A természetes számok felépítése

© Geier János, http://www.geier.hu/

V1.41, 2004.10.23-11.29

Speciális karakterek kijavítása: 2007.09.13

Minden jog fenntartva. Ez az írás a szerző írásbeli beleegyezése nélkül nem másolható,
 nem sokszorosítható, nem terjeszthető, sem részben, sem egészben.
 Az oldal linkelhető.
 Idézés esetén az irodalmi hivatkozások szabályainak betartása szigorú követelmény.

 

A természetes számok klasszikus, ma elfogadott axiómarendszere a Peano axiómarendszer. De tévedés lenne azt gondolni, hogy a természetes számokat a Peano axiómarendszer „hozza létre”. A természetes számok, mint emberi fogalmak, e nélkül is léteznek. Léteznek abban az értelemben, ahogyan általában az ember alkotta fogalmak léteznek: az ember alkotta virtuális világ részeként, hasonlatosan a mesebeli hétfejű sárkányhoz. A Peano axiómarendszert legfeljebb úgy tekinthetjük, mint egy már meglévő fogalomrendszer modellje.

Ha ez így van, akkor mik valójában a természetes számok? A válasz nagyon egyszerű – lenne, ha nem akarnánk mindenáron elbonyolítani: a 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 szimbólumokból alkotott sorozatok. Mondhatnánk azt is: vegyünk egy kilométerórát a megfelelő kerekekkel és közvetítő fogaskerekekkel, és kezdjük el léptetni. Mielőtt túlcsordulna a km óra, tegyünk hozzá balról egy újabb kereket, ami 0-n áll a hozzátevés pillanatában. A túlcsordulás megelőlegezésére legbiztosabb, ha minden lépés után megnézzük, vajon a bal szélén lévő kerék 0-t mutat-e; ha nem akkor máris tegyünk oda egy újabb kereket.

Itt persze rengetegen egyből felütik a fejüket: circulus vitiosust, önmagával való definíciót kiáltanak, mondván, hogy „itt rejtetten hivatkozol a végtelenre”, „mit értesz véges vagy végtelen alatt”, mit értesz „sorozat alatt”. (Kedvem lenne ezektől néha megkérdezni: mit értesz  „mit értesz” alatt?) A véges-végtelen fogalmát talán kevesebben kérdezik meg, hiszen a halmazelmélet is oly módon definiálja a véges halmazt, hogy nem használja fel a természetes szám fogalmát. (Ha valakinek éppen ez tetszik, íme: végtelen az a halmaz, melynek van önmagával ekvivalens valódi részhalmaza, véges az a halmaz, amelyik nem végtelen. Mellesleg fura, hogy a véges csak mellékterméke a végtelennek. Mintha a hétköznapi józan életben ez fordítva lenne.) A sorozatra inkább rá lehet kérdezni, hiszen a mai matematikai divat szerint a sorozat a természetes számok halmazán értelmezett függvény. Ebből valóban önmagával való definíció adódna, ezért most ily módon nem lehet definiálni a sorozat fogalmát, valami mást kell kitalálni. A végtelenre - mint aktuális végtelenre! - pedig rejtetten sem hivatkozok, amint az az alábbiakból ki fog derülni. (Ha nem hiszed, mutass rá e rejtett hivatkozásra!)

A dolog lényege, hogy a számokat nem kell feltétlenül valamiféle absztrakt platóni ideáknak tekinteni, nem kell a „háttérben ott lévő létezőkre” gondolni, melyek talán már akkor is „létezetek”, amikor még ember sem volt a földön. Ehelyett egyszerűen én azt mondom: a természetes számokat az ember találta ki, aminek az alapja az írásbeliség, és a papírra (netán agyagtáblára) történő jelek leírása volt. Vagy esetleg zsinórok csomózása, stb. Természetesen fontos célja is volt ennek, éspedig az, hogy rendet lehessen rakni a „darabos” dolgok között, ha azok együvé tartoznak ilyen vagy olyan okok miatt (pl. ugyanabban az udvarban vannak, vagy ugyanaz a tulajdonosuk stb.), vagy a cserekereskedelem során … de hiszen ezt ismerjük.

Akár zsinórt, akár papírt, akár mást mondunk, a természetes számok ábrázolása feltételezi egyfajta láncra fűzés (egymást követés) lehetőségét, ami nem más, mint a 3D világ geometriai jellemzője. Itt maguknak a számjegyeknek (csomóknak) egymásra fűzésére gondolok! A zsinórnál közvetlenül adódik a láncra fűzés, a papírra vagy agyagtáblára írásnál némi fegyelemre van szükség: sorokba kell rendezni a karaktereket, és megállapodni pl. a balról jobb felé haladásban. Ekkor lesz csak egyértelmű jelentése annak, hogy melyik jel van előbb, melyik később. Érdemes elgondolkodni azon, vajon ha a három dimenziós térbeli világunk nem lenne alkalmas objektumok egymás mellé rakására (azaz láncra fűzésére), akkor ki tudott volna alakulni a természetes számok mai fogalma? Akkor talán ott tartanánk, hogy egy, kettő és sok. Vagy hogy MCDIXV. Úgy tűnik, az emberiség a mai számfogalmat az arab számokkal együtt találta fel – igen, feltalálta, és nem felfedezte.

Hogyan lehetne korrekt, belekötés-mentes módon felépíteni a 2-es (vagy akár  10-es) számrendszerre alapozott számfogalmat oly módon, hogy ne hivatkozzunk közben ilyesmire, hogy „tegyük fel, hogy létezik objektumon végtelen halmaza, mely eleget tesz … ennek és ennek…”.

Ne tegyünk fel előre semmi ilyesmit - inkább kezdjünk el építkezni az alapoktól!

 

Előzetes általános definíciók

Def_1  Valamely H halmazon értelmezett valamely < -val jelölt relációt rendezési relációnak nevezünk, ha tetszőleges a,bÎH -ra az a<b, a=b, b<a közül pontosan az egyik áll fenn. Az a<b -t úgy nevezzük, hogy a kisebb mint b. 

Def_2 Azt mondjuk, hogy H  kétszeresen jólrendezett a < reláció szerint, ha H tetszőleges nemüres D részhalmazának van legkisebb és legnagyobb eleme; ahol legkisebb m elem alatt azt az mÎD -t értjük, melyre ha  xÎD, akkor x=m vagy m<x; hasonlóképp legnagyobb m elem alatt azt az mÎD -t értjük, melyre ha  xÎD, akkor x=m vagy x<m.

Megjegyzés Ha csak annyit kötnénk ki,  hogy legyen legkisebb elem, azt nevezik szokás szerint jólrendezett halmaznak.

Def_3 Legyen értelmezve a H halmazon a < rendezési reláció, és legyen a,bÎH, akkor [a,b]  intervallum alatt a H -nak azt a részhalmazát értjük, melyre ha a<b, akkor [a,b]  := { x Î H  |  x=a  vagy x=b vagy (a < x és x < b)};  ha a=b, akkor [a,a] alatt az {a} halmazt;  ha b<a, akkor [a,b] alatt a Æ  (üreshalmaz) -t értjük.

Megjegyzés Mivel a H halmazon értelmezett a < rendezési reláció, ez elégséges feltétele annak, hogy tetszőleges a,b elemére az [a,b] intervallum fogalma értelmezhető legyen az iménti definíció által.

 

A számok  definíciói (2-es számrendszer használatával)

Def_4  Számjegyek:  0, 1; ezek halmazát jelöljük C-vel.

Megjegyzés A számjegyek alapjelek, azaz önmagukon kívül nem jelölnek semmit, önmagukat képviselik.

Def_5  (Számjegyek rendezése) A számjegyek C halmazán a következő rendezési relációt definiáljuk: 0 < 1.

Tétel_1 A C halmazon értelmezett fenti < rendezési reláció szerint a C halmaz kétszeresen jólrendezett.

Biz Triviális.

Def_6  Az  1 és a  10  számok.

Megjegyzés A számok a számjegyekből, mint alapjelekből összerakott jelek, önmagukon kívül ezek nem jelölnek semmit, a számok is önmagukat képviselik.

Def_7 Az {1,10} halmazon legyen adva az következő rendezési reláció: 1<10. Ha a és b eleme ennek a halmaznak, és a<b, ezt úgy mondjuk, hogy a kisebb mint b, vagy b nagyobb, mint a.

Tétel_2 Az {1,10}  halmaz a  < reláció szerint kétszeresen jólrendezett.

Biz Triviális.

Eddigiek voltak a rekurziót megalapozó definíciók, most következnek az ismételten egymásra hivatkozó (rekurzív) definíciók.

Def_8  (számok konstruálása) Jelöljön n számot, akkor a tetszőleges c: [1,n] → C  leképezést legfeljebb n jegyű számnak nevezzük; a legfeljebb n jegyű számok halmazát S_n -nel jelöljük. 

Jelölés:
Ha a c leképezés valamely i Î [1,n] -hez a c_i ÎC számjegyet rendeli, akkor azt mondjuk, hogy a ’c szám i-edik helyi értékének számjegye c_i’. Ezt személetesen így írjuk: c_n … c₁; ha n=1, akkor ez előbbi jelölést ekvivalensnek tekintjük ezzel: c₁. Itt  a ’c_n … c₁’ jelölés a ’c: [1,n] → C’ leképezés ekvivalens, szemléletes megfogalmazása.

Ha c_n nem ’0’, akkor a c leképezést  (pontosan) n-jegyű  számnak nevezzük. 

Megjegyzés  A rekurzív definíciós rendszerünk „első olvasatakor” (amikor n=1, vagy n=10) ez a definíció már értelmes, hiszen ekkor tetszőleges nÎ{1,10} -re az [1,n] intervallum értelmezett a Def 3 által.

Ha tehát n egy már definiált (és ezáltal megkonstruált) szám, akkor e definícióval újabb számokat lehet konstruálni. De ez még nem elégséges az új számokból képzett intervallumok definiálására, mivel ahhoz előbb definiálni kell nagyságviszonyaikat (rendezésüket) a korábban már definiált számokhoz és egymáshoz. Ez jön most.

Def_9 Jelöljön n számot, akkor az a és b, legfeljebb n jegyű számokat akkor és csak akkor tekintjük egyenlőnek, ha ugyanazt az [1,n] -ből C -be ható leképezést valósítják meg (azaz ha az azonos helyi értékű számjegyeik mind egyenlők).

Def_10 (számok rendezése) Jelöljön n számot, jelöljenek a és b legfeljebb n jegyű egymással nem egyenlő számokat. Tegyük fel, hogy az [1,n] halmaz kétszeresen jólrendezett, ezért van olyan legnagyobb kÎ[1,n], melyre nem a_k = b_k . Akkor és csak akkor mondjuk, hogy a kisebb mint b, ha a_k<b_k; ezt a tényt a < b -vel jelöljük.

Megjegyzés A definíciós sorozat „első olvasatakor” (amikor n=1, vagy n=10)  az [1,n] intervallum kétszeresen jólrendezett; a definícióban megkövetelt feltétel tehát ekkor teljesül.  

Tétel_3  E definíció jelöléseivel és feltételeivel

(i)                  a < reláció rendezés reláció a S_n  halmazon;

(ii)                a S_n halmaz kétszeresen jólrendezett a < reláció szerint;

(iii)               az [1,n] intervallum részhalmaza a S_n halmaznak; ha [1,n] nem üres és nem n=1, akkor valódi részhalmaza;

(iv)              az S_n halmazon értelmezett < reláció az [1,n] halmazon értelmezett < reláció kiterjesztése (azaz az S_n  halmazon  újonnan értelmezett < reláció a [1,n] halmaz elemein egybeesik az ott korábban értelmezett < relációval).

Biz Triviális.

Megjegyzés E tétel biztosítja, hogy itt korrekt rekurzív-definíció-együttesről beszélhessünk. Nevezetesen: az (i) állítás elégséges alapot ad arra, hogy tetszőleges a,bÎS_n -re értelmezett legyen az [a,b] intervallum, miáltal a ’számok konstruálása’ definíciót rekurzíven ismét használhassuk; a (ii) állítás az előző (i)-vel együtt elégséges alapot ad arra, hogy a ’számok rendezése’ definíciót rekurzíven használhassuk; a (iii) és (iv) állítások pedig azt biztosítják, hogy e rekurzív definíció-pár az  nÎ{1,10} -re tett megalapozó definíciók folytatása legyen.

Összefoglalás A lényeg tehát az, hogy először definiáltuk az ’0’, ’1’ számjegyeket és definiáltuk ezek halmazára a < rendezési relációt, majd  1-et  és 10-t (=2) számnak neveztük, és definiáltuk ezek halmazára is a < rendezési relációt. Ezek után elvégeztük az n jegyű számok konstruálását (ahol az n jelölheti az 1, 10 valamelyikét is), majd az így létrejövő új számokra is definiáltunk egy rendezési relációt, és ezáltal ezen új számok halmazán is értelmezni lehetett az intervallum fogalmát. Beláttuk, hogy a rekurziós hivatkozásokat tartalmazó definíciók közvetlenül alkalmazhatók a {1,10} halmazra is, miáltal a rekurziónak megalapozott az eleje, a rekurzió tehát elindítható. Végül beláttuk, hogy az újonnan konstruált számok halmaza részhalmazként magában foglalja az {1,10} halmazt, és az új számok halmazára definiált rendezési reláció egybe esik az {1,10} halmazra definiált rendezési relációval, továbbá a két irányú jólrendezettség öröklődik az újonnan definiált számok halmazára. A rekurziós hivatkozások köre ezzel bezárult, a ’számok konstruálása’ és  ’számok rendezése’ definíciók ismételten alkalmazhatók.

A 4..10 definíciók egyben konstrukciók (konstruálást végző utasítások) is.

Szemléletesen is elmondhatjuk a fentieket. Ezzel a láncolattal először definiáltuk a 0..11 -ig terjedő számokat, melyek 10 (=2) jegyűek, azután a definíciók ismételt alkalmazásával eljutunk a 11 (=3) jegyű számokig, azaz 111 -ig, majd 111 (=7) jegyű számokig, azaz 1111111-ig, majd a 1111111 jegyű számokig, stb.

Itt a tárgyalás során a kettes számrendszert használtuk, de nyilván ugyanez pl. 10 -es számrendszerben is elmondható. Akkor a számjegyek ’0’,’1’,’2’, …’9’, és ekkor a ’10’ helyett mindenütt a 2 -t kell írnunk, az összes többi mind változatlan.

* * * *

Ellentétben a Peano axiómákkal, itt nem teszünk fel előre semmit arról, hogy „léteznek a számok, melyek eleget tesznek ilyen és ilyen a feltételeknek”. Itt nem feltételeknek kell eleget tenni, hanem konkrétan lefektetett alapokból építkezünk. Amikor autót gyártunk (házat, hidat stb. építünk), nem az elvileg létező autókból (házakból, hidakból, stb.) „választunk”, hanem felépítjük azokat. Amikor számokat gyártunk, nem az elvileg létező objektumokból választjuk ki, melyek lehetnek számok, hanem ehelyett felépítjük, amire szükségünk van. Konkrét jelekből építkezünk, és egymásra kölcsönösen hivatkozó definíciókkal hozzuk létre (gyártjuk le) az egymásra épülő számokat; e konstruálási folyamat kiinduló alapja az 1 és a 10 (=2).

* * *

A Peano axiómarendszer fogalmi keretében a számok absztrakt fogalmak, melyek eleget kell, hogy tegyenek a Peano axiómáknak. E klasszikus felfogás szerint a tízes vagy kettes számrendszerben felírt szám csupán csak neve egy ilyen - már a névadást megelőzően létező - természetes számnak.

Ezzel ellentétben a fenti felépítés szerint a 0 és az 1 konkrét fizikai objektumok és a belőlük alkotott többjegyű számok szintén azok. Nem konkrét fizikai objetumokat jelölnek, hanem ők maguk a konkrét fizikai objektumok. Nem holmi absztrakt, „végtelen-gyanús” fogalmakat képviselnek; önmagukat képviselik. E koncepció szerint tehát egy szám nem más, mint papírra tett adott formájú tintapacák, vagy képernyőn lévő fekete-fehér pixelek adott elrendeződése, vagy kőtáblán az adott formában kivésett mélyedések, stb.

Ez a koncepció eleget tesz Hilbert azon felfogásának, mely szerint „ .. a matematika addig, ameddig konkrét objektumok leírására és köztük lévő relációk elemzésére szorítkozik … „ (Folytatást ld. itt:  http://www.geier.hu/Ruzsa , http://www.geier.hu/Ruzsa/Formal1.jpg)