|
|
||
|
A Cantor-féle diagonalizáció szóbeli kritikája V2.35második, javított verzió
Copyright © Geier János, 2002.05.20- 2004.04.15
Írásom előző verziójára kapott reakciók alapján szükségét éreztem, hogy azon - az alapgondolat megtartása mellett (!) - jelentős formai átalakítást végezzek. .
Nézzünk először egy tömör levezetést a Cantor tételre. Rudin megfogalmazása (Rudin, W.(1978) A matematikai analízis alapjai, Budapest: Műszaki könyvkiadó. 40. oldal, betű szerinti idézet.) {idézet kezdete}
2.14. Tétel: Legyen A az összes olyan sorozat halmaza, melynek
elemei a 0 és 1 számjegyek. Az A elemei olyan sorozatok, mint 1,0,0,1,0,1,1,1, ... Bizonyítás: Legyen E az A egy megszámlálható részhalmaza, és álljon E az s1, s2, s3, ... sorozatokból. A következők szerint konstruáljunk egy s sorozatot. Ha az n-edik számjegy sn -ben 1, akkor legyen az n-edik számjegy s -ben 0, és fordítva. Ekkor az s sorozat E minden elemétől legalább egy helyen különbözik; ezért sÏE. De világos, hogy sÎA, és így E az A egy valódi részhalmaza. Ezzel beláttuk, hogy A minden megszámlálható részhalmaza A valódi részhalmaza. Ebből következik, hogy A nemmegszámlálható. (Egyébként önmaga valódi részhalmaza lenne, ami képtelenség.) ÿ {idézet vége}
Kritikai elemzés Mindenek előtt azt szeretném megjegyezni, hogy itt nem Rudin a főszereplő: a Cantor tétel bármely más, hasonló logikát követő levezetését választhattunk volna a kritika tárgyául. Valamit azonban kellett választani, és hát éppen erre esett a választás.
Először tagoltan ismételjük meg magát a Rudin-féle levezetést. R1°. A tétel kimondásakor Rudin bevezeti a következő jelölést: (1) Jelöljük A-val az összes olyan (véges vagy végtelen) sorozat halmazát, melyek a 0 és 1 számjegyekből állnak. Azt természetesen ezen a ponton még nem tudjuk, hogy A számossága mekkora, ez itt még függőben van. R2°. A tétel állítása: Ha az (1) feltétel fennáll, akkor A nem megszámlálható számosságú. A megszámlálható számosság fogalma alatt nyilván a következőt kell itt érteni: valamely H halmazt akkor nevezünk megszámlálhatónak, ha a természetes számok N halmaza és a H halmaz között létezik kölcsönösen egyértelmű leképezés. R3°. A bizonyítás első lépéseként egy új jel kerül bevezetésre: (2) Jelöljük E-vel az A halmaz egy tetszőleges megszámlálható részhalmazát. Ez azt jelenti, legyen E olyan részhalmaza A-nak, melyre létezik a természetes számok N halmaza és az E halmaz között egy kölcsönösen egyértelmű leképezés. Más szóval az E elemei megszámozhatók a természetes számok által, azaz sorozatba rendezhetők. Itt nincs kikötve, hogy E valódi részhalmaz legyen, a levezetésnek ezen a pontján még az E=A eset lehetőségét is meg kell engedni. Nem is lenne korrekt dolog az EÌA feltételt előre kikötni (azaz az E=A lehetőséget eleve kizárni), hiszen a további lépésekből látni fogjuk, hogy Rudin bizonyításának fő célja éppen annak kimutatása, hogy E=A lehetetlen. Nézzük, hogyan is mutatja ezt ki? R4°. Az E halmazt alkotó sorozatokat s1, s2, s3, ... -vel jelöli, és e jelölések felhasználásával "konstruál" egy s sorozatot a következő "szabály" segítségével: (3) Az s sorozat n-edik eleme legyen 1, ha az sn sorozat n-edik eleme 0, és fordítva. Azt, hogy ez az s sorozat eleme-e E-nek, vagy sem, ebben a pillanatban még nem tudhatjuk, de Rudin azon nyomban beláttatja velünk, hogy az nem lehet E-ben. Teszi ezt a következőképp. R5°. Azt állítja, hogy (4) A (3) által konstruált s sorozat E minden elemétől különbözik. Ennek okát ugyan nem részletezi, de egy rövid indirekt bizonyítással könnyen beláthatjuk mi is. Ha ugyanis sÎE lenne, akkor azon feltevés miatt, hogy E megszámlálható, a megszámlálhatóságot bizonyító kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés alapján ez az s valamelyik k természetes számhoz lenne hozzárendelve, azaz lenne olyan k természetes szám, melyre s= sk. Azonban ekkor az s (3) szerinti konstrukciója miatt ennek az s= sk -nak a k-adik számjegye nem lehetne azonos sk -nak a k-adik számjegyével, azaz saját maga k-adik számjegyével. Ez nyilván ellentmondás, tehát Rudin nyomán valóban beláthattuk, hogy a (3) szerint konstruált s nem lehet az E eleme. (Vegyük észre, hogy ez az indirekt gondolatmenet támaszkodik arra a kiinduló feltételre, hogy E megszámlálható.) R6°. Rudin azt állítja ezek után, hogy viszont a (3) szerint konstruált s, ha nem is eleme E-nek, de A-nak mindenképpen eleme, azaz sÎA. Ezzel eljut a fő konklúzióhoz: "és így E az A egy valódi részhalmaza". Ha az előbbieket végig elfogadjuk, akkor valóban így is van. Az E-nek (2) szerinti definíciója önmagában még nem zárja ki se az E=A, se a EÌA lehetőséget. Mivel azonban imént láttuk be, hogy s eleme A-nek, de nem eleme E-nek, ezért sÎA\E, ezért A\E nem üres, azaz E valódi részhalmaza A-nak. Tehát E=A nem lehetséges. Ennek kimutatása volt a bizonyítás fő célja, és ez ezek szerint sikerült is. R7°. A bizonyítás további mondatai már csak a megszámlálható halmaz fogalmát magyarázzák és aktualizálják jelen esetre. Ez volt tehát a Cantor tételének és a tétel levezetésének Rudin-féle részletes, kritikai megjegyzések nélküli kibontása.
Most nézzük meg a levezetést kritikusabb szemmel. Vegyük sorra az R1° ... R7° pontokat, az egymásnak megfelelő pontokat most K1°...K7°-tel jelölve. (Az Ri°-beli szöveget nem mindenütt ismétlem meg, adott esetben vissza kell oda lapozni.) K1°. Az (1) jelölés eleve feltételezi, hogy az ilyen sorozatok halmaza létezik. Rendben, fogadjuk el, hogy a matematikában használt "létezés" fogalommal összhangban létezik az A halmaz, mely elemként tartalmazza az össze 0,1 számjegyekből álló sorozatot, és csak azokat. K2°. A tétel állítása itt kerül kimondásra. Fogadjuk el, hogy Rudin ennek bizonyítását tűzte ki célul. K3°. Az E halmaz bevezetésével a bizonyítás új fordulatot vett: mostantól nem az N és A halmaz közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetetlenségének közvetlen bizonyítása a cél, hanem e helyett az lesz a cél, hogy belássuk: bárhogyan választjuk is az A halmaz E részhalmazát, ha E megszámlálható, akkor nem lehet azonos A-vel. Tehát a cél: kellő indokot kell találni az E=A lehetőség kizárására. (Ezen a ponton még az E=A lehetőség nincs kizárva!) K4°. És most érkeztünk el a bizonyítás kritikus pontjára: konstruálás. Rudin "konstruál" egy s sorozatot a (3) "szabály" alapján. Álljunk itt meg, és tegyük fel a kérdést: mit jelent jelen esetben az a szó, hogy "konstruálás"? Talán egy vadonatúj, eddig még nem létező s sorozatot szándékozik konstruálni? Nyilván nem, hiszen a kiindulás szerint A tartalmazza az összes sorozatot. Bármilyen s sorozatot is szeretne "konstruálni" Rudin, az sikeres esetben azonos lesz egy A-beli elemmel - sikertelen esetben pedig nem fog megnevezni semmit. Az, ami itt konstruálásnak tűnik, valójában csak megnevezés! Pontosabban szólva: megnevezési szándék. Ti. nem biztos, hogy az, amit ilyen formán megnevezni próbál, valóban létezik is. Az egzisztencia ilyen esetekben mindig bizonyítandó! Ezért a továbbiakban el kell felejtenünk a "konstruálás" szót, és helyette a helyzetet valójában kifejező "megnevezés" szót kell használnunk. (A megnevezés szó szinonimái: kijelölés, kiválasztás, hivatkozás rá, stb.) A (3) szabály alapján tehát lehetetlen "új" sorozatot "konstruálni", ezért a következő elnevezést javaslom. Konvenció_1: A (3)-mal jelölt mondatot a továbbiakban diagonalizációs feltételnek nevezzük. Ezt úgy értelmezzük, hogy ha előre (magától a (3) feltételtől független módon!) adva van egy s sorozat, akkor utólag, s ismeretében feltehető a kérdés, hogy ez az s eleget tesz-e a (3) diagonalizációs feltételnek, vagy sem. K5°. Rudin ezek után itt azt a látszólagos kérdést veti fel, hogy a (3) által megnevezett s sorozat hová tartozik: E-be, vagy A\E-be? Célja annak kimutatása, hogy nem tartozhat E-be. Ez azonban csak látszólagos kérdés, ugyanis itt elsikkad egy nagyon fontos szempont: létezik egyáltalán olyan s sorozat, ami megfelel a (3) kitételnek? A levezetés szövege ezt egyszerűen átlépi, és eleve arról beszél, hogy "az" s sorozat. Ez levezetési hiba. Ezt a hibát a (4) állítás következő módosításával tehetjük korrektté: (5) Ha a (3) által megnevezett s sorozat létezik, akkor s az E minden elemétől különbözik. (Fogalmazhatnánk így is: A (3) által megnevezett s sorozat E minden elemétől különbözik - feltéve, hogy létezik ilyen, a (3) -nak eleget tévő s. Azonban néhányan félreétették a "feltéve" kifejezést. Tévesen úgy gondolták, hogy ez egy önkényes szándékot fejez ki. Valahogy így gondolták: ha ezt tekintjük az egyik kiinduló feltételnek, akkor természetes, hogy ebből már következik az kérdéses állítás.) Nyilvánvaló: ha tetszőleges megnevezési leírást tekintünk, akkor egyáltalán nem lehetünk előre biztosak abban, hogy létezik azt kielégítő objektum, jelen esetben azt kielégítő A-beli elem. (Pl. az, hogy "konstruáljuk meg azt az s sorozatot, mely egyenlő a saját számjegyeinek invertálásával létrehozott sorozattal", eleve kudarcra van ítélve. Ilyen s nem létezhet, még akkor sem, ha a megfogalmazásban úgy fogalmaztunk: "... azt az s sorozatot ...". Ha ezután ezt a "nemlétező s sorozatot" akarnánk felhasználni bármiféle további gondolatmenetben, levezetve belőle különféle állításokat, súlyos logikai hibát vétenénk, melyre már Arisztotelész is felhívta a figyelmet, és így hívott: "a kellő megalapozottság hiánya". A matematika egyéb területein számtalan olyan példa található, ahol ezzel a szófordulattal élünk. Pl. "tekintsük az X valószínűségi változó várható értékét - feltéve, hogy az létezik.") Már eddig is többször hangsúlyoztuk, hogy amíg E=A lehetetlenségét nem bizonyítottuk, addig a következő két lehetőség áll fenn: (I) E=A (II) A\E¹Æ . ahol E az A-nak tetszőleges megszámlálható részhalmaza, EÍA. (Az (I) lehetőség fennállása azzal ekvivalens, hogy A megszámlálható.) Nyilvánvaló, hogy bármely adott EÍA esetén e két lehetőség egymást kizárja, ugyanakkor együtt lefedik az összes lehetőséget; harmadik lehetőség nincs. Az eredeti Rudin-féle levezetés célja éppen annak kimutatása lenne, hogy (I) feltételezése a (3) diagonalizáció felhasználásával ellentmondásra vezet. Nézzük meg, hogy az ellentmondás kimutatása a "konstrukció" vs. "megnevezés" fogalmának fenti tisztázása után még mindig lehetséges-e? Tekintsük a következő két állítást, melyekben (2) -vel összhangban jelöljük E-vel az A egy tetszőleges megszámlálható részhalmazát. Állítás_1: Nincs olyan sÎE sorozat, mely eleget tesz (3) diagonalizációs feltételnek.
Bizonyítás_1: Az állítás bizonyításához ismételjük meg az
R5°-ben leírt indirekt gondolatmenetet, de itt most a Konvenció_1
alapján ki kell
cserélnünk a "konstrukció" szót a "megnevezés" szóra.
Állítás_2: Ha E=A, akkor nincs a (3) diagonalizációs feltételnek eleget tevő sÎA sorozat. Bizonyítás_2: A kiinduló E=A feltétel miatt nyilvánvaló, hogy s most csak E-beli elem lehet. Ezért a tétel állítása az Állítás_1 közvetlen következménye. Az Állítás_2-et úgy is fogalmazhatjuk: Ha feltesszük, hogy E=A, akkor a (3) diagonalizációs feltétel nem nevez meg semmit. Az előbbiekből következik, hogy ahhoz, hogy a (3) diagonalizációs feltételnek eleget tevő s sorozat létezésének egyáltalán a lehetősége fennálljon, előre fel kell tételeznünk, hogy A\E¹Æ . Ha ugyanis az ellenkezőkét tesszük fel, vagyis hogy az E olyan, hogy A\E=Æ, azaz E=A, akkor az Állítás_2 szerint nincs a (3) diagonalizációs feltételnek eleget tevő s sorozat, ami egy egyértelmű, bizonyított állítás, nem pedig ellentmondás.
K6°. Ezen a ponton tehát az eredeti R6° ponttal ellentétes
eredményt kaptunk. Ugyanis R6° azt állítja, hogy a (3) szerint
"konstruált" s, ha nem is eleme E-nek, de A-nak mindenképpen eleme.
A pontos elemzés tehát azt mutatta ki, hogy a diagonalizációs feltételre hivatkozva nem találtunk alapot az E=A lehetőség kizárására - ami pedig az eredeti bizonyítás fő célja lett volna. K7°. A végkonklúzió ellentétes az eredeti R7°-tel. Azt kaptuk ugyanis, hogy A megszámlálhatóságának feltételezése nem vezet ellentmondásra. Tehát ahhoz, hogy az A nemmegszámlálhatóságának bizonyításához egyáltalán hozzá lehessen kezdeni, előtte fel kell tételeznünk, hogy A nemmegszámlálható - és ekkor valóban sikeres is lesz a "bizonyítás". Ez nonszensz.
Következmény: A Cantor-féle diagonalizációra hivatkozással - a kimutatott levezetési hiba korrekciója után - nem lehet bizonyítani az A halmaz nemmegszámlálhatóságát.
ÉrtelmezésAz eredeti levezetésben rejlő "csúsztatás" most már nyilvánvaló: rejtett módon megelőlegezi egy olyan sorozat - nevezetesen a diagonalizációs feltételnek eleget tévő sorozat - létezését, amelynek éppen a létezését kívánja bizonyítani. Ezt egy nyelvi természetű aspektus is elősegíti: "Ekkor az s sorozat E minden ..."(idézet a tétel levezetéséből). Az fel sem merül, hogy ilyen s talán nincs is? ("ilyen"="a (3) diagonalizációs feltételnek eleget tévő") A kritikai elemzés K1° ... K7° pontjai ki is mutatták, hogy ha a "konstruálás" fogalmát felcseréljük az itt helyénvaló "megnevezés" fogalmával, akkor kapjuk az Állítás_1 és Állítás_2 -t, ami felfedi e rejtett előfeltételt. A csúsztatás A csúsztatás hátterében az is feltűnik, hogy Cantor-féle levezetés "ügyesen" váltogatja az aktuális végtelen és a potenciális végtelen fogalmát. (ld. Ruzsa Imre (1966) A matematika néhány filozófia problémájáról, Budapest: Tankönyvkiadó, 16-17. oldal.) Amikor az A és az E halmazról beszél, azokat egyszer s mindenkorra kész halmazoknak tekinti (aktuális végtelen), amikor "konstrukcióról", akkor pedig egy konstruálási, bővítési folyamat alatt álló sorozatról (potenciális végtelen). Azzal, hogy a (3) diagonalizációs feltételt nem konstrukciónak, hanem megnevezésnek tekintjük, ezt a fogalmi keveredést letisztáztuk, aminek eredménye a fenti következmény. Miért nehéz észrevenni? Végül még meg kell vizsgálni, mi lehet az oka annak, hogy mégis sokan elfogadják a Cantor tétel szokásos, konstrukción alapuló levezetéseit? Ennek vélhető oka, hogy a "konstrukció" fogalma a matematikában mindennapos, hétköznapi fogalom, ezért aki a Cantor tétel levezetését olvassa, könnyen átsiklik afelett, hogy itt nem véges konstrukcióról van szó. Valamilyen nem teljesen tisztázott módon az olvasó úgy véli, el tudja képzelni azt az s sorozatot, amit a (3) leírás "megkonstruál". Ha jobban belegondolunk, kiderül: a (3) leírást bizonyos értelemben valóban lehet konstrukciónak tekinteni, hiszen rögzített n esetén, elölről kezdve, egyesével lehet konstruálni egy 0,1 számjegyekből álló, n hosszúságú véges sorozatot. Ez azonban nem ugyanaz, mintha egy végtelen sorozatot "konstruálnánk". Ez téveszti meg az olvasót! Miután pedig az olvasó átsiklik ezen a nüansznyi logikai résen, tévesen úgy véli, hogy eszerint (3) egy végtelen hosszú s sorozat "konstruálását" írja le - és nem firtatja, mit is kell érteni ilyen esetben konstruálás alatt. Ezért az R5°-ben kifejtett indirekt gondolatmenetben nem azt a feltételt veti el, hogy s létezik (ez a kérdés fel sem merül benne), hanem azt, hogy az E=A előfeltétel, azaz a fenti (I) lehetőség vezetett ellentmondásra, tehát azt kell elutasítani. Ami már van, zt nem lehet újból létrehozni - csak megnevezni Végül azt is vegyük észre, hogy az A halmaz a Tétel0 kiinduló feltétele miatt eleve tartalmazza az összes 0,1 számjegyekből álló sorozatot, ezért "új" sorozat "konstrukciójának" lehetősége egyszerűen nem áll fenn. Hiába akarna valaki "új" sorozatot konstruálni, nem fog sikerülni: bármit is mond, jó esetben csupáncsak megnevez egy olyat, ami már ezelőtt is létezett. (Rossz esetben pedig a semmit nevezi meg, azaz nemlétező dologról akar valamit állítani.)
Összefoglalás: A Cantor tétel levezetéseinek szokásos gondolatmenteiben hallgatólagosan eleve feltételezik, hogy a diagonalizációs feltételnek eleget tévő s sorozat létezik - holott ez nem triviális. Ez bizonyításra szorul, de e bizonyítás hiányzik.
Copyright © Geier János
|