Handout A Richard paradoxon Kiegészítés a "Ha"-avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai c. előadáshoz. Írta: Geier János, MAKOG 2002, VISEGRÁD Az alábbi logikai paradoxont Jules Richard francia matematikus 1905-ben készítette. (A Richard paradoxonnak más, ezzel ekvivalens megfogalmazása is létezik.) Tegyük fel, hogy el szeretnénk készíteni a természetes számok tulajdonságinak egy listáját. Először készítsünk egy listát a tulajdonságokról - olyanokról, mint pl. páros, páratlan, 7 többszöröse, teljes négyzetszám, stb. Ezután írjuk le e tulajdonságok definícióit magyar nyelven, hozzá véve a matematikai jelöléseket. Például az előző tulajdonságok definícióit a következőképp adhatjuk meg. ( ':=:' rövidítése az 'akkor és csak akkor, ha' -nak. Az x, y stb. természetes számot fognak jelölni.) 1. Az x
páros
:=: x
maradék nélkül osztható 2-vel. A definíciókat ennél
"precízebben", formálisan is megadhattuk volna.
Nevezzük e definíciókat tulajdonságdefiníciónak. Nyilvánvaló, hogy a tulajdonságdefiníciók nem mások, mint valamely rögzített ábécé (bele véve ebbe a matematikai jelöléseket is) segítségével mondjuk magyar nyelven megfogalmazott mondatok. Azaz egy tetszőleges tulajdonságdefiníció azonos egy véges ábécé karaktereiből alkotott véges hosszúságú karaktersorozattal. Valamilyen szabály alapján rendezzük sorba az összes tulajdonságdefiníciót. Legegyszerűbb módja ennek, hogy sorra vesszük a rögzített ábécénk véges hosszúságú összes karaktersorozatait (stringek), először az összes 1 hosszúságú, utána névsorba rakva az összes 2 hosszúságú, majd ugyancsak névsorba rendezve 3, 4, stb hosszúságú stringeket, és sorra véve csak azokat hagyjuk meg, melyek természetes számok tulajdonságát definiálják. A többi (értelmetlen, vagy nem természetes szám tulajdonságára vonatkozó) stringet kihagyjuk, és a sorszámozást összébb tömörítjük, hogy ne legyenek hézagok a sorszámozásban. Ezáltal biztosak lehetünk abban, hogy minden tulajdonságdefiníció a fenti felsorolásban szerepelni fog, továbbá minden tulajdonságdefinícióhoz fog tartozni egy és csak egy természetes szám, az ő sorszáma. Természetesen más megoldás is elfogadható, csak az a fontos, hogy minden tulajdonságdefiníció kapjon egy egyértelmű sorszámot, és viszont: minden sorszámhoz tartozzon egyértelműen egy tulajdonságdefiníció. Csak a magyarázat kedvéért vegyük úgy, hogy a teljes lista a fenti számozással kezdődik. Ha most tekintünk egy tetszőleges természetes számot, mondjuk 142-t, akkor megállapíthatjuk, hogy rendelkezik-e mondjuk a 3. számú tulajdonsággal; azaz érvényes-e rá a 3. számú tulajdonságdefiníció. Erre a konkrét példára megállapíthatjuk, hogy nem érvényes rá, mivel a 3. definíció a 'páratlan' tulajdonságot definiálja, a 142 pedig nem páratlan. Általában igaz, hogy tekintve egy tetszőleges i természetes számot és egy tetszőleges j sorszámú tulajdonságdefiníciót, mindig egyértelműen megállapítható, hogy az i természetes szám rendelkezik-e a j sorszámú tulajdonsággal. Mindig a két lehetőség egyike lesz igaz: vagy érvényes, vagy nem. És most definiáljunk egy új tulajdonságot: Definíció: Egy x Richardszerű :=:az x sorszámú tulajdonságdefiníció nem érvényes x-re. Csak a magyarázat kedvéért például, ha a fenti számozással kezdődne a teljes lista, akkor az 1 és a 2 természetes számok Richardszerűek lennének, a 3 és a 4, és az 5 természetes számok pedig nem. (Tessék meggondolni! Pl. a 4 természetes szám azért NEM Richardszerű, mert a 4 sorszámú definíció a négyzetszámokat definiálja, de a 4 maga is négyzetszám, tehát a 4-hez tartozó tulajdonság-definíció érvényes a 4-re. Hasonlóképp a fenti felsorolásban az 1 és a 2 egyaránt Richardszerű, a 3 és az 5 viszont nem amint azt az olvasó egyszerűen maga is végiggondolhatja.) Mivel a sorba rendezési módszerünk biztosította, hogy minden tulajdonságdefiníciónak van sorszáma, ezért a fenti Definíció -nak is kell, hogy legyen sorszáma, hiszen ez is egy egyértelműen eldönthető tulajdonságát definiálja a természetes számoknak. Jelöljük r- rel a Definíció sorszámát. ( A fentiek alapján r biztosan létezik, de általunk nem feltétlenül ismert.) Kérdés: r Richardszerű vagy sem? A paradoxon nyilvánvaló: Ha feltesszük, hogy r Richardszerű, akkor (a Richardszerű tulajdonság definíciója szerint) nem érvényes rá a hozzá rendelt tulajdonságdefiníció, tehát akkor nem igaz, hogy r Richardszerű. Ha ellenben feltesszük, hogy r nem Richardszerű, akkor (a Richardszerű tulajdonság definíciója szerint) a hozzá rendelt tulajdonságdefiníció érvényes rá, tehát akkor mégis csak igaz, hogy r Richardszerű. (ugorj az elejére…) Ez a Richard paradoxon: a kérdés nem dönthető el. A Richard paradoxonra a mai napig nincs egyértelműen elfogadott feloldás, magyarázat, amit az is bizonyít, hogy elemzéséről szóló egészen friss cikkeket lehet találni. (pl. [2]) Ugyanakkor: ez a Gödel tétel gondolatmenete is. Gödel nem tett mást, mint hogy a Richard paradoxon levezetését és gondolatmenetét a magyar (francia,német, angol..) nyelv helyett a Principia Mathematica formális nyelvén mondta el. Gödel a "tulajdonságdefiníció" helyett "egy szabad változót tartalmazó formulá"-t, az "érvényes rá" kifejezés helyett " levezethető" -t mond, és ezeket formalizálja. Kérdés: Ha a Richard paradoxon paradoxon, akkor a Gödel tétel miért tétel? Mi változik meg attól, hogy ugyanazt egyszer (korrekt, matematikai!) élő nyelven, másszor pedig formálisan mondjuk el? Állítás: Amíg a Richard paradoxon nincs kellőképp tisztázva, addig a Gödel tétel levezetésének helyessége is megkérdőjelezhető. Hivatkozások: [1] http://emmy.dartmouth.edu/~m5w00/fridiscussfolder/fridisc3/fridiscuss3.html
Copyright: Ó Geier János
|