"Ha" - avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai

Geier János

ELTE BTK Pszichológiai Intézet

A MAKOG_X Megismeréstudonmányi konferencián (Visegrád, 2002.01.28-30)
elhangzott előadás kivonata.
Az alábbi szöveg azonos a konferencia abstract füzetében található szöveggel.

Gödel nemteljességi tétele (én paradoxonnak nevezem, ki fog derülni, miért) mindenkit érdekel. Van benne valami misztikus, valami titokzatos, hiszen a róla szóló, sokszor szuperlatívuszokat zengő írások kimondott-kimondatlan sugallata szerint az ember alkotta matematikai rendszerek abszolút korlátairól szól - vagyis valahol az ember korlátairól. Van olyan szerző, aki szerint a tétel feltétel nélkül minden matematikai rendszerre érvényes, más szerint talán nem mindegyikre, de "minden valamire való axiómarendszer"-re, megint más, igényesebb megfogalmazás szerint "az aritmetikát tartalmazó" rendszerekre, stb.

A Gödel tétel reneszánszát éli. Az utóbbi években legalább négy-öt, magyarul (részben magyar, részben külföldi szerzőktől) megjelent, sikeres könyv foglalkozik vele, nem beszélve a 10-30 évvel ezelőttiekről. A kognitív tudomány művelői is gyakran hivatkoznak rá és a vele ekvivalens Turing-féle megállási tételre az elme-gép, agy-gép problémakör kapcsán. Az érvelés néha a következő formát ölti: az agy (ember, elme stb.) nem gép, hiszen a gépekre érvényes a Gödel tétel, ezért nem képesek minden kérdést eldönteni, míg az emberre ez a korlát nem áll fenn. (Pl. azért nem, mert képes megérteni magát a Gödel tételt.)

Azonban a Gödel tétel mindenekelőtt egy matematikai tétel, és így, mint minden más matematikai tétel, azzal kezdődik, hogy "Ha..". "Ha ez és ez fennáll, ha ezt és ezt megengedjük(!), akkor". A hozzáférhető írásműveket elemezve ezzel szemben az látható, hogy azok a tételt nagyon gyakran pontatlanul (a feltételeket elhagyják), megint máskor csak a dolog formális oldalát vázlatosan leírva (amiből az olvasó csak kínkeservvel ért meg félig-meddig valamit), esetleg 742 oldalon lelkendezve magyarázva (- de nem levezetve) ismertetik. A Gödel levezetés gondolati lényegét nehéz ezekből kihámozni, továbbá szerencsésnek kell lennünk ahhoz, hogy olyan könyv kerüljön a kezünkbe, melyben le is vannak írva a tétel érvényességének pontos feltételei.

Előadásomban a fentiek által motiváltatva a következők mellett fogok érvelni:

Gödel nemteljességi tétele (1) csak az olyan matematikai rendszerekre érvényes, melyek saját objektumként képesek kezelni saját formuláikat (ritka az ilyen), továbbá (2) a tétel egy olyan állítás eldönthetetlenségéről szól, ami valójában egy közönséges paradoxon. Ez a bizonyos 'eldönthetetlen állítás' nem egyéb, mint formalizált változata a 'hazug krétai', az 'önmagát borotváló vagy nem borotváló borbély' stb. paradoxonoknak. A Gödel tételben szereplő 'nem eldönthető állítás' egyszerűen azért nem dönthető el, mert eleve úgy lett megfogalmazva, hogy önmagának ellentmondjon. Abban pedig semmi csodálnivaló nincs, hogy egy önmagának ellentmondó, azaz logikai hibát tartalmazó állítás nem eldönthető. A Gödel tétel az ilyen 'patologiás állításokról' bizonyítja, hogy eldönthetetlenek - de ezt formalizálás nélkül is tudjuk. Viszont a tétel semmit sem mond az olyan rendszerekről, melyekben nem lehetséges (vagy nem megengedett) az említett típusú önhivatkozás. Amelyekben pedig megengedett, ott viszont semmit sem mond a nem önmagukkal ellentmondóra kreált, 'egészséges állítások' eldönthetetlenségéről!

Fentiek alátámasztása érdekében a Gödel tételt párhuzamba állítom a Richard paradoxonnal, amiről ki fog derülni, hogy az nem más, mint a Gödel tétel nemformális elődje (ennyit maga Gödel is említ érintőlegesen), sőt ekvivalense.

Szándékom a Richard paradoxon pontos ismertetése, amitől a Gödel tétel gondolati alapja világossá válik. További szándékom kétségeket kelteni a hallgatóban, és ezzel tovább gondolkodásra késztetni. A Richard paradoxon ugyanis könnyen megérthető, de máig feloldatlan. A Gödel tétel ennek formalizált változata. Ha az előbbit paradoxonnak nevezzük, miért nevezzük tételnek az utóbbit? Továbbá: ha az aritmetika tartalmazása elégséges feltétele a Gödel tételnek, vajon az aritmetikában megengedett a Richard-féle önhivatkozás? Végül röviden kitérek még a Turing megállási tételével való ekvivalenciára.

Az irodalomban található pontatlanságokról tett fenti állításaimat az előadásban pontos idézetekkel, hivatkozásokkal fogom alátámasztani.

Ld. még: az előadás handout-ja