy elméleten belül..."
Szóval azt értsem úgy, hogy c=1/0 valójában létezik, csak nem lézetik a
valósak halmazán? Emiatt nincs itt értékrés?
Nézük ezt a kijelentést: "legyen a tárgyalási univerzum a valósak halmaza,
vezessük be a c=1/0 jelet, akkor a c nem jelöl semmit."
Ez Ön szerint hibás, itt nincs értékrés, nem igaz, hogy a c nem jelöl
semmit, hiszen a tárgyalási univerzumon kívül létezik ilyen objektum, ti.
c=végtelen.
Így gondolja?
Ha igen, akkor viszont mi értelme annak a kifejezésnek, hogy "tárgyalási
univerzum".  Univerzum! Azon kívül nincs más! (Persze az egyes esetekben ez
egy "játszásiból", az adott kérdéskörhöz kreált univerzum, de hát a jétékból
nem szabad csak úgy ki-be lépdesni.)

"- egy elmélet nyelvének..:"
Ezt egyelőre nem értem. Esetleg tudna egy kézzelfogható példát mutatni erre,
mikor is ilyenkor valóban értékrés lép fel az Ön fogalomrendszerében?

>Hadd engedjek meg magamnak
>egy újabb diagnosztikai tippet: lehet, hogy e kettő összekeverése
>miatt akad el Önnél a Cantor-bizonyítás?

Erre talán nem nekem kéne válaszonom, hanem annak, aki  a levezetésben (amit
mellesleg én írtam) hibát akar kimutatni. A Cantor-bizonyítás  a Tétel2
miatt akad el, ez ott bizonyítással együtt le van írva. Én leírtam amit
gondoltam, utána 1 hónapon keresztül értelmeztük is. Szerintem nem az a
kérdés egy leírt bizonyítás esetén, hogy a bizonyítás konstruktőre "belül"
mit gondol, vagy mit ért félre. Az esetléeges hibát vagy fogalmi zavart a
leírt szövegben kell kimutatni.
De ha gondolja, megfordíthajuk az eddigieket: eddig zömében én kérdeztem,
most maga jön.
Kérdezzen nyugodtan, a levezetésen végighaladva akár, hogy mit mivel
indokolok, ha valahol esetleg túl vázlatos, vagy bármi miatt nem érthető ami
oda van írva.
Ha úgy látja, mutassa ki, hogy e fenti két dolog össze van kerverve a
dolgazotomban leírt gondolatmenetben.

üdv
János

 

 

 

10. levél

 

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 19. 18:17

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

Tisztelt Geier Úr!

> És attól, hogy "be lehetne vezetni", ezt már úgy kell kezelnünk, mintha
> létezne is?
> Így gondolja?
Nem. Matematikai objektumok elméletfüggetlen létezésében lehet ugyan
hinni, de technikai érveinkben nem lehet erre bazírozni.

> Szóval azt értsem úgy, hogy c=1/0 valójában létezik, csak nem lézetik a
> valósak halmazán? Emiatt nincs itt értékrés?
Nem. A szemantikai értékréssel kapcsolatban ld. korábbi leveleimet.

> Ezt egyelőre nem értem. Esetleg tudna egy kézzelfogható példát mutatni erre,
> mikor is ilyenkor valóban értékrés lép fel az Ön fogalomrendszerében?
Mint már írtam, a matematikai elméletek kifejtésére rendszerint
standard elsőrendű nyelveket használunk. amelyek szintaxisa és
szemantikája eleve kizárja az értékrést. De kéréséhez hűen adok egy
példát értékrésre matematikai kontextusban.

Értékrés felléphet például akkor, ha felvesszük a nyelvünkbe a
deskriptort (ld. Ruzsa Imre könyveiben). (Frege ezt tette a
Grundgesetze der Arithmetik-ban, de ő az értékrést egy ügyes trükkel
elkerülte.) Ekkor például az aritmetika nyelvében megszerkeszthető "A
legnagyobb prímszám páratlan" jelentésű "Pt(Ix (Pr(x) & Ay(Pr(y) ->
y<=x))" formula. ("Pt" a "páratlan", "Pr" a "prím", "<=" a
"kisebbegyenlő" jele, mindhárom definiált predikátumkonstans; "I" a
deskriptor, "A" az univerzális kvantor, "&" a konjunkció, "->" az
implikáció.) Az ebben szereplő "Ix (Pr(x) & Ay(Pr(y) -> y<=x)"
kifejezés értékréses, mert a "Pr(x) & Ay(Pr(y) -> y<=x" részformula
kielégíthetetlen. Ezért az értékrés öröklődésének elvét követve az
eredeti formulát is értékrésesnek szoktuk tekinteni. (Az elv szintén
Fregétől származik; ld. Ruzsa magyarázatát Frege kettős álláspontjáról
az értékrésekkel kapcsolatban.) Remélem, ez elég kézzelfogható példa.

A matematikai formalizálás gyakorlatában ilyen szerkezetek nem lépnek
fel; "A legnagyobb prímszám páratlan" mondat standard átfogalmazása az
lenne, hogy "van egy és csakis egy prímszám, amely az összes többinél
nagyobb; és ez a prímszám páros". (Az átfogalmazás elve Russellhez
kötődik.) E változat logikai fordításában már csak kvantifikált
változók vannak, értékrés tehát nem keletkezhet.

Ami a nullával való osztást illeti: ha egy dekriptorral bővített
elsőrendű nyelvben a "1/0" kifejezést úgy oldanánk fel, hogy "az a
szám, amely nullával megszorozva egyet ad eredményül" (formulával "Ix
0*x=1"), akkor értékréses kifejezést kapnánk. Ez nem tragédia;
alaposan ki vannak dolgozva az ilyen kifejezések használati szabályai.
De a formalizálás standard eljárása nem ez; hanem az, hogy bármely, az
"1/0" kifejezést tartalmazó "F(1/0)" mondatot átfogalmazunk "van egy
és csakis egy olyan x szám, amelyhez van egy olyan y szám, hogy x*y=1,
továbbá F(x)" formára. Ebben már nem lép fel értékrés, hanem
egyszerűen hamis lesz, hiszen a változók egyetlen értékelése sem
elégíti ki.

> Az esetleges hibát vagy fogalmi zavart a
> leírt szövegben kell kimutatni.
> Ha úgy látja, mutassa ki, hogy e fenti két dolog össze van kerverve a
> dolgozatomban leírt gondolatmenetben.
A hibát már kimutattam a hosszú levelemben, saját kritériumaim szerint
adekvát módon. Azóta kelt leveleim mindegyikében az elsőben kifejtett
észrevételeket magyarázom. A célom ezzel elsősorban az, hogy feltárjam
és eloszlassam azt a mögöttes fogalmi zavart, amely miatt ragaszkodik
egy hibás gondolatmenethez. (Természetesen azon, hogy "hibás", azt
értem, hogy "meggyőződésem szerint hibás"; azon, hogy "fogalmi zavar",
azt értem, hogy "feltételezett fogalmi zavar".)

A tárgyszinten és a szemantikában megjelenő parcialitás összekeverése
az eredeti dolgozatban nem mutatható ki; erre csak kettővel ezelőtti
levele enged következtetni.

Nagyjából eddig tartott a kompetenciám dolgozatának megvitatásában.
Tisztelettel tudomásul veszem, hogy érveim nem győzték meg; újakat
viszont nemigen fogok tudni mondani. Azt javaslom, hogy folytassa a
vitát a matematikus közösség tagjaival. Ha a halmazelmélet vagy a
matematika alapjainak nevezett terület vezető kutatói részéről esetleg
teljes elutasítással találkozik is, fiatalabb kollégáik között
biztosan akad olyan, aki hozzám hasonlóan vállalja a vitát.

Még egyszer szeretném leszögezni: bár meggyőződésem, hogy a
dolgozatában leírt érv hibás, állhatatosságát rokonszenvesnek tartom
és nagyra becsülöm.

Tisztelettel:

Mekis Péter

 

 

Válasz a 10. levélre

 

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 19. 19:27

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

 

Kedves Mekis úr!

>A hibát már kimutattam a hosszú levelemben,
Melyik volt ezt a bizonyos hosszú levél? Dátum?

GJ.

 

 

11. levél

 

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 19. 21:40

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

 

Tisztelt Geier Úr!

> Melyik volt ezt a bizonyos hosszú levél? Dátum?
Augusztus 25.

Üdvözlettel:

Mekis Péter

 

 

Válasz a 11. levélre

 

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 20. 8:45

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

 

Kedves Péter!

Hát az valóban hosszú.
Mintegy záró akkordként, lenne egy kérésem:
Össze tudná számomra foglalni annak a levelének a lényegét max 3 mondatban?
Csak azért, hogy egyben legyen, és csak azt, ami releváns a dolgozatommal,
rámutatva konkrétan, hogy maga szerint mely ponton van a matematikai hiba az
ott leírt matematikai gondolatmenetben.

János

UI. Ezt a levelezést más is olvassa. Talán érdekelni fogja, hogy egyik
kollégámnak errol ez a véleménye:
>Hát, abban a levelében csak nagy rizsa volt, általánosságok.
>Nagyon jó trükk. Rizsázik valamit, aztán késobb meg azt mondja, ott
>leírta. Abban a szóáradatban.

 

 

12. levél

 

From: Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Dátum: 2010. szeptember 20. 9:53

To:  Geier János <janos@geier.hu>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

 

Tisztelt Geier Úr!

Parttalanná vált a vitánk. Egész levelezésünkben az augusztus 25-i
levél tartalmát magyaráztam; nem látom értelmét még egy
összefoglalásnak. Tudomásul veszem, hogy Ön és kollégája irrelevánsnak
tekintik észrevételeimet, és sajnálom, hogy ezek szerint fölöslegesen
vettem igénybe idejüket és energiájukat az újabb és újabb
levélváltásokkal. Kívánom, hogy folytasson eredményes szakmai vitát
kompetens szakemberekkel.

Mindkettejüktől búcsúzom:

Mekis Péter

 

 

Válasz a 12. levélre

 

From: Geier János <janos@geier.hu>

Dátum: 2010. szeptember 23.  11:45

To:  Péter Mekis <mekis.peter@gmail.com>

Tárgy: Re: cikk – állásfoglalás

 

 

Kedves Mekis Péter!

Szép dolog ez az udvarias búcsúzkodás, de hát a lényegre nem kaptam választ:
mi az oka a visszatáncolásnak? Amikor a körlevélben felkért a cikk
megírására, tudhatta- tudhatták, miről lesz benne szó.

Arra a kérdésemre sem kaptam hivatalos választ, hogy akkor mi is a
"konszenzusos" álláspontja a szervezőbizottságnak:  amit itt Maga írt, az
csak a magánvéleménye, amint azt írja is.
Akkor most hogyan van ez? Mété azt állította, hogy kizárólag az Ő
kompetenciája a döntés. Utána Maga azt állította, hogy az elutasítás
konszenzusos alapon volt. Szóval: ne nézzenek már hülyének- kérem szépen
tisztelettel.

Ami pedig a hosszú leveleinek szakmai részét illeti: mintha nem olvasta
volna el a cikkemet. Ott megindokoltam, miért a formális logika
kialakulásának ideje előtti stílusban beszélek.
Ehelyett Maga egyfajta dogmatikus "standard"  logika szerint próbált
érvelni. Így eleve adott  a mellé érvelés. (Mellesleg: Ruzsa rengeteg helyen
"üzen" az utókornak arról, hogy jó lenne valamit kezdeni az értékréssel,
belevenni a formális logikai rendszerekbe. Nyilvánvaló, hogy a matematikában
van értékrés, és ha a "standard" logika ezt nem tudja jól kezelni, az elég
baj. Nem a "standard" logika volt előbb, hanem a matematika. Olvass csak el
pl. Csirmaz bevezetőjét.)

Az amit itt most az értékréses helyzetnek egy állításra való
átfogalmazásáról mond, semmi más, csak egy megfogalmazási trükk. Ettől még
ugyanúgy nem osztunk nullával - és ettől még ugyanúgy elakad a Cantor
gondolatmenet.

Ami pedig a hittérítő hajlamát illeti, szintén óriási tévedésben van: itt
nem egy tudományos fokozat megszerzéséről van szó, amikor a jelöltet
minősítjük.
 >A célom ezzel elsősorban az, hogy feltárjam
>és eloszlassam azt a mögöttes fogalmi zavart, amely miatt ragaszkodik
>egy hibás gondolatmenethez.
A gondolatmenetem nem hibás. Ezt Máté (aki végzett matematikus)  is
elismerte implicite, de nyilván nehéz lett volna explicite kimondania. (Ti
azzal ismerte el, hogy a hiba okaként a dolgozat  végső konklúzióját jelölte
meg, miszerint a naiv halmazelméletben is hallgatólagosan feltételezték a T
létezését - tehát ott is feltételezték (ügyes!),  így tehát a naívban is
bizonyítható a Cantort tétel e feltételezésre hivatkozva.) Fogalmai zavarban
sem szenvedek, biztosíthatom e felől.

És akkor hogyan is van ez?:
>A tárgyszinten és a szemantikában megjelenő parcialitás összekeverése
>az eredeti dolgozatban nem mutatható ki; erre csak kettővel ezelőtti
>levele enged következtetni.
Aha. Szóval a dolgozatban nem mutatható ki az a hiba, amit "Diagnosztikai
tipp"nek nevez.
Akkor mi is az alapja az elutasításnak? (Ez is ügyes.)

Mindezek alapján végül is a Maga közreműködésével  mégiscsak bebizonyosodott
a dolgozatom fő állítása: Hilbert nem mentett meg semmit, de egy folyamat
elindításával létrehozott egy "matematika-vallást'" (="standard elsőrendű
logika", de mondhatnék itt öncélú játékszert is), melynek hívei megpróbálják
azt ráerőltetni a teljes matematikára, mondván: ami nem tesz ennek eleget,
az eleve hibás. (A matematikában van értékrés, és az nem hiba.) Erre jó
példa egy korábbi levelének egyik mondata:
>Ha a Cantor-tétellel helyettesítenénk a részhalmaz-sémát, az ZF-et
>nem érintené, Z viszont jócskán gyengülne; alapvető dolgokat nem
>lehetne benne bizonyítani.
És az nagy kár lenne?

Ezen a ponton tehát valóban világnézeti eltérés van. De ennek ellenére nem
láttam, hogy levezette (levezetés: ebből és ebből a konkrét állításból  ez
és ez  a konkrét állítás következik..) volna egymásutáni lépésekben, a Maga
alpajai szerint, hol és miért is van hiba az én gondolatmenetemben.
Globális érvelést láttam, konkrét levezetést nem.

Ezzel én is befejeztem.

Geier János

++++++++ Levelezés vége ++++++++

 

Utolsó módosítás: 2010.10.08. de. 8:03

 

<<<Vissza a Handouthoz