|
|
||
|
Tartalom:
Bizonyíthatóság, indirekt bizonyítás V 1.35 © 2003. 05.15 - 2003.08.23, Geier János, email: janos@geier.hu http://www.geier.hu Utolsó módosítás: 2004.04.17 (Speciális karakterek módosítása: 2007.09.11) Minden jog fenntartva. Ez az írás a szerző írásbeli beleegyezése nélkül nem másolható, nem sokszorosítható, nem terjeszthető, sem részben, sem egészben. Az oldal linkelhető. Részleges idézés esetén az irodalmi hivatkozások szabályainak szigorú betartása követelmény.
Jelölje P1, P2… Pn egy matematikai tételben szereplő premisszákat, K a konklúziót. A premisszák sorozatát a K konklúzió premissza-együttesének, röviden premisszáinak nevezzük. Szokásos elnevezése még: premissza-osztály. A rövidebb írás kedvéért bevezetjük a P = P1& P2 & … & Pn jelölést. A premissza-együttesre a (Pi) jelöléssel fogunk hivatkozni. Tétel_0: [P Þ K] (Ha P, akkor K.) Akkor mondjuk, hogy a Tétel_0 -t bebizonyítottuk, ha egyértelműen kimutattuk, hogy a [P Þ K] állítás igaz. Egy tétel bizonyításának alapját az adott matematikai rendszer axiómái képezik. A Tétel_0 bizonyításának gondolatmenete során az axiómákra, mint eleve igaznak elfogadott állításokra támaszkodunk. A Tétel_0 igazsága (értsd: igaz volta) helyes levezetés során az axiómák igazságából öröklődik. A [P Þ K] állítást (azaz a Tétel_0-t) világosan meg kell különböztetnünk a K állítástól! E két állítás nem ekvivalens; a körülményektől függően bármelyik lehet igaz vagy hamis, a másiktól függetlenül, mind a 4 lehetőség szerint. A formális logika akkor mondja, hogy K következménye P-nek, ha [P & ØK] hamis. (Ld. [1]: következményreláció:”…ha a premisszák igazsága összeférhetetlen a konklúzió hamisságával…”) Eszerint [P & ØK] hamis akkor és csak akkor, ha [P Þ K] igaz, azaz, ha a Tétel_0 igaz. Így K akkor és csak akkor következménye P-nek, ha a Tétel_0 igaz. Meglepő ekvivalencia. Ugyanakkor meglepő disszonancia is: a formális logika arról beszél, hogy a K állítás a következmény, de amiről ilyenkor biztosan és egyértelműen ki tudja jelenteni, hogy igaz, az mégsem a K, csupáncsak a Tétel_0. Ez egy „igen gyenge” (ld. [1]: uott.) következményfogalom, mert ha a Tétel_0 igaz, de P hamis, akkor eszerint tetszőleges K és ØK egyaránt következménye P-nek, azaz ekkor K igazságát illetően kétség marad fenn; a kétség nem bizonyosság. Az „igen gyenge” következményfogalom nem bizonyítékfogalom a K állításra nézve. Javaslat: Akkor mondjuk, hogy a (Pi) premisszák a K állítás (elégséges) bizonyítékai, ha K következménye, és ØK nem következménye P-nek.
A "bizonyíték" kifejezés szinonimái: A K állítás igaz voltának fogalma nem ekvivalens a K állítás (Pi) premisszákon alapuló bizonyíthatóságának fogalmával. Pl. lehetséges, hogy a K igaz, de nem bizonyítható a (Pi) premisszák alapján. Ez akkor van, ha a (Pi) premissza-együttes nem képezi elégséges alapját a K állításnak, de a K más okok (más premisszák) miatt mégis igaz.
Hogy a
K igaz legyen, annak elégséges feltétele, hogy a Tétel_0 is,
és a P is igaz legyen. Ez megfelel az ismert leválasztási
szabálynak, avagy modus ponensnek: a Hogy a K bizonyítható legyen a P -re alapozva, annak szükséges feltétele, hogy a Tétel_0 is, és P is igaz legyen. Ez egyben elégséges feltétel is. Emiatt igaz Tétel_0 esetén a K konklúzió premisszái kizárólag a (Pi) -k. A Tétel_0 premisszái az axiómák, a K premisszái a (Pi) -k. Az axiómák csak a Tétel_0 közvetítésével fejtik ki hatásukat a K konklúzió igazságára, magának a K-nak (közvetlenül) nem premisszái – kivéve, ha valamely axióma a (Pi) -k közé van sorolva! Valamely K konklúzió premisszái azok a – K igazságától függetlenül bizonyítható, vagy eleve igaznak elfogadott – állítások, melyek szükségszerűvé teszik K igazságát. Ugyanaz a K állítás több, egymástól eltérő premissza-együttesnek is lehet szükségszerű következménye. A bizonyíthatóság fogalma erősebb, mint a gyenge következményfogalom, és megfelel annak, amit a matematikában (és a logikában és a való életben) a korrekt bizonyításoktól olyan esetekben elvárunk, amikor a cél valamely K állítás igazságának bizonyítása a megadott (Pi) premisszák alapján. Hogy mit célszerű bizonyításnak nevezni, azt nem egy meghatározatlan absztrakt elvi világ nemlétező szabályaiból kell levezetni, hanem meg kell nézni, milyen kritériumokat szoktak kikötni a bizonyításokkal szemben a matematikában, egyéb tudományokban, technikában, jogban vagy akár a hétköznapi élet során. Az e téren tapasztaltakból kell levonni a tanulságokat arra nézve, mit is kell a bizonyítás fogalma alatt érteni. A levezetés és a bizonyítás fogalma nem azonos. Amit a matematikában levezetésnek, azt egy logikai gondolatmenet során érvelésnek szokás nevezni. Az érvelés lehet helyes vagy helytelen, a konklúzió lehet igaz vagy hamis. Egy érvelés csak akkor bizonyítás, ha a konklúzió igaz voltának szükségszerűségét egyértelműen kimutatja. Ehhez az szükséges, hogy az érvelés helyes, és a felhasznált premisszák – biztosan, nemcsak feltételesen! – igazak legyenek. Helyes gondolatmenet esetén a premisszák igazsága kikényszeríti a konklúzió igazságát. Ezt a kikényszerítést a helyes gondolatmenet lépései közvetítik az igaz premisszákból a konklúzióra. Ha egy feltételeket tartalmazó „Ha P, akkor K” típusú matematikai tétel levezetése során nem foglalkozunk a premisszák igaz vagy hamis voltával, csak a levezetés helyességével, akkor matematikai tétel gyanánt egy levezetési sémát kapunk. Az, amit szokásosan egy ilyen matematikai tétel bizonyításának nevezünk, valójában a megfelelő levezetési séma helyességének megmutatása. Ekkor a Tétel_0-t bebizonyítottuk, de a K konklúzió igazsága még függőben marad. Egy helyes levezetési séma - azaz feltételeket tartalmazó matematikai tétel - akkor válik majd a benne megfogalmazott konklúzió bizonyításává, ha konkrét, igaz premisszákra alkalmazzuk. Ekkor a tételre, mint előre elkészített levezetési sémára hivatkozva, megtakarítjuk magunknak az újabb részletes levezetést. A matematikában ismerünk olyan tételeket is, melyek feltétel nélküli kijelentések. (Pl. „Nincs legnagyobb prímszám”). Ezek a tételek explicit premissza nélküliek, konkrét konklúziót fogalmaznak meg, levezetésük egyben bizonyítása is e konklúziónak. Noha ezek a bizonyítások az axiómákon, mint premisszákon alapulnak, az axiómákra már nem mondjuk azt, hogy „feltéve, hogy igaz”. Az axiómákat az adott matematikai rendszer alapjaiként eleve igaznak tekintjük, az ilyen típusú tételek premisszáiként nem szokás őket felsorolni - felesleges szószaporítás lenne. Feltételeket tartalmazó matematikai tételek konklúziójának igazságát általában nem lehet bizonyítani magán a matematikai elméleten belül. (Ha mégis lehet, akkor az nem is igazán lényeges tétel, hiszen ekkor maga a K is tétele a matematikai rendszernek, érdemes rögtön azt kimondani és bizonyítani.) Hogy a Tétel_0 -ban megadott feltételek teljesülnek-e, a Tétel_0 konkrét alkalmazása során derül majd ki. Ekkor a premisszákat a konkrét alkalmazás által rögzített peremfeltételeknek tekintjük. Egy konkrét alkalmazást úgy is lehet tekinteni, hogy az adott matematikai rendszer axiómáit kiegészítjük az alkalmazás által megadott peremfeltételekkel, azokat is eleve igaznak tekintve. Ekkor a kérdés úgy is felvethető, hogy e bővített axióma-együttesre épített matematikai rendszernek a K vajon tétele-e? Előfordul, hogy a P azonosan hamis a kérdéses matematikai rendszerben, azaz a ØP állítás tétele e matematikai rendszernek. Ez általában a premisszák egymáshoz, ill. az axiómákhoz kapcsolódó összefüggésrendszere következtében van így. Ekkor a P a Tétel_0 semmilyen alkalmazása során nem lehet igaz. Ha a Tétel_0 igaz, de a P azonosan hamis, akkor P-re hivatkozva a K igazságát semmiképp sem lehet bizonyítani; ekkor nincs olyan alkalmazás, melyben K bizonyítható lenne. (Mellesleg: ha P azonosan hamis, akkor a Tétel_0 azonosan igaz.) Ha egy állítás azonosan hamis, azt úgy is mondjuk, hogy kielégíthetetlen. „Azonosan hamis premissza-együttesre nem lehet bizonyítást alapozni.” Ezt úgy kell érteni, hogy azonosan hamis P nem bizonyító erejű a K igazságára; nem képezi elégséges alapját a K állításnak – bármit is állít a K, bármi legyen is a konkrét alkalmazás. Az, hogy a P azonosan hamis, többféleképp lehetséges. A minket elsősorban érdeklő eset az, amikor valamelyik Pi premissza azonosan hamis. Ez akkor van, ha ez a premissza tagadása az adott matematikai rendszerben fennálló valamely igaz állításnak, igazságnak. Lehetne még belső ellentmondás is közöttük, stb. Az, hogy a Tétel_0 valamelyik premisszájának azonosan hamis volta e tétel bizonyításának elvégzése előtt bizonyítható, úgy értendő, hogy a hamisság ténye e bizonyítás gondolatmenetétől eltérő és rá nem hivatkozó, másik gondolatmenettel bizonyítható. Ha valaki valamely gondolatmenettel a P premisszákra hivatkozással bizonyítani szándékozik a K állítást, de létezik az adott gondolatmenettől független másik gondolatmenet, mellyel bizonyítható valamelyik premissza azonosan hamis volta, akkor úgy folytatni a gondolatmenetet, mintha ez a premissza mégis igaz lenne vagy lehetne, levezetési hiba. Ha az illető nem ismeri ezt a másik gondolatmenetet, az nem mentség; attól a hiba még hiba. (Ld. lejjebb a példákat.)
Az „azonosan hamis premisszákra nem lehet bizonyítást alapozni (*) ” kitétellel szemben az a látszólagos kifogás emelhető, hogy ez nem érvényes az indirekt bizonyításokra. A kifogás így szól: (Idézet egyik levelező /vita-/ partneremtől.)
"Vessük össze ezeket a megállapításokat az indirekt
bizonyítási sémával:
(**) (1)
Tegyük fel, hogy P Ez egyszerűen a premissza fogalmának totális félreértése! Ugyanis se (1), se (3) nem premisszái a konklúziónak; annak ellenére nem azok, hogy vitapartnerem felsorolta. Ez nagyon röviden is belátható. Hagyjuk el (1) -et és (3) -at, akkor a következő sémát kapjuk.
Ugye, hogy (1) és (3) elhagyása ugyanazt eredményezi? Ebben az "indirekt bizonyítási sémában" kizárólag a (2) és (4) a premisszák, ezekre támaszkodik a bizonyítás. Ahhoz, hogy a konklúzió bizonyított legyen általuk, mindkettőnek igaznak kell lenni, és ez elégséges is. Mivel az (1) nem premissza, az indirekt " (**) alakú bizonyítási séma" nyugodtan elkezdhető, nem fogunk az ominózus tiltásba ütközni. Nézzük meg ezt részletesebben! Az indirekt bizonyítások során a gondolatmenet általában fordított irányú ahhoz képest, mint amit a 'közönséges' (direkt) bizonyítások során tapasztalunk. Utóbbinál a tételben megfogalmazott premisszák állnak a gondolatmenet elején, és ezekből haladunk lépésről lépésre a konklúzió felé. Indirekt bizonyítások során ez általában fordítva van: a bizonyítandó állítás tagadása áll a gondolatmenet elején, és ebből haladunk lépésről lépésre - de most nem a konklúzió felé, hanem egy ellentmondás kimutatásáig. Ez az eltérő sorrend a felületes szemlélőt téves megállapításokra késztetheti, mondván: lám, indirekt bizonyítások során hamis premisszákból indulunk ki, hiszen a végén be fog bizonyosodni, hogy hamis volt a feltevésünk, és nyilván már akkor is hamis volt, amikor elkezdtük a bizonyítást. Az az állítás, amelyik indirekt bizonyításnál a gondolatmenet elején áll - nem premissza! - hanem a bizonyítandó állítás tagadása. Látva a félreértést, tisztázni kell (újból): (i) mit is nevezünk premisszáknak, (ii) valójában mi is az az állítás, amelynek bizonyításáról szól a kifogásolt (*) mondat, (iii) mit jelent az indirekt bizonyítás? (i) Valamely K konklúzió premisszái azok a – K igazságától függetlenül bizonyítható, vagy eleve igaznak elfogadott – állítások, melyek szükségszerűvé teszik K igazságát. Az említett levezetés-vázlatban a (2) és a (4) igazsága elégséges a konklúzió igazságának szükségszerűségéhez; ehhez (1)-re és (3)-ra nincs szükség, e két álpremissza egyszerűen elhagyandó. Felmerülhet, hogy esetleg (2) igazságához szükséges (1). Azonban ez sincs így. A (2) premissza egy összetett állítás, a P -ből és a Q -ból lett összetéve a kondicionális (implikáció) logikai művelettel. Ahhoz, hogy (2) igaz legyen - lehessen -, nem kell P-t igaznak feltételezni (sőt!). Így a konklúzió igazságához (1)-re nincs szükség, és így a (3)-ra sincs. Tehát: (1) és (3) nem premisszái a konklúziónak, és így az "indirekt bizonyítási séma" a következőre redukálódik:
A P nem szerepel a premisszák között, amivel cáfoltuk a kifogást. * * * A továbbiakat mégis érdemes megfontolni, mert az iménti "indirekt bizonyítási sémából" kevés részlet derül ki arra vonatkozóan, hogy mi is valójában az indirekt bizonyítás. (Mellesleg: több szerző szerint a (***) levezetési séma elnevezése kontrapozíció, avagy modus tollens, és a reductio ad absurdum sémája eltér ettől (és eltér (**) -től is), ld. [3]: 63. o. és [4]: 40, 42. oldal.) (ii) A kifogásolt (*) mondat a K állítás bizonyíthatóságáról szól, nem pedig a Tétel_0 bizonyíthatóságáról. A kifogás nem tesz világos különbséget e két fogalom között. Nem világos, hogy a P a Tétel_0 -t jelöli, aminek igazságát az axiómákra alapozzuk, vagy a K konklúziót, aminek premisszái a (Pi) -k. Mindkét verziót meg fogjuk nézni. (iii) Valamely Tétel_0 indirekt bizonyítása abból áll, hogy annak direkt bizonyítása helyett a tagadását cáfoljuk. (Ø [P & ØK] Û [P Þ K] . Mellesleg: épp így definiáltuk a bizonyítékfogalmat: [P & ØK] hamis.) Valamely Tétel_0 -ban megfogalmazott K állítás indirekt bizonyítása abban áll, hogy a K tagadását cáfoljuk, felhasználva és igaznak elfogadva a Tétel_0 premisszáit - tehát ekkor is a Tétel_0 tagadását cáfoljuk. Indirekt bizonyítással mindig tétel tagadását cáfoljuk, sosem az abban megfogalmazott konklúziót egymagában. Bizonyítás és cáfolás során egyaránt, mindig vannak premisszák, ha mások nem, hát az axiómák azok. A Tétel_0 indirekt bizonyításakor a gondolatmenet első fő lépése abból áll, hogy az eredeti (Pi) premisszákat kiegészítjük a K tagadásával, és kimutatjuk az így kapott indirekt [P & ØK] feltételezés lehetetlenségét. A cáfolás itt szokásos módja, hogy a cáfolandó [P & ØK] állításból egy alkalmas gondolatmenetet indítunk, és ezt addig folytatjuk, amíg lehetetlenségre nem jutunk (reductio ad absurdum). Amikor ez bekövetkezett, leállítjuk a gondolatmenetet, és egy meta-állítást fogalmazunk meg, a következőhöz hasonlót: „az indirekt feltételezésből indított szabályos gondolatmenet elakadt, lehetetlenségre jutott.” Erre hivatkozva úgy tekintjük, hogy megcáfoltuk a [P & ØK] állítást, azaz kimutattuk, hogy lehetetlen, nem lehet igaz. Mivel nem igaz, ezért a „kizárt harmadik elve” miatt hamis. („Valamely dologról szóló állítás vagy igaz, vagy hamis, az nem lehet, hogy egyik se.” ) Ha ez az elv nem létezne, vagy nem fogadnánk el, akkor az indirekt bizonyítás elve nem lenne érvényes bizonyítási módszer. A „kizárt harmadik elve” elfogadása szükséges az indirekt bizonyítás elvének elfogadásához, és a többi logikai alapelvvel együtt elégséges is. Mivel [P & ØK] hamis, ezért tagadása, [P Þ K] igaz. Ezzel azonban még csak a [P Þ K] igazságát, és nem a K igazságát bizonyítottuk. Ahhoz, hogy a K-t bizonyítottnak tekinthessük az indirekt gondolatmenet által, szükséges, hogy az eredeti (Pi) premisszák igazságát továbbra is „sérthetetlennek tartsuk”, továbbra is igaznak tekintsük. Máskülönben a P valamelyik Pi tényezőjének tagadásával is feloldható lenne a kimutatott lehetetlenség, ekkor nem lenne szükségszerű a ØK tagadása (lenne „kibúvó” a Pi tagadásának irányában.) K igaz volta azért szükségszerű, mert P igaz és [P & ØK] hamis. Ha P hamis lenne, akkor az indirekt gondolatmenet nem bizonyítaná K-t (lenne kibúvó). Ha P igaz (és [P & ØK] hamis), akkor az indirekt gondolatmenet bizonyítja K-t (nincs kibúvó). Kaptuk: a K bizonyíthatósága most is kizárólag a P igazságán múlik. A K konklúzió premisszái – az igazságát kikényszerítő állítások – indirekt bizonyítási módszer esetén is kizárólag a (Pi) premisszák. (Az indirekt bizonyítás ennél részletesebb, de a gondolatát tekintve azonos tárgyalása megtalálható [4]: 42. oldal.) A (*) mondattal szemben tett kifogás fő félreértése, hogy a bizonyítandó tétel tagadását premisszának véli. Az indirekt [P & ØK] feltételezés nem premissza, hanem maga a cáfolandó állítás. Az indirekt bizonyításokban fellépő élőnyelvi cáfolások gondolatmenetének iránya pontosan fordítottja a direkt bizonyítások gondolatmenetének. Ekkor a gondolatmenet elején a cáfolandó tétel áll, nem a premisszák. A neve is mutatja: reductio ad absurdum. Reductió: visszavezetés, visszafelé lépegetés a gondolatmenetben. Ha egy állítás a gondolatmenet elején áll, az ettől a ténytől még nem válik premisszává! A két gondolatmenet eltérő iránya az, ami itt megtévesztheti a felületes szemlélőt. Azt állítani, hogy akár a K tagadása premisszája lenne magának a K-nak, vagy akár a Tétel_0 tagadása premisszája lenne magának a Tétel_0 -nak, fogalmi tévedés.
A
katona Egy vicces kedvű úr a szerzőnek, gyerekkorában, a következő találós kérdést tette fel: „Na öcsi, elhiszed-e amit most mondok: Minden délben, ha a hősök szobra meghallja a harangszót, megemeli a sapkáját” (A szekszárdi Garay János parkban található hősök szobráról, egy álló és egy összecsukló katonát ábrázoló bronzszoborról van szó. Az álló katona fején sapka van.) A helyes válasz: ’elhiszem’, ’igaz’. A bronzszobor nem hall, így a harangszót sem hallja meg, tehát az állítás igaz. (Az úr nem matematikus volt - de ez most már nem bizonyítható, se nem cáfolható. Az akkori kisgyerek (12) akkor, barátjával együtt megértette a viccet.) A tétel pontos megfogalmazásához a rejtett premisszákat is fel kell sorolni. Tétel_1: Premisszák: - dél van (az időpont : dél) - minden délben harangoznak - a hősök szobra meghallja a harangszót - a hősök szobra bronzszobor - a bronzszobrok nem hallanak harangszót (nincs olyan időpont, amikor egy bronzszobor harangszót meghall) Konklúzió: - a szobor megemeli a sapkáját. Ez példa arra, hogy a tétel igaz, de a konklúziónak szánt állítás semmiképp sem dönthető el a premisszák alapján, mivel a premissza-együttes azonosan hamis. „Hamis premisszákra nem lehet bizonyítást alapozni.” A kérdés trükkös volta látható: a józanész (a paraszti- és a gyerek-) nem arra kíváncsi, igaz-e a tétel, hanem arra, igaz-e a konklúzió? Érdemes-e 11óra 55 perckor odaülni a szobor elé, hogy megvárjuk a sapka megemelését. Hiába igaz maga a Tétel_1, erre a kérdésre nem ad se ’igen’, se ’nem’ választ. A matematikai tételek alkalmazásakor ugyanez a helyzet: nemcsak az érdekes, hogy igaz-e a Pithagorasz tétel a „Ha...,akkor (és csak akkor) ...” megfogalmazásban, hanem adott esetben azt is fontos lehet tudni, hogy az a konkrét háromszög, melynek oldalhosszai rendre 3,4,5 rőf, vajon derékszögű-e? (Az egyiptomi földmérőket és piramisépítőket minden bizonnyal ez utóbbi kérdés érdekelte jobban. A szofisztikusokat nem.) A legnagyobb szám Indirekt módszerrel be fogjuk bizonyítani, hogy 1 a legnagyobb szám. (Szám alatt most természetes számot értünk.) Jelöljük n-nel a legnagyobb számot, és tegyük fel az állítás ellenkezőjét, azaz, hogy n>1. Mindkét oldalt beszorozva n-nel: n2>n, tehát nem n a legnagyobb szám. Ezzel ellentmondásra jutottunk, tehát nem igaz az indirekt feltételezésünk, tehát 1 a legnagyobb szám. A hiba ott van, hogy nincs legnagyobb szám, és ezt e gondolatmenettől függetlenül, máshonnét tudjuk. (Ha valaki ezt nem tudja, az nem mentség, attól a hiba még hiba. Szerző tapasztalata, hogy nem-matematikusok valóban zavarba tudnak jönni ettől a feladattól.) A tétel megfogalmazásakor a rejtett premisszákat is fel kell sorolni, melyek az élőnyelvi megfogalmazáskor elsikkadhatnak. Tétel_2: (Premisszák a vonal fölött, a (kérdéses) konklúzió a vonal alatt.) 1. Van legnagyobb n szám. 2. Ha x>1, akkor x2>x, ahol x tetszőleges természetes számot jelöl. 3. A legkisebb szám 1. 4. 1*1=1.
-------------------------------- (Itt a 2. nem „indirekt premissza”, hanem egy igazság. A konklúziót bizonyító indirekt bizonyítás így kezdődik: Tegyük fel, hogy n>1. Akkor 2. miatt n2>n, stb….Az a kiinduló feltétel, hogy „Tegyük fel, hogy n>1”, nem szerepel a tétel premisszái között. Itt – indirekt bizonyításról lévén szól – e feltételezés maga a cáfolandó állítás.) Egyéb módon bizonyítható, hogy nincs legnagyobb szám, ezért az 1. premissza azonosan hamis. A Tétel_2 igaz, de a konklúziónak szánt állítás nem dönthető el a premisszákra alapozva. (A Tétel_2 i így szól: „Ha van legnagyobb szám, és x>1 –re x2>x, és a legkisebb szám 1, és 1*1=1, akkor a legnagyobb szám 1.”) A konklúziónak szánt állítás igazságát bizonyítani szándékozó, élőnyelven megfogalmazott gondolatmenet hibás, mivel nem vette figyelembe, hogy az egyik (az első) felhasznált premissza azonosan hamis. „Azonosan hamis premisszákra nem lehet bizonyítást alapozni.” - ti. a konklúzió bizonyítását nem lehet rájuk alapozni. A tételét igen, de nem ez a fő kérdés. Noha az iménti élőnyelvi megfogalmazás egy indirekt bizonyítás, ennek ellenére az elkövetett hibának az indirekt módszerhez semmi köze. Ilyen hibát se direkt, se indirekt levezetés során nem szabad véteni.
1=2 Be fogjuk látni, hogy 1=2. Tegyük fel, hogy a = b. Szorozzuk meg mindkét oldalt a-val: a2 = ab. Vonjunk ki mindkét oldalból b2-et: a2 - b2 = ab - b2. Bontsuk mindkét oldalt tényezőkre: (a + b)(a - b) = b(a - b) (*) Osszuk el mindkét oldalt (a - b) -vel: a + b = b. Ha most még azt is feltesszük, hogy a =1, akkor 2 = 1. A hiba ott van, hogy a = b esetén a (*) sorban a – b = 0 lesz, és „0-val tilos osztani”. Pontosabban: ez azt jelenti, hogy (*) bal ill. jobb oldalának megfelelően, nem létezik olyan x -szel jelölt valós szám, melyre x = ((a+b)*(a-b))/(a-b) = (2*0)/0, és nem létezik olyan y -nal jelölt valós szám, melyre y = (b*(a-b))/ (a-b) = ((1*0)/0. A levezetés során átsiklottunk ezen, hallgatólagosan feltételeztük, hogy x és y által rövidített formulák létező valós számot jelölnek. A tétel megfogalmazásához fel kell sorolni az explicit (P1, P2) és az implicit (P3, P4, P5) premisszákat, valamint a releváns igazságokat. (P6, P7, P8). Tétel_3: P1. a = b. P2. a = 1. P3. Ha a = b, akkor (a+b)(a-b) = b(a-b). P4. A F » ((a + b)(a-b))/(a-b) formula valós számot jelöl. P5. A Y » (b(a-b))/(a-b) formula valós számot jelöl. P6. Ha (cd)/d létező valós számot jelölő formula, akkor (cd)/d = c. P7. Az c/0 formula nem jelöl valós számot. P8. Ha c = d akkor (c-d) = 0
--------------------------------------------------------------------------------- ( » a formulahelyettesítés metanyelvi jele, a,b,c,d valós számokat jelölnek) A premissza-együttes azonosan hamis, mivel [P1 & P4 & P7 & P8] (valamint [P1 & P5 & P7 & P8]) azonosan hamis. Azonosan hamis premissza-együttes semmilyen K állítás számára nem szolgál bizonyítékul; a Tétel_3 -ban konklúzió gyanánt megfogalmazott állítás nem konklúziója a premisszáknak. Ez további példa arra, hogy a tétel igaz, de a konklúziónak szánt állítás semmiképp sem dönthető el a premisszák alapján, mivel a premissza-együttes azonosan hamis. (A Tétel_3 igaz. Így fogalmazható: „Ha (a = b) esetén a F és a Y által jelölt két valós szám létezik, és a=1, akkor 1=2.” Ez egy igaz és bizonyítható tétel, ti. a premissza-együttes azonosan hamis.) Ezt az állítást a megadott premisszákra alapozva nem lehet eldönteni - azaz se bizonyítani, se cáfolni.
Az ’1=2’ hamis bizonyításban másképp is megfogható a hiba: a „nemlétezés” fogalmával. Nemlétező objektumról szóló kijelentés nem dönthető el; az nem állítás. A világos fogalomalkotás érdekében itt az állítás és a kijelentés fogalmát meg kell különböztetnünk. Valamely állítás nyelvi megjelenési formáját kijelentésnek nevezzük. A kijelentés egy nyelvi forma, de nem biztos, hogy van tartalma is. Az állítások mindig szólnak valami(k)ről; mindig van tárgyuk. Egy kijelentést csak akkor tekintünk állításnak, ha szól valamiről. Az olyan mondat, amely szintaktikailag kijelentés, és csak úgy tűnik, mintha szólna valamiről, de az a valami nem létezik, az nem állítás. Az ilyen kijelentést üres, vagy tárgyát vesztett kijelentésnek nevezzük. Az üres kijelentés nem állítás; nincs igazságértéke. Csak azt a kijelentést tekintjük állításnak, mely nem üres; amely létező dologról szól. Példa üres kijelentésre: „A Merkúr bolygó holdjának van légköre.” ([1]: példa a „szemantikai értékrés” címszó alatt.) A probléma itt az, hogy ez egy teljesen értelmes mondat, mindenki megérti. Mégsem dönthető el: se nem igaz, se nem hamis. Emiatt úgy tűnik, sérül a kizárt harmadik elve. E szintaktikai/szemantikai probléma megoldása Frege azon ötletén (ld. pl. [2]: 11. o.) alapul, hogy világosan meg kell különböztetnünk a következő három fogalmat: jel, jelentés, jelölet. A ”Merkúr bolygó holdja” karaktersztring egy jel; van jelentése, hiszen megértjük és el tudjuk képzelni; jelölete azonban nincs, mivel nem jelöl semmit. A teljes mondat egy üres kijelentés, mivel amiről szólni látszik, az nem létezik. Ez a kijelentés tehát nem állítás, nincs igazságértéke. A levezetésünkre visszatérve, hogy a két nemlétező valós szám, x és y egyenlő-e egymással, ugyanezen ok miatt nem dönthető el. Az a szófordulat, hogy „x és y két nemlétező valós szám”, úgy értendő, hogy x és y két olyan jel, melyeknek nincs jelölete. Azért nincs, mert a segítségükkel megfogalmazott feltételek kielégíthetetlenek. (Az, hogy valós számot jelölnek, csak szándék, óhaj. Ennek oka, hogy a c/0 jelnek nincs jelölete.) Általában is úgy van, hogy valamely jel bevezetése során csak feltételesen – szándék szerint – mondhatjuk, hogy mit jelöl. Pl. ”Oldjuk meg a x2+2x+3=0 egyenletet, ahol x valós számot jelöl”. Itt pontatlan a szóhasználat, hiszen a mondatszerkezet szerint megelőlegezzük, hogy az x jelöl valós számot. Próbáljuk csak megoldani az egyenletet, kiderül, hogy a valós számok körében nincs megoldás. Akkor most x „nemlétező” valós számot jelöl? Vagy inkább: „x nem jelöl létező valós számot?” Hogyan van ez? Fontos a megfelelő szóhasználat az ilyen esetekre! Javaslat. Az „ahol x valós számot jelöl” szófordulat alatt a következő értendő: „ahol x potenciális jelölete valós szám”. Az alatt pedig, hogy „x nemlétező objektumot jelöl” azt kell érteni, hogy „az x jelhez nem tartozik jelölet”, mivel a rá kirótt feltételek nem teljesíthetők, kielégíthetetlenek. (A feltételek közé azt is besoroljuk, hogy x-nek mi a potenciális jelölet-halmaza.) Ez megoldja e szofisztikai problémát. „Nemlétező objektumról megfogalmazott kijelentés nem eldönthető.” Az új megfogalmazás szerint ez így értendő: „ha az x jelre megadott feltételek kielégíthetetlenek, akkor az x-et szabad változóként tartalmazó kijelentés (formula) nem állítás”. Az állítások eldönthetők, de az üres kijelentések – a látszatállítások, melyek nem szólnak semmiről, melyeknek szintaktikailag van ugyan tárgyuk, de annak nincs jelölete – nem állítások. Ezáltal a „kizárt harmadik elve” nem sérül. A (*) ponton elakad a gondolatmenet, tovább nem folytatható. Köznyelven megfogalmazott oka: „nullával tilos osztani”. Pontosan megfogalmazott oka: nincs olyan valós szám, mely a c/0 jel jelölete volna. Ha elfogadjuk azt az elvet, hogy algebrai levezetések során tilos nullával osztani, akkor ennek egyszerű általánosítását is el kell fogadnunk: levezetés során tilos olyan objektumra alapozni, mely bizonyítottan nem létezik. Ez a rövid mondat - mint általában a rövid mondatok- félremagyarázható, ezért kissé bővebben meg kell magyarázni az egyes szavak jelentését. A "tilos..alapozni" kitétel úgy értendő, hogy mivel tudjuk, hogy biztosan nem létezik, ezért tilos oly módon hivatkozni rá, mintha mégiscsak létezne. Ha egy gondolatmenet során egy ilyen ponthoz érünk, és ez a nemlétezés a gondolatmenet folytatásától független, más gondolatmenettel bizonyított, ott a gondolatmenet elakad, nem folytatható tovább – a nullával osztás tiltásához hasonlóan. Ez a kitétel nem tagadja az indirekt bizonyítások létjogosultságát. Indirekt bizonyítással általában valaminek a nemlétezését bizonyítjuk éppen azáltal, hogy kimutatjuk: a létezés feltételezése ellentmondásra vezet. A kiinduláskor még nem tudjuk, hogy amire hivatkozunk, az nem létezik, így semmi akadálya annak, hogy feltételesen létezőként kezeljük: a "bizonyítottan nem létezik" kifejezés itt a kulcs. Azonban, ha egy indirekt bizonyítás során esetleg elérkezünk egy olyan pontig, ahol valamely objektum kapcsán a fenti tiltásba ütközünk - ott az indirekt bizonyítás is elakad. Ekkor maga az indirekt bizonyítás is egy "hamis" bizonyítássá válna, ha mégis tovább haladnánk a levezetésben. (Indirekt bizonyítások során sem szabad nullával osztani! EZ alól egy kivétel van: ha épp azt szeretnénk bebizonyítani, hogy a nullával való osztás ellentmondásra vezet.) A fenti tiltás minden gondolatmenetre érvényes, akár direkt, akár indirekt bizonyításról van szó. Megjegyzés: Több logika tárgyú írást végignéztem abból a szempontból, hogy azok mit mondanak az ellentmondásos premisszákra alapozott, ill. a nemlétező objektumokra alapozott bizonyításokról, levezetésekről. Ebből az derült ki, hogy e két kérdést (ami lényegében egy és ugyanaz) a formális logikai írások csak elvétve érintik, akkor is mellékesen. Érthető is, hiszen egy absztrakt bizonyításelmélet
Emiatt a jelenleg kidolgozott formális logikai elmélet, ezen belül a (formális) bizonyításelmélet egyszerűen nem ad választ a mi kérdésünkre: csak és kizárólag a Tétel_0 -val foglalkozik, az azon belül megfogalmazott K konklúzióval nem. Az absztrakt formális logika továbbá azt az alapvető dolgot sem kezeli, hogy az állítások mindig szólnak valamiről. Az állításoknak igazságértéket tulajdonít (egy állítás vagy igaz, vagy hamis), de hogy egy állítás nem csak úgy egymagában van, hanem mindig valamiről – egy vagy több dologról, objektumról – szól, azt figyelmen kívül szokás hagyni. A logikát nem csupán absztrakt formális rendszernek tekintő írások szerencsére értik a kérdést, és foglalkoznak is vele. Ruzsa (2000) célzása szerint a "szemantikai érték-rés" elismerése az, ami ebből a kátyúból ki tudná húzni a formális logikát: "helyesebbnek tűnik a szemantikai értékrés elismerése és beépítése a logikai elméletekbe". ([1]:100.o.) Hivatkozások [1] Ruzsa Imre: Logikai zsebenciklopédia, Budapest, Áron kiadó, 2000. [2] Benedek Sándor és Lick József: Logikai alapismeretek, Budapest, Okker kiadó, 1997. [3] Pásztorné Varga Katalin: Logikai alapozás alkalmazásokhoz, Egyetemi jegyzet, ELTE, Budapest, 1997. [4] Kristóf János: Az analízis logikai alapjai, Egyetemi jegyzet, ELTE, Budapest, 1998. © 2003, Geier János, email: janos@geier.hu http://www.geier.hu
|
