Válasz a válaszra, Csaba Ferenc részére

Néhány dolognak utána néztem, ez a késés oka. Ezzel kapcsolatban összegyűjtöttem néhány hasznosnak vélhető linket a következő honlapon: http://members.chello.hu/geier.janos/GOEDEL/index.html   melyekre a válaszomban is fogok hivatkozni.

Az általad adott sorszámok szerint válaszolok.

1. A cikkek paramétereit köszönöm, egyelőre nem találtam meg őket, ha esetleg neked megvannak, szívesen veszem a fénymásolatokat, scanneléseket, vagy ha tudod a magyarországi fellelhetőségüket, azokat az infokat.

2a. A megnevezésről.
A "kis játákos paradoxon" (ld. a vitaindító hozzászólásomat) szerinted a Richard paradoxon. Most már úgy tűnik számomra is, valóban annak egyik változata, de mind a neten:
Alan C. Clune: A Richard paradoxon (1. verzió)
D. Lair and J.Laison: A Richard paradoxon (2. verzió)
mind a magyar szakirodalomban:
Kalmár László: Richard vs. Kőnig Gyula (?. verzió), vagy
Ruzsa: A matematika néhány filozófiai problémájáról, Budapest, Tankönyvkiadó, 1966,
172-173. o
nagy zavar tapasztalható a megnevezések terén.

A Clune féle 1. verzió szemmel láthatóan azonos a "kis játékossal..", de a Lair and Laison féle 2. Verzió - noha bizonyíthatóan ekvivalens vele -, megfogalmazását tekintve ettől jelentősen eltér. Ez a 2. verzió döbbenetesen hasonlít a Gödelizációhoz, csak éppen Richardian-nak nevez egy R számot, ha az R-hez rendelet tulajdonság-definíció nem vonatkozik az R számra. (ld. D. Lair and J.Laison Exercise 5 -öt..) Így már érthető Abelard értetlenkedése a Richard paradoxonnal kapcsolatban. (Ezzel és az egész témával kapcsolatban érdemes rámenni Abelard honlapjára, többek között a Gödel tételről is megvan a véleménye. Abelard információi szerint állítólag a "Richardian"-os megfogalmazás adta az ötletet Gödelnek, ld. Richard.)

A két magyar hivatkozás tovább kavarja a megnevezést: egyöntetűek abban, hogy azt nevezik Richard paradoxonnak, amit te és mások is Berry paradoxonnak neveznek. Ugyanakkor Kalmár a "kis játékost..", (azaz a Richard 1. verzióját) König Gyulának tulajdonítja.
Egyáltalán: Olvasta valaha bárki is az eredeti Richard cikket?

2b. A gondolatról
Mivel most már nem világos, minek mi a neve, maradjunk a vitaindító írásomban vázlatosan kifejtett "kis játékos paradoxonnál.", és nevezzük ezt Richard paradoxonnak.

Hogy ezt hogyan hívják, csupán egy mellék-kérdésem volt. A fő kérdésem e kapcsán az volt (vastag betűvel): mi ennek a feloldása. Erre viszont nem kaptam tőled válasz, mintha a megnevezés ("ez a Richard paradoxon") egymagában már mindent elintézne. Ezért ezt itt most tovább részletezem, mert szerintem elég mélyre vezet.

A probléma nem önmagában a Richard paradoxon, hanem annak párhuzamba állítása a Cantor -féle átlós eljárással, és a Gödel tétellel (és még mellé lehetne tenni jó néhányat).

Nézzük a következő táblázatot: (a táblázat két egymás alatti részből áll)

(a táblázat folytatása..)

A fő kérdés tehát: hogyan oldjuk fel az egyik ill. a másik esetben az ellentmondást. Miért nem alkalmazunk ennek érdekében minden esetben azonos elveket? Abelard szavaival: (198. Pont.) miért nevezzük az Cantor esetét bizonyításnak, és miért a Richardét paradoxonnak.

Ugyanezt a kérdést a Gödel tételével kapcsolatban is feltehetjük: R2 és G gondolatmenete tökéletesen ekvivalens. Ennek belátásához elég, ha az "érvényes" szót lecseréljük arra, hogy "levezethető", a "tulajdonság-definíció" kifejezést arra, hogy "egy szabad v változót tartalmazó formula", végül a "az n szám Richardian" kifejezést arra, hogy "az n-hez rendelt egy szabad változót tartalmazó formulába n-t helyettesítve, a formula nem levezethető". Ha pedig a két gondolatmenet ekvivalens, akkor miért nevezzük az egyiket tételnek, a másikat antinómiának?

A "hivatalos" feloldásokban látható a nagyfokú következetlenség: Richardnál az R1 pontot, Cantornál a C2 pontot, vetik el, Richard2- ről nem ismerek "hivatalos" bírálatot, végül Gödelnél egyiket sem vetik el, helyette azt mondják, hogy a "PM típusú, ellentmondást nem tartalmazó formális rendszer nem kategorikus". Pedig mindegyik UGYANAZT a trükköt alkalmazza: a 3-at, az erős önhivatkozás trükkjét.

Hogyan van ez: egyszer szabad, egyszer nem, aszerint hogy mire vágyunk?

Nézzük részletesebben

Mind a négy oszlopban a 4. pontban fogalmazódik meg az ellentmondás, ennek feloldása a cél.
Kezdjük a Richard oszloppal, hogyan oldható fel R4. Ennek érdekében vagy R1, vagy R2, vagy R3 -at lehetne elhagyni.

1. az R2 pont nem hagyható el, hiszen az egy bizonyított állítás, R1 -ből következik.
2. ha az R3-at hagynánk el, akkor C3-at is el kell hagyni, hiszen a kettő pontosan ugyanaz, így össszedőlne az egész Cantor elmélet (Ó jaj).
3. ha az R1 et hagynánk el, akkor viszont G1-et is el kellene hagyni, hiszen a két definíció logikája pontosan ugyanaz, csak éppen az egyik a 'végesen megadható valós számok'-ról, a másik a 'végesen megadható formulákról és levezetésekről' szól. Ekkor viszont összedőlne a Gödel tétel.

Látható, hogy a Richard paradoxon központi közvetítő szerepet tölt be a két másik között. (Az "erős önhivatkozás" trükkjét az utóbbi vizsgálódásaim nyomán mostantól Richard trükknek nevezem. Úgy látom, Richard a kulcsfigura, vele kezdődött e téma nem pedig Gödellel. Gödel egyszerűen formalizálta a Richard trükköt, így jutott el a "tételéhez"!)

Látható tehát: Bármilyen megoldást választunk a Richard paradoxon feloldására, ha következetesek akarunk maradni, valamit magával ránt: vagy a Gödelt, vagy Cantort.

Nézzük például, mit mond Kalmár a Richard feloldásáról. Szerinte az R1. pont a hibás lépés, mivel a nyelv egy fejlődő dolog, és ezért nincs egyszer s mindenkorra adva, miként definiálunk valamely valós számot. ( "A Richard-féle paradoxon … azon a feltételezésen alapul, hogy az, hogy valamely mondatnak van-e egy nyelven értelme és hogy mi az értelme, többek között, hogy definiál-e egyértelműen valamely természetes (ill. valós) számot, egyszer s mindenkorra adott valami. Valójában azonban a nyelv is dialektikus jelenség; egy-egy mondatnak az értelme nem egyszer s mindenkorra adott valami, hanem a nyelv fejlődésének van alávetve." ld. itt.) Ha elfogadjuk Kamlár érvelését, akkor nyilvánvaló, hogy ugyanez a Gödel tétel G1 kiindulópontjára is teljes mértékben alkalmazható (honnét tudhatjuk előre, hogy mely szövegek alkotnak értelmes kijelentést egy axiómarendszerben?), tehát ekkor a Gödel tétel levezetését nem szabadna elfogadnunk.

A Richard paradoxon feloldására más értelmes megoldási javaslatot nem találtam. (Clune megoldási javaslata számomra zavaros.)

Nézzük most meg, mit mond Ruzsa a Berry (általa Richardnak) nevezett paradoxonról: "..definíciónak tekinthetünk-e egy olyan szöveget, mely csak az összes többi szöveggel együtt határoz meg egy természetes számot? Mert világos, hogy a 173. oldalon bekeretezett definíció csak akkor ad konkrét számot, ha az összes többi definíciót is ismerjük" (Ruzsa, 1966 178. o). Itt látja a bibit. Vegyük azonban észre, hogy ez persze nemcsak a természetes számokra és a Berry paradoxonra vonatkoztatható, hanem az összes többire is, azaz a C, R, R2 és G oszlopra is.

Ez viszont egy figyelemre méltó észrevétel. Ugyanis eszerint R3-at kellene elvetnünk, de akkor C3-at is és G3-at is! Mert mindegyikre érvényes az iménti idézet: a 3 sorban hivatkozott szöveg csak akkor tekinthető definíciónak, ha előtte már ismerjük az összes többi (ide vonatkozó) definíció szövegét. Ismétlem: ez a jellemzője C3-nak, R3-nak, R2/3-nak és G3-nak egyaránt!

Álláspontom: A ellentmondások következetes feloldására nem marad más, mint a 3 sor elvetése minden oszlopban.

Ezek mindegyike ugyanaz a típusú erős önreflexió, ami újradefiniál valamit (egy fogalmat, jelen esetben a konkrét bijektív leképezést), azok után, és arra alapozva, hogy ezt a valamit (azaz a konkrét bijektív leképezést) előtte már definiáltnak vettük.

"Whitehead és Russell szerint az is logikai hiba, ha egy dolog definiálásához felhasználjuk azt a halmaz, amelynek ez az dolog maga is eleme" mondja Kalmár ( ld. Kalmár, 266. o) is és Ruzsa is, és Poincarera hivatkozva impredikatív definícióknak nevezi az ilyeneket, és te is említed ezt az előző válaszodban.

Szerintem az impredikatív definíció még nem logikai hiba, és s 3 sorban nem az impredikitivitás okozza az ellentmondást. Akkor mi?

Meglátásom szerint a Richard (és Cantor, és Richard2, és Gödel, és Russell és Berry , stb.) antinómiában ott van a logikai hiba, amikor a kérdéses halmaz elemeinek tulajdonságait összekeverjük az elemek definícióinak tulajdonságaival. Pontosabban: maguknak a DEFINÍCIÓKNAK a tulajdonságait használjuk fel az új elem definiálásához, nem pedig a definiált DOLGOK tulajdonságait, mint ahogyan az "normális" esetben szokás. Valamely dolog definíciójának a tulajdonsága nem tulajdonsága a dolognak! Ez a típuskeveredés az, ami az összes fenti antinómia 3. sorában tetten érhető: nem lehet tudni, mikor hivatkozunk a dologra, mikor a definíciójára. (Ez nem azonos az impredikatív definíció fogalmával.)

Vegyük sorra a 4 oszlopot e tekintetben.

Cantor: a C3 lépés a C1-re alapozott következő 10, egymást páronként kizáró tulajdonságokat használja fel: "az n-hez rendelt valós szám n-edik tizedesjegye k" k=0..9. Csakhogy ezek a tulajdonságok magának a hozzárendelésnek (ha tetszik a definíciónak, hiszen a definíciók valójában hosszabb szövegekhez rendelt rövidebb szövegek, utóbbiak az előbbiek helyettesítésére szolgálnak, ld. lejebb.) a tulajdonságai, a hozzárendelés során újonnan keletkeztek, és nem eredeti (önálló) tulajdonságai se az n számnak, se a hozzárendelt valós számnak. (Hogy ez így van, tessék csak meggondolni: amíg nincs meg az 1 pontbeli hozzárendelés, addig nem tudhatjuk, hogy pl. a "a 17-hez rendelt valós szám 17. számjegye… " tulajdonságnak mi az értéke.) Amikor a 3 pont szerinti lépést megtesszük, akkor a hozzárendelés tulajdonságaira alapozzuk az újonnan megkonstruált valós számot. Azaz, nem a dolgok (valós számok) tulajdonságaira alapozzuk egy új dolog (valós szám) definiálását, hanem a dolgok definícióinak tulajdonságaira. Itt tehát fennáll a fentebb kifogásolt, elemek és definícióik tulajdonságának összekeveréséből keletkezett logikai hiba.

Richard: Az R3 lépés ugyanaz igaz, mint C3, ezért ezt nem kell részletezni.

Richard2: Az R2/3-ban arra alapozva definiáltunk egy új tulajdonságot, hogy a meglévő tulajdonság-definíciók milyen tulajdonságúak. Nyilvánvaló ugyanis, hogy a "Richardian" tulajdonság a hozzárendelés tulajdonsága, és nem tulajdonsága egymagában se magának az n számnak, se az n-számhoz rendelt szövegnek. Az R2/3 tehát kimeríti a fent kifogásolt típuskeveredést felhasználó logikai hibát.

Gödel: Itt mondhatnám egyszerűen azt is, hogy mivel a Gödel -féle gondolatmenet nem más, mint a Richard2 formalizálása (Ezt maga Gödel is bevallja, majd a Gödel cikkben a formalizálás sokkal részletesebb és mélyebb, mint amit a táblázatban leírtam, de ez nem változtat az alaptényen: mégiscsak a Richard2 formalizálása), ezért erre a Richar2-nél mondottak érvényesek. Azonban a Gödel tételt "hivatalosan" nem szokás antinómiának tekinteni, ezért ezt most önállóan is megvizsgálom.
Az, hogy egy formula levezethető, önálló tulajdonsága a formulának, ez rendben van. Ellenben az , hogy "nÎ K", (az ilyen n-t akár nevezhetnénk Gödelian-nak is, és ugyancsak nevezhetjük Gödeliannak azt a formulát, amelyhez Gödelian n van rendelve), már nem önálló tulajdonsága se az n-nek, se a G2 szerint hozzárendelt formulának; magának a hozzárendelésnek a tulajdonsága. (Gondoljuk csak meg: egy ilyen hozzárendelés után mindig eldönthető, hogy n Gödelian vagy sem, viszont a hozzárendelés előtt abszolúte semmi nem utal arra, hogy akár egy tetszőleges n, akár egy tetszőleges formula majd Gödelian lesz a hozzárendelés után. Az azonosan hamis formulát kivéve bármely formula válhat Gödelianné vagy sem, és bármely n szám is válhat Gödelianné vagy sem, a konkrét hozzárendeléstől függően.)
Mivel G3 lépésben definiált formula definíciójában a Gödelian tulajdonságot használtuk fel, ezzel itt is kimerítettük a fent kifogásolt, típuskeveredésből származó logikai hibát: egy új formulát definiáltunk, de nem a többi formula tulajdonságai alapján (ez lenne az impredikatív definíció), hanem a többi formula definícióinak tulajdonságai alapján (ez pedig már a tiltott önreflexív definíció, azaz a Richard trükk.)

És végül ide vehetjük a Berry antinómiát is, noha az nem szerepel a táblázatban. Ott ugyebár a Def :=: "legkisebb 100 írásjellel nem meghatározható természetes szám", amiről szó van, és ezzel kapcsolatos az ellentmondás. Ez a Def meghatározás szintén feltételezi, hogy az összes természetes szám valamilyen formában már meg van határozva, és látható, hogy itt is e meghatározások tulajdonságaira, nem pedig a természetes számok tulajdonságaira épít az idézőjeles szöveg: az, hogy egy szám hány írásjellel határozható meg, nem a szám tulajdonsága, hanem a meghatározásáé. (Rögzített karaktersorozat és rögzített nyelvtan esetén is különböző "definíció-rendszereket" képzelhetünk el, és akkor ugyannak a természetes számnak nem feltétlenül lesz ugyanolyon hosszú a definíciója. És ha netán még ügyelünk arra is, hogy viszont e változatok során a legkisebb 100 írásjellel definiálható szám ugyanaz maradjon, akkor bármikor kicserélhetjük a Def meghatározásban 100-at pl. 101-re, , vagy 102-re stb, tehát végül oda jutunk, hogy minden természetes számnak ugyanolyan hosszú kellene, hogy maradjon a definíciójának hossza, bármilyen definíciós rendszerrel fogalmaztuk meg őket. Ezt nehéz elképzelni.) Tehát a Berry antinómiában szereplő ".." definíció is kimeríti a tipuskeveredés logikai hibát.

Megjegyzés: a fenti gondolatmenetekben a definíció (=meghatározás) és hozzárendelés kifejezéseket kevertem. Ennek alapja, hogy egy definíció valójában mindig egy (általában rövidebb) szöveg és egy másik (általában hosszabb szöveg) egymáshoz rendelését jelenti. Pl. "n páros szám :=: n -et kettővel osztva maradékul 0-t kapunk" A jobb oldali hosszabb szöveg helyett a bal oldali rövidebb szöveget használhatjuk. Ha szükséges, akkor bármikor visszahelyettesíthetjük a rövidebb helyére a hosszabbat. Ha bizonyos karaktersorozatokat egy-egy értelműen hozzárendelünk a természetes számokhoz, akkor ebben az értelemben ez is tekinthető definíciónak: a jobb oldali karaktersorozatokat (valós számok definíciói Cantor és Richard oszlopban, tulajdonságok definíciói Richard2 oszlopban, formulák leírásai Gödel oszlopban) helyettesíthetjük a megfelelő n természetes számmal; ez az n lesz a továbbiakban a jobb oldali formula "neve" (osztály-jele, class-sign, ahogyan Gödel mondaná).
  Röviden: ha a természetes számokhoz dolgokat rendelünk, akkor ez nyugodtan tekinthető definíciónak abban az értelemben, hogy ezentúl az egyes dolgokat a megfelelő természetes számmal helyettesíthetjük. És itt látom a táblázat 3. sorának mindegyik oszlopában a CSÚSZTATÁSOK SOROZATÁT: egy mondaton belül kétféle értelemben használ bizonyos megnevezések, és ezt oda-vissza váltogatja. Amikor hivatkozik a sorba rendezésre, akkor látszólag a definiált dolgok tulajdonságaira hivatkozik (de valójában a definíciók tulajdonságaira), ennek alapján látszólag definiál egy új dolgot (de valójában csak egy új szöveget hoz létre; ekkor még függőben van, hogy létezik-e olyan dolog, amire a szöveg érvényes), végül azt a rejtett trükköt alkalmazza, hogy "ha valamit tudok jellemezni, akkor annak a valaminek létezie is kell". Az antinómia abban a pillanatban áll össze, amikor egy mondaton belül teljesen egymásba kavarodik a dolgok tulajdonsága és a dolgok definíciójának tulajdonsága. Ügyes bűvésztrükk.

Megjegyzés: A problémát még jobban sarkíthatjuk a következőképp, pl. a Berry kapcsán (helyette bármelyik antinómiát, vagy akár a Cantor féle átlóst, vagy akár a Gödel tétel bizonyítását is vehetnénk példának). Vegyük észre, hogy a "legkisebb 100 írásjellel…' definíció hivatkozik a természetes számok összes definícióira, tehát saját magára is! Azaz, miközben elkezdjük megfogalmazni, máris hivatkozik saját magára; "saját magát húzza elő a semmíből".

Megjegyzés: Ismét más megközelítés: Vegyük észre, hogy az összes antinómia azzal operál, hogy ügyesen váltogatja a dolgot és annak megnevezését (azt, amivel ez a dolog adott esetben helyettesíthető!) Egy definícióval vagy hozzárendeléssel megadott megnevezés (pl. egy természetes szám is lehet megnevezése annak, amit őhozzá hozzárendeltek) mindig tekinthető úgy, hogy az valami helyett áll, arra bármikor lecserélhető.
   Kíváncsi lennék rá, hogy valaki tud-e olyan módon antinómiát kreálni, hogy nem használja ki a megnevezés és a megnevezett dolog ügyes váltogatásának lehetőségét. És ez ismét csak oda vezet, hogy "normális" esetben a megnevezéseket valóban csak rövidítésként használjuk. A szokásos esetekben mindig csak a megnevezett dolgok tulajdonságait használjuk, és nem a nevek tulajdonságait, hiszen utóbbiak csak helyettesítik az előbbieket.

Összegezve az eddigieket

Tehát a Richard paradoxon léte közvetlenül kérdőjelezi meg a Cantor- féle halmazelméletet és a Gödel tételt egyaránt.

A fentiek következményeként a Cantor féle halmazelméletet azért kell elvetni, mert jelenlegi ismereteink szerint nem bizonyítható, hogy a valós számok halmaza nagyobb számosságú, mint a természetes számoké. Ugyancsak nem bizonyítható, hogy valamely végtelen halmaz összes részhalmazainak számossága nagyobb a halmaz számosságánál. Azért nem bizonyítható egyik sem jelenlegi ismereteink szerint, mert az ismert bizonyítások mindegyike a tiltott, önreflexiós, típuskeveredést felhasználó lépést használják fel.

Ugyancsak következménye a fentieknek, hogy Gödel tételét is el kell vetni. Ugyanis Gödel (amint arra saját maga is céloz cikkének 1. fejezetében) nem tett mást, mint formalizálta a Richard2 antinómiát. Csupán azt bizonyította be, hogy ha egy formális axiómarendszer alkalmas az olyan mértékű önhivatkozásra, hogy benne a Richard antinómia megfogalmazható - nos hát akkor a Richard antinómia valóban meg is fogalmazható, és fenn is fog állni a belőle származó ellentmondás. (Nagy ügy!) Ha tehát a Richard paradoxon 3. lépését hibás logikai lépésnek minősítjük, akkor tovább a Gödel tétel levezetése sem állhatja meg helyét.

De menjünk tovább…

A kellő mértékű önhivatkozást, "bizonyos értelemben eléggé kifejező" megnevezéssel Ruzsa és Urbán is említi, akik csak vázlatosan mutatják be Gödel levezetését, "helyhiányra" hivatkozva (mellesleg a könyv 526 oldalas!). Péter Rózsa : Játék a végtelennel c. könyvében "valamire való" axiómarendszerről beszél, amikor Gödel tételét ismerteti. (Mások már "minden rendszerről" beszélnek, de az már más kérdés, ld. első, vitaindító hozzászólásomat.)

Gödel eredeti cikkét (annak angol fordítását) elemezve arra a meggyőződésre jutottam, hogy a "elégé kifejező", a "valamire való" a következőt jelenti: a Gödel tétel megfogalmazásához az szükséges, hogy az axiómarendszer formulái EGYBEN OBJEKTUMAI is legyenek e rendszernek. Azaz legyenek olyan formulái, melyeknek szabad változói helyére a rendszerhez tartozó formulákat lehet helyettesíteni, de legalább legyen egy olyan formulája, melynek egyetlen szabad változója helyére az axiómarendszer tetszőleges, szabad változót nem tartalmazó formuláját helyettesítve, e formula alkalmazásával eldönthető, hogy a behelyettesített formula levezethető-e. Ha egy axiómarendszer ilyen, akkor benne megfogalmazható a Richard2 antinómia, amit Gödel meg is tett, és el is jutott az ellentmondáshoz.

Kérdésem ezek után: mi köze ennek az egésznek a matematikához? Mi köze a geometriához, az algebrához, az analízishez, a topológiához, stb.?

A geometria objektumai pontok, egyenesek, háromszögek, egyéb síkbeli és térbeli objektumok. Pl. a Pithagorasz tétel ilyenekről állít valamit. De maga a Pithagorasz tétel se nem pont, se nem egyenes, se nem egyéb geometriai objektum. Olyan geometriai formula nem létezik, ami magáról a Pithagorasz tételről állítana valamit! Ugyanez vonatkozik az algebrára, analízisre, stb.

Ezzel kapcsolatos első megjegyzés: Tehát, még ha netán el is fogadnánk (noha, mint a fentiekben kifejtettem, nem elfogadható) szabályos lépésként a Richard trükköt, a Gödel tétel akkor is meglehetősen elkülönült helyet foglalna el a matematikában. Egyáltalán nem érvényes rá az a széleskörű, a matematika minden ágára (bele értve a formális axiómarendszereket is) kiterjedő érvényesség, amit sokan tulajdonítanak neki. A matematika különféle ágai között, a halmazelmélet kivételével, nem találunk egyetlen olyat se, amelyet a fenti értelemben "valamire valónak" lehetne nevezni, ugyanis sehol sem találkozunk olyannal, hogy egy axiómarendszer formulái egyben objektumai is legyenek az adott axiómarendszernek. Ennek következményeként azt kell tehát megállapítanunk, hogy Gödel tétele a halmazelmélet kivételével a matematika összes ismert ága esetén egyszerűen nem alkalmazható; a Gödel tétel nem érvényes rájuk.

Még egy fontos megjegyzés: De mégha, netán találkoznánk ilyen önrefelxivitást megfogalmazni képes rendszerekkel, Gödel tétele ott sem lenne általános érvényű. Ugyanis Gödel tételét úgy szokás fogalmazni, hogy "ha egy axiómarendszer ellentmondásmentes, akkor nem kategorikus", és ez ilyen absztrakt szinten valóban igaz, ha eltekintünk attól, hogy ez valójában egy szójáték. Ugyanis a tényleges Gödel tétel az én értelmezésemben, ahogyan azt Gödel eredeti cikk alapján én értem, így szól: "Egy fenti értelemben vett 'valamire való' formális rendszerben mindig előállítható egy ellentmondás a Richard 2 antinómia formalizálása alapján". A szójáték: ha most feltesszük, hogy a rendszer (mégiscsak) ellentmondásmentes, akkor nem marad más hátra, mint eldönthetetlenné nyilvánítani azt az állítást, ami az ellentmondást okozza. Így jön ki az a szép fogalmazás, hogy "ha egy (ilyen és ilyen) axiómarendszer ellentmondásmentes, akkor nem kategorikus".
   Egyébként is a "mindent" egyetlen kivétel felmutatásával lehet cáfolni. (Ha valakiről (akinek a neve nem Richard) azt állítják, hogy nagyon gazdag, mert övé a belváros mind a 100 nyilvános étterme és szórakozóhelye, akkor ezt adott esetben nagyon könnyű cáfolni: elég egyetlen kis büféről bebizonyítani, hogy az pl. Richardé, és akkor az általános tétel máris megcáfoltatott. De talán ezek után is akadnak néhányan, akik továbbra is irigylik a 99 étteremmel rendelkező tulajdonost.) Nézzük azonban meg, mi marad, miután a Gödel tétel által konkrétan megadott eldönthetetlen állítás(oka)t (tudtommal csak egy ilyen van, annak bizonyítása is kétséges) elkülönítjük a rendszeren belül: még mindig nagyon sok megmarad, sőt, szinte minden megmarad. Ugyanis Gödel egyáltalán nem azt bizonyította be, hogy egy formális rendszerben lépten-nyomon eldönthetetlen állításokba botolhatunk, ha nem vigyázunk. (Aki csak a tétel népszerűsített, fentihez hasonló megfogalmazását ismeri, az nagyon könnyen hiheti ezt, és ezt is hiszik sokan!). Csak annyit bizonyított, hogy 1, azaz egy darab antinómiát minden "valamire való" axiómarendszerben elő lehet állítani: a Richard2 féle antinómiát. De könyörgöm: ehhez nem kell formális rendszer! Ezt józan ésszel is elő lehet állítani! Különben is: melyek a "valamire való" rendszerek? No melyek? Hát azok, amelyekben elégséges eszközök állnak rendelkezésre a Richard2 féle antinómia megfogalmazáshoz. (Ügyes!)
   Fentebb azonban láttuk, hogy (I) a matematikának (a halmazelmélet kivételével) nincsenek "valamire való" formális axiómarendszerei, továbbá (II) a Gödel levezetés (és a többi is) a Richard2 antinómia típuskeveredést felhasználó, tiltott logikai trükkjével operál. Tehát a Gödel tétel hatása a matematika halmazelméleten kívüli ágaira elhanyagolható, mondhatni: nulla. Itt csupán pszichológiai hatásról ("féljetek, mert nem tudhatjátok, mikor fogtok kísértésbe (azaz ellentmondásba) botolni") lehet beszélni addig, míg valaki komolyan végig nem gondolja a maga részére a fentieket. Én a fentieket a magam részére végig gondoltam.

3. (most következik a Te 3. pontodra a válasz.) Valóban, én is szt olvastam Gödel cikkének 14. lábjegyzetében. A válaszodban említett "réseket" viszont nem értem. Azt sem értem, hogy akkor ezek szerint mi a Berry, ill. a hazug feloldása, ha az "igaz-hamis" felosztásban nincsenek rések? Mi köze a Berrynek vagy a hazugnak a PA rendszerhez?

Inkább maradok a saját, előbbi álláspontomnál: A dolgok definícióinak tulajdonságai nem tulajdonságai a dolgoknak, ezért adott kategóriába tartozó dolgok definícióinak tulajdonságára hivatkozva nem szabad ugyanezen kategóriába tartozó dolgokat definiálni.

4. Ha senkinek sincs világos elképzelése a "finit"-ségről, Hilbert után 100 évvel, akkor jobb, ha el is felejtjük ezt a dolgot.

5. Akkor bocsánat, nem te mondtad, de Kalmár mondja (266. old), Ruzsa mondja. Amit válaszként mondasz, az összecseng azzal, amit fent a 2. pontban mondtam. Ilyesmire gondoltál te is? A prediktivitásról és impredikativitásról mondottakat értem, bár látszik, hogy különféle álláspontok léteznek. Amit én fent a 2 pontban mondtam erről, ahhoz mit szólsz? Van olyan "mindenki" által elfogadott kritérium, ami tetten éri, ha egy impredikatív definícióban erős önreflexivitás van?

Ami a Peano axiómákat illeti, és úgy gondolom, a természetes számokat NEM a Peano rendszer definiálja, csak leírja (próbálja leírni.) A természetes számokat számomra egy kilométer-óra számlálója írja le, amely potenciálisan végtelen, azaz, ha csupa 999..9-et látok, akkor egy újabb kereket kell hozzárakni.

6. A Paris-Kirby cikkhez még nem jutottam, de amit írsz, abból úgy tűnik, hogy mégiscsak használnak önhivatkozást - ha egyszer Gödel számozást használnak. (Mi másért használnának Gödel számozást, ha azt nem önhivatkozás céljából tennék?)

Téziseim

 Def: (Whitehead, Russell és Poincare nyomán saját megfogalmazásomban) Egy definíciót impredikatívnak mondunk, ha az valamely d dolog definiálásához hivatkozik arra a halmazra (akár a halmaz egészének, akár minden egyes elemének tulajdonságaira), melynek a definiálandó d dolog is eleme.

Def: (Saját javaslatom) Egy D definíciót erősen önreflexívnek mondunk, ha e D definíció (a megfogalmazása során) hivatkozik arra a definíció-halmazra (akár e definíció-halmaz egészének, akár minden egyes elemének tulajdonságaira), melynek ő maga (azaz a megfogalmazandó D definíció) is eleme.

T0. Az erős önreflexivitás iménti fogalma nem azonos az impredikatívitás fogalmával.

T1. Egy definíció megfogalmazásakor meg kell különböztetni a definícióban hivatkozott dolgok tulajdonságait e dolgok definícióinak tulajdonságaitól. Az összes ismert antinómia (bele értve ebbe a Cantor féle átlós eljárást és a Gödel tétel levezetését) közös jellemzője, hogy egy olyan definíciót alkalmaz, melyben ez a két szint összekeveredik Az összes ismert antinómiában közös az erős önreflexivitás felhasználása

T2.. A Richard és a Richard2 antinómia közvetítő szerepet tölt be az összes többi antinómia (ide értve a Cantor féle átlós eljárást és a Gödel tétel bizonyítását) között. Amíg a Richard és a Richard2 antinómia nincs megnyugtatóan tisztázva (feloldva), addig a Cantor féle átlós eljárás, és a Gödel tétel levezetésének helyessége is megkérdőjelezhető.

T3. Gödel tétele nem más, mint a Richard2 paradoxon formalizálása. E két antinómiát együtt kell feloldani.

---

Ha a Gödel-tételt a fenti kétségek ellenére korrektnek fogadjuk el, akkor is kérdéses annak érvényességi köre:

T4. A Gödel tétel nem érvényes az olyan axiómarendszerekre, melyekben a rendszer formulái (kifejezései, állításai, definíciói, stb.) nem lehetnek egyben e rendszer objektumai is. A PM rendszer (és rokonai) kivételével minden ("normális") matematikai rendszer (akár teljesen, akár csak részben formalizált) ilyen.

T5. Ha találnánk is olyan matematikai rendszert, melyre a Gödel tétel alkalmazható, azon a rendszeren belül sem lenne ez a tény mindenre kiterjedő: csak az erős önhivatkozás alkalmazásakor kapnánk bizonyítottan ellentmondást ill. eldönthetetlen állítást. Az ilyen matematikai rendszer fennmaradó, jelentős részére (mely részeknél nem használjuk ki az erős önhivatkozás lehetőségét) a Gödel-tétel nem lenne hatással. (Megjegyzem: ismerem azt az állítást, mely szerint Gödel tétele minden olyan axiómarendszerre érvényes, melyben a természetes számok aritmetikájának axiómarendszerére modell készíthető.)

Várom a véleményedet

Budapest, 2001. május 22.

Üdvözlettel: Geier János

mailto:geier@ludens.elte.hu