A Ruzsa Imre emlékkonferenciára beküldött eredeti abstract, alul a linkekkel

Szemantikai értékrés Cantor mennyországának égboltján - avagy mi az, amit megmentett Hilbert?

Geier János, Stereo Vision Kft, Budapest.

Közismert, hogy a halmazelmélet axiomatizálásának vezéralakja Hilbert volt. Ruzsa [1, p176] szerint "Hilbert semmiképp sem akart lemondani Cantor transzfinit matematikájáról....". Másutt Ruzsa [1, p183] ezt írja: "A halmazelmélet axiomatizálásának természetes célja, hogy az antinómiák kiküszöbölése mellett a naiv halmazelmélet értékes részéből minél többet megmentsen.". Nyilvánvaló, hogy az "értékes rész" magja nem más, mint a Cantor-féle átlós eljárás és az azon alapuló hatványhalmaz tétel (CHT). Megmenteni csak azt lehet, ami előtte már létezett, így jogosan vethető fel a kérdés: az ún. "naiv halmazelmélet" keretein belül - azaz a 19. sz. végére kialakult (és napjaink "hétköznapi matematikusai" által is rendszeresen használt) tiszta, világos, természetes matematikai gondolkodásmód (TMG) szerint - hibátlan-e a CHT bizonyítása? Itt arra a gondolatmenetre utalok, amit minden, e témával foglalkozó tankönyvben megtalálhatunk, például Ruzsa [1, p147]. Előadásomban virtuális időutazásra invitálok az 1890-es évekbe, amikor megjelentek a halmazelméleti antinómiák éppen a nevezett gondolatmenet parafrázisaiként, és még nem volt se ZFC, se NBG, de volt egy egységes konszenzus a TMG –ról. Ennek fényében kimutatni szándékozom: a CHT bizonyításának tankönyvi, "naiv" gondolatmenete hibás, mert az indirekt levezetésnek egy adott pontján nem veszi figyelembe az ott fellépő szemantikai értékrést. A hiba kimutatásának alapja szintén megtalálható Ruzsa [1, p178] -ban, amikor arról beszél, hogy " ... bizonyos dolgok között egy kétváltozós F(a,b) reláció van adva oly módon, hogy ... minden d-re F(d,d) és F(d,s) közül pontosan az egyik teljesül, és … ez a speciális s elem is a számításba jöhető dolgok közé tartozik." Ugyanakkor elfogadom, hogy a CHT a ZFC-nek tétele. Következmények: (1) Hilbert nem mentett meg semmit, ellenben (tévedésből?, Zermeloval, Fraenkellel és másokkal együtt) " ..egy új, más világot teremtett". (2) A "Russell antinómia" nem antinómia.

Hivatkozások:

[1] Ruzsa Imre (1966) A matematika néhány filozófiai problémájáról in. Világnézeti nevelésünk természettudományos alapjai IV., Tankönyvkiadó, Budapest

Kiegészítések az absztrakthoz:

http://www.geier.hu/Ruzsa/index.htm

http://www.geier.hu/Cantor/Cantor_rovid.htm

http://www.geier.hu/Cantor/Cantor_rovid.pdf

http://www.geier.hu/GOEDEL/index.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor's_theory