Másik

pdf verzió: PDF

English version

A „Ctrl+egérgögő” -vel  tudod nagyítani. Az ablakmérettel tudod olvasható szélességűre alakítani.

Ez az írás a Ruzsa Imre emlékkonferencián 2009.09.18.-án elhangzott 20 perces előadásom (+10 perc hozzászólás), valamint az 5 nappal későbbi Filozófiai Szemináriumon 2009.09.23.-án elhangzott 1 órás (+fél óra diszkusszió) előadásom lényegét tartalmazza. A Filozófiai Szemináriumra beküldött absztraktot itt találod.(A szeminárium honlapja azóta megszűnt.)

Mekis Péter, mint az egyik szervező határozott felkérésére, amit egy körlevélben 2009. szeptember 30 -án küldött mindegyik résztvevőnek, megírtam, és 2009 végén beküldtem az előadásomat cikk formájában. Az ígéret részükről az volt, hogy az összes előadó cikke majd meg fog jelenni a Világosság c. folyóiratban. Ezek után 7 hónap hallgatás után Máté András közölte, hogy „ügy lett a cikkemből”, és hogy ”számára a cikk vállalhatatlan” és ő, mint felelős vendég-szerkesztője ennek a témának, nem jelenteti meg.

Itt van a teljes levelezés az „ügyemben”.

Mekis Péter felkérésére beadott, majd Máté András által visszatáncoltatott teljes cikk itt található
Máté Andrással a cikk visszautasítása kapcsán folytatott levelezés itt található: MAlevelezes
Mekis Péterrel a cikk visszautasítása kapcsán folytatott levelezés itt található: MekisLevelezes

Melléérvelés mindenütt

A leveleket elolvasva kiderül, hogy MA első „elutasító” levelében nem az szerepelt indokként, hogy a cikk másról szólna, mint amit előadtam. (Ez nem is lehetett, mert ugyanarról szólt.) Ebben az e-mailben nem is volt valódi indokolás. Csak később sikerült harapófogóval kihúznom MA-ből ezt: GJ: „...Ezek után nem tudom, mivel indokolod az elutasítását.” MA válasza: „Azzal, hogy a konklúziója hibás…Mellesleg azt te is elismered, hogy a Zermelo-Franekel axiómarendszeren belüli bizonyítás helyes [ezt fenntartással fogadtam csak el, GJ], én pedig csak annyit tettem hozzá, hogy akkor a naiv halmazelméleten belüli bizonyítást is el kell fogadni.” (Ld. az MAlevelezést, 2010. július 28. 17:43 -t email.)

Eszerint MA a matematikai részben nem talált hibát, hiszen ha talált volna, nyilván azt mondja elsőként. Ennyit a triviális hibáról.

A konklúzióról pedig lehet filozófiai vitát folytatni, de nem matematikait.

A levelezésben is már elmondtam: a naívon belül nem kell elfogadni a Cantor bizonyítást. Ha Cantor elmélete axiomatikus lenne, akkor ugyanazzal a fenntartással fogadnám csak el, mint a ZFC-belül. De Cantor elmélete nem axiomatikus alapú. A kérdés itt az, mi az erősebb: egy bizonyított tétel (jelesül a Diag tétel és annak következménye, a Tétel_2 ld. alább.), vagy egy kellően át nem gondolt, naiv elv, jelesül Cantor absztrakciós elve, más néven a korlátlan komprehenziós elv.

A fenntartásom: a ZFC-ben a leválasztási axióma egy célhoz igazított, mesterséges axióma, aminek két aspektusa van: (i) nem teszi lehetővé a Russelli átlóhalmaz ”újként történő definiálását”, (ld. Zermelo 1908), ezáltal a Russell antinómia nem fog fellépni; ugyanakkor (ii) a Cantor tételbeli átlóhalmaz létezését kimondottan alátámasztja. Ezt utóbbiról szól az egyik mondat a cikkem végén.

Persze, ha valaki prófétai igazság-kinyilatkoztatásnak veszi Cantor elméletét, azt nehéz meggyőzni annak hibáiról. Annak ellenére nehéz, hogy Cantor elve egyszer már megbukott a Russell antinómia kapcsán, és emiatt Zermelo kénytelen volt engedményt tenni, azaz felmentést adni annak univerzalitása alól. Hát én meg kimutattam, hogy Cantor elve a Cantor-bizonyítás kapcsán is megbukott.

MA első e-mailjében csak melléérvelés van. Ebben hivatkozik a saját bizonyítás-verziójára: „Az én verzióm esetében az értékrésre való hivatkozás mindenképpen jogtalan...”.

Az a bizonyos „én verzióm” abban állt, hogy az elején nem tételezi fel a B -ről, hogy bijektív. Ld. itt.

Hát az a bizonyos Hodges - akinek cikkét MA nyilvánvaló célzattan mellékelte az e-mailjéhez - éppen az egyik tipikus hibának mondja, hogy az általa lenézett „amatőrök” gyakran egy másik, saját bizonyítást mondanak ellenérvként. És ugyanebben az e-mailben ő maga, MA, képes egy saját ”én verzióm”-mal érvelni? lásd itt

Idézet Hodgestől: „Meglepő volt, hogy a szerzők közül hányan nem vették észre, hogy egy érv megtámadásához valami hibát kell találni abban. Több szerző is úgy vélte, hogy egy bizonyítást egyszerűen azzal lehet cáfolni, hogy valami mást mondunk helyette.” Na igen.

Azt, hogy MA egy saját bizonyítás-verzióval érvel, nem lehet másképp értelmezi, mint hogy ezzel hallgatólagosan elismeri, hogy a tankönyvi, szokásos bizonyításban, amiről a cikkem szól, sikeresen mutattam ki a hibát. Hiszen, ha nem így lenne, akkor mi oka lenne előhozakodni másik bizonyítással? Részletesebben ld. itt: Reflexióim az elutasításra

Megelégelve MA sok mellébeszélését a vele történt levelezés során, a teljes vele folytatott levelezést elküldtem arra az email listára, amit még kezdetekkor Mekis benne hagyott a felkérő e-mailben. (Rendszeresen konkrétumokra kérdeztem rá, hogy ne tudjon kibújni a válasz alól. De kibújt. Talán a konkrét kérdéseket nevezte „nyomásgyakorlásnak”? El kell olvasni a levelezést.)

Nem sokkal ez után MA egy lejárató posztot indított rólam a Szkeptikus blogban . Erről valóban értesített engem, utólag, „itt vitatkozhatsz, ha akarsz” felszólítással, de miután már a poszt eleje egyből durva személyeskedés volt ellenem, nem vettem benne rész.

Azért nem vettem részt, mert nagyon kellett volna türtőztetnem magam, hogy ne személyeskedjek vissza. És akkor szépen belesétáltam volna a csapdába: „Látjátok, úgy beszél, mint a sarlatánok...”.

De mindhiába, mégis már jó előre csodadoktorrá (az talán a sarlatán szinonimája vagy alfaja) váltam, hiszen

MA posztjának elején ez áll: »De azt azért elmondanám, hogy a csodadoktorokra jellemző „tudásszociológiai” érvrendszer itt is előkerült: a hivatalos tudományt” vádoló összeesküvéselmélet, személyes (oktatói, megélhetési) érdekeltségünk a megszokottban, aminek folytán nem bírjuk elismerni az újat, emellett egyéb személyeskedés, gyanúsítgatás, inszinuáció – nem értem, miért.«
Ez egyszerűen rágalom. Felháborítóan az! Semmi konkrétum, csak általános minősítgetés. Én soha nem mondtam, se nem írtam olyanokat, amiket így lehetne értelmezni. Ha MA így gondolja, akkor tessék konkrétan elmondani: itt és itt, ekkor és ekkor, GJ ezt és ezt mondta vagy írta. De ilyent nem tud mondani, mert ilyen nem volt. Szóbeli kommunikáció köztünk mindig sok ember előtt, az előadásokon történt, és ott nem hangzott el ilyen. Az összes releváns emailt pedig fent el lehet olvasni: azokban sincs ilyen. Miért gondolta MA, hogy egy ilyen szánalmas boszorkányüldözés célszemélyeként részt fogok abban venni?

Én a posztjának megjelenése előtt sosem személyeskedtem MA-val, ld. az e-maileket. Ellenben ő volt az, aki az első, „elutasító” e-mailjéhez, nem minden célzatosság nélkül, mellékelte bizonyos Hodgesnek a cikkét melyben ez a szerző összegyűjtötte a szerkesztői munkássága során hozzá beküldött, általa hibásnak minősített Cantor-tétel cáfolatokat. Hodges ezeket a szerzőket dilettáns amatőrnek, munkájukat szó szerint szemétnek minősítette, és fölényeskedően elmondta, hogy örülhetnek, hogy egy igazi matematikus elolvasta a zagyvaságaikat.

„‘I’m sorry we couldn’t publish your paper as a contribution to logic. Can I please publish parts of it as examples of garbage?’” … „First, contrary to what several critics of Cantor’s argument suggested in their papers, at least one mathematician was prepared to look at their refutations with some care and sympathy.”

Mi ez a személyeskedő hangnem? MA: tőle tanultad?

Hodges cikkének elemzés megérne egy misét, mert első végigolvasás után azt látom, nincsenek is benne tételesen felsorolva konkrét bizonyítások. MA -hoz hasonló érvéli stílust látok benne: Hodgesre is jellemező a konkrétumok mellőzése és helyettesítésük saját véleményt kifejező általánosításokkal. De ezt majd máskor kielemzem. Addig is bárki elolvashatja a cikkét

MA célzása egyértelmű, nem is részletezem. De megjegyzem: én nem egy Cantor tétel cáfolatot mutattam, csak hibát mutattam ki a szokásos bizonyításban. A hiba kimutatásának hibájára senki nem mutatott rá érdemben; MA és Mekis csak elővettek helyette egy szalmabábot, ld. fentebb és később. A többiek, akik egyet értettek velük a blogon, csak fújták a trombitát, és ha valaki rákérdezett: mondd meg konkrétan, hol a hiba, elpárologtak. Akik velem értettek egyet és értették is, miről beszélek, azok érdemben érveltek.

Egy példa a melléérvelésre és félreértelmezésre, rögtön a poszt elején: „Mandras: Tehát G. J. gondolatmenete nemhogy megcáfolná a Cantor-tételt, hanem egy más (valójában csak egy kicsit átrendezett és megbonyolított) bizonyítást ad rá...” Ki monda, hogy a Cantor tétel akarnám cáfolni? Mert én nem. Másik bizonyítást sem adtam. Persze lehet egy bizonyítást adni, de az már el fog térni az eredetítől. Erre a cikkben adtam is egy tippet, de az filozófiailag problémás (ld később). Azonban akármi is a filozófiai konklúzió, az nem cáfolja a fő tézisemet, miszerint az eredeti Cantori bizonyítás hibás (ld később).

És itt nem kellene kiforgatni a szavaimat, ezért hangsúlyozom: nem azzal indokoltam a „szokásos” bizonyítás hibásságát, hogy mondtam helyette egy másikat. A hibát ettől függetlenül mutattam ki, és ezek után lehet keresni másikat, ha valakinek az tetszik.

Mekis is MA-hoz hasonló rágalmakat mond rólam a blogban.

„De az esetünk nem ettől szkeptikusblog-téma. Hanem attól, hogy a hibát többen, számos alkalommal elmagyaráztuk a szerzőnek, de ő ennek ellenére ragaszkodik a rögeszméjéhez. Az elutasításra nyilvános botránnyal reagált, és a matematikuslobbi összeesküvését emlegette; szóval az ilyenkor szokásos körök.”

Itt sincs semmi konkrétum: kik, mikor, hol magyarázták el az állítólagos hibámat.? És mi lenne az a hiba? A melléérvelés és félreolvasás nem magyarázat. Volt összesen egy matematikai kritika, de az szalmabáb volt: mondtak az általam elemzett bizonyítás helyett egy másikat. (ld. alább a tetszőleges leképezésből való indulást.). És részemről nem voltak semmiféle „szokásos körök”, és összeesküvést sem emlegettem.

Évekkel később Mekisen számon kértem a rágalmait. Elolvasta a levelezésünket és bevallotta, hogy nem talált benne semmit a „matematikus lobbiról”, se a „szokásos körökről”. Vele sem volt egyéb kommunikációm a fenti e-maileken kívül. Ennyit arról, ki cselekszik botrányosan.

Itt elgondolkoztam azon, hogy vajon akár MA akár Mekis, miért fognak rám ilyeneket. Tisztességes embereknek tartottam őket, és most is ezt gondolom. (Ők magukról még inkább...) Ezért csak egy magyarázat lehet a hisztérikus reakciójukra: a tyúkszemük, amire akaratlanul ráléptem, annyira fájt, hogy elkezdetek tőle hallucinálni: ők valóban így perceptuálták a helyzetet.

De gondolja csak meg a tisztelt olvasó: ha valaki mondjuk a Pitagorasz tétel valamely bizonyításában akarna kimutatni hibát, abból is ilyen hisztériás „ügy” lenne? Ha már egyszer befogadták az illető előadását, azt el is mondta, majd felkérték a cikk megírására, akkor le kell közölni a cikket, majd elrettentő (vagy nevetséges) példaként oda tenni annak cáfolatát, és kész.

Jelen esetben MA még büszke is lehetett volna, hogy Hodges példáit egy újabbal ki tudja egészíteni, hiszen őt az én dolgozatom „Hodges gyengébb darabjaira emlékezteti”. De hát ez is csak a munkám minősítgetése konkrétumok nélkül, és meg sem tudta nevezni, később sem, melyek lennének azok a „gyengébb darabok”. Ld. Amaranta kérdését, 2.pont, és MA válaszát. Amaranta kétszer is kénytelen volt megkérdezni MA-t erről, mert az elsőt eleresztett a füle mellett. Ez a második kérdés lényege:

„[Amaranta] ..a posztoló ... Hodges cikkből tulajdonképpen mivel is állítja párhuzamba GJ levezetését. Egyáltalán, volt konkrét hasonló bizonyítás a Hodges cikkben? ” (Aláhúzások tőlem, GJ)

Erre már jött válasz:

„[MA] A Hodges-féle példatárra GJ cikke két dologban emlékeztet. Ebből a lényeges az, hogy (várakozásommal ellentétben) nem tesz hozzá semmit a Cantor-tétellel kapcsolatos tudásunkhoz.”

Kedves MA barátom: nem az volt a kérdés, hogy mire emlékeztet - ezt már mondtad. És az sem érdekel senkit, mi volt a várakozásod. (Valóban nem tettem hozzá semmit: elvettem belőle.) A válaszod ismét csak általánoskodó minősítgetés, konkrétum nélküli mellébeszáélés. Tudod te egyáltalán, mit jelent az a szó, hogy „konkrét”? (És ez lett volna MA szerit a válaszának a lényegesebb része.)

„...[MA] Kevésbé lényeges, de nyilván szépen besorolható Hodges tipológiájában az Attack on the instructions csoportjába.”

Az se volt a kérdés, hogy milyen kategóriába sorolható be. Amaranta elvárása a kérdésben az volt, hogy mondj egy konkrét hibás levezetést Hodges „példatárából”, ami párhuzamos az enyémmel, azaz, amiben ugyanaz az állítólagos levezetési hiba van. Ha példatár, akkor az konkrét példák listája, nemde? Konkrét! Érted? (Jaj, de nehéz érvelni egy ilyen képlékeny amőba-gondolkodású emberrel szemben.)

Itt megjegyzem: Hodges 2.§ -ának – melyben saját megfogalmazással ismerteti a (0,1) intervallum valós számaira vonatkozó jól ismert Cantor-tétel bizonyítást - utolsó mondata így szól: „None of the authors showed any knowledge of Cantor’s theorem about the cardinalities of power sets.”Az én cikkem pedig éppen a hatványhalmazos tételről és bizonyításának kritikájáról szól.

Eszerint MA még a 2.§. végéig sem ért el az olvasásban? Akkor hogyan akart egyáltalán találni olyan bizonyítást Hodges állítólagos listájában , ami „emlékezteti” őt az enyémre, hiszen az „amatőrök” által benyújtott „szemetek” elemzése csak a 4.§ -ban kezdődik. (Persze Mórickát is minden ugyanarra a dologra emlékezteti, így MA ezen állítását nem tudom cáfolni.) Explicit felsorolás nincs is Hodgesben, néhol úgy kell kihámozni a verziók határait, amikor már egy másikba kezd bele,

A 3.§-ban Hodges felcsap pszichológusnak, és elméleteket gyárt arra, mitől is képződnek ilyen amatőrök. Egyrészt, szőrmentén, okol bizonyos két neves logicistát, akiknek kijelentései, „.. – szó szerint olvasva – ugyanolyan őrültek voltak, mint bármi más ezekben a Cantor érvelését támadó esetekben.” (Konkrétan hogyan szóltak ezek a kijelentések? És vajon hogyan kell másképp olvasni egy szakcikket, ha nemúgy, hogy minden szóra figyelünk? És akkor ez a két logicista nem volt „amatőr”? Később megnevezi az egyiket, ez Klene, akit azzal ment fel, hogy nem volt túl kedves dolog részéről a gyanútlan kezdőre már a könyvének elején rázúdítani azt, amit írt.) Az olvasást folytasd Hoges cikkében.

Szumma szummárum, Mandras Szkeptikus posztjának a felvezetése engem „nagyon emlékezet” Hodges cikkére. Az eltérés annyi, hogy Hodges legalább diszkrét, és „amatőrt” mond „csodadoktor” helyett. De a pszichológiai elmélet-gyártás mindkettőjükre jellemző; és a konkrétumok „időnkénti” mellőzése is. Erős gyanú, hogy MA Hodges cikkét tekintette vezérfonalnak a posztjának bevezetőjéhez, azt a cikket aktualizálta az én dolgozozatomra (és énrám, mint csadoktorra).

Ugyanott MA még ezt is mondja:

"[MA] Tekintsük a H_f halmazt" - mondja (GJ rekonstrukciójában) a "szokásos" bizonyítás. Nem tekinthetjük - mondja GJ -, hiszen H_f nem is létezik. Ez egyszerűen az indirekt bizonyítás módszerének félreértése.” (ld. itt )

Erről MA semmi többet nem mond, így ez ismét csak egy indokolás nélküli kinyilatkoztatás, véleménypufogtatás. Én nem értek itt félre semmit, és nem is azt mondtam, amit MA itt nekem tulajdonít. MA eme véleményének pontosan a fordítottja igaz: az az állítás, hogy a H_f halmaz nem létezik, kimondottan megfelel az indirekt bizonyítás módszerének. Ennek oka világosan le van írva a cikkemben, csak értően el kellene azt olvasni. De azért megismétlem a lényeget.

A (2) a H_f halmaz deskripciója, és bijektív B feltételezése esetén a (2) ekvivalens az (5) deskripcióval. A H_f mint objektum nemlétezése az indirekt hipotézis következménye, és ezt nem GJ mondja véleményként, hanem a Tétel_2 mondja, ami a Diag tétel alkalmazása a konkrét esetre. Az indirekt (pontosabban a reductio ad absurdum) típusú bizonyítások lényeges eleme, hogy mindaddig, amíg az egymást követő lépések során a bizonyítás nem ér el az eredetileg célként kitűzött abszurdumhoz, az indirekt hipotézist igaz premisszának (ez csak a bizonyítás premisszája, nem a tételé) kell tekinteni (ld. (i) szabály). Továbbá, bármely bizonyítás esetén, ha van egy olyan lépés, ahol a folytatástól függetlenül, a premisszákra alapozva valamilyen korlátba ütköztünk, ott a bizonyítás elakad (ld (iii) szabály). Itt pedig van ilyen korlát, amit a Tétel_2 mond. (Ld még ezt a példát)

Ha MA nemcsak puffogni tudna, hanem érvelni is, akkor a cikkben lefektetett három szabályt kellene megtámadnia érvekkel, hiszen a cikkben pontosan meg van mutatva az a pont, ahol a (iii) szabály alkalmazásra került, az (i) és a (ii) pedig triviálisan lett alkalmazva. De ezt nem tette. (Vagy maximum arra mutathatna rá, hogy valahol hibás ezek alkalmazása - persze csak ha lenne ilyen. De ezt sem tette.)

Itt emlékeztetem MA -t arra a Hudges-idézetre, amit már korábban említettem: egy gondolatmenet helyességét csak úgy lehet cáfolni, ha magában a gondolamenetben mutatunk ki hibát. Konkrétat! Valamit „félreértésnek” minősíteni még nem konkrét indok, csak egy vélemény.

Itt elgondolkodtam: vajon MA ilyen „érvekkel” tanítja a halmazelméletet és logikát a diákoknak, ilyen érvelési stílusra tanítja őket? A kezdő diák sok mindent elfogad, főleg ha azt kellően fontoskodó stílusban adja elő a tanár.

Még ugyanott MA ezt mondja:
[MA] „Egyebekben persze nem vitatom, hogy GJ írása sokkal magasabb szakmai színvonalon áll, mint Hodges példái …”

Ez sem a kérdés. Se az ítéletedre, se a véleményedre nem vagyunk kíváncsiak. Dicséret sem kell: konkrétumokra rámutató érvek kellenének.

Cantor diagonalizációs trükkje valóban próbára teszi a bizonyítással és indirekt bizonyítással kapcsolatos fogalmainkat. Evégett írtam le azt a három szabályt is - amit nem én találtam ki, csak felhívtam a figyelmet arra, hogy ezeket minden valamirevaló matematikus betartja évszázadok vagy ezredek óta.

H734988 ugyanezt mondja, de sokkal udvariasabban. Megfontolandó továbbá az is, amit ott még mond: „Ehhez már Geier János három pontját is bele kellene venni. Ő ebben fogalmazta meg tézisét, ebben illene rá válaszolni. Ebben viszont igaz lesz, hogy az adott ponton a bizonyítás a diagonális tétel alapján nem folytatható A korlátlan komprehenzió alapján viszont igen, így ugyan nem Cantor-tétel indirekt bizonyítását kapjuk, de nem is a cáfolatát, hanem a rendszer ellenmondását”. (Itt talán sajtóhiba van: ez a korlátosra is érvényes.)

Lásd alább Northrop/Leitzmann hamis bizonyítását; az a valódi párhuzam a Cantor bizonyítással

„[Mekis 2010. augusztus 15. email, ]...a személyes (tehát a konszenzus megszületése előtti) véleményem az volt, hogy a cikk legfeljebb cáfolattal együtt jelenhet meg; de arra jutottunk, hogy egy ilyen közlésnek nem sok értelme lenne.” Miért nem lenne sok értelme? Én tényleg nagyon szeretném ezt megtudni.

Na és a mellérvelés csúcsa: én azt követeltem (igen követeltem), hogy tartsák magukat az ígéretükhöz, hiszen befogadták a jelentkezésemet, megtartottam az előadást, majd felkértek a cikk megírására. Ehelyett a gondolatmenetembe kötöttek bele, ráadásul úgy, hogy mondtak helyette egy másikat. Ha találtak is volna benne hibát, az ígéretet ennek ellenére illene betartani, hiszen részemről közben semmi nem változott.

Ha annyira triviális a hiba, amint állítják, miből állt volna azt a szerkesztő saját, vagy a szervező bizottság konszenzusos indokolásaként oda tenni. Talán nem is biztosak abban, hogy az állítólagos hiba triviális?

Nem értem ezeket az embereket: logikával foglalkoznak évtizedek óta – és sorra követik el az érvelési hibákat: melléérvelés, félreértelmezés, általánosító saját értelmezések konkrét alátámasztás nélkül – ezekre fentebb és alább is rámutatok.

2010.10.02.: Iránytű az olvasáshoz

Ez az iránytű semmi újat nem állít a cikkben foglaltakhoz képest. Csak felhívja a figyelmet bizonyos dolgokra, melyek félreértelmezhetők, vagy elkerülhetik a felületes olvasó figyelmét.

A szerző az alábbi írásában és a teljes cikkben azt állítja, és szándéka szerint korrekt matematikai gondolatmenettel be is bizonyította, hogy a tankönyvekben és kézikönyvekben fellelhető, indirekt gondolamenetben egy "csúsztatás" van; valamit ott nem vettek figyelembe. A hiba (bizonyos formális előfeltevések alapján! - ld. alább) korrigálható, de az már egy másik bizonyítás lesz. Ezen (ti. a formális előfeltevések létjogosultságán) különféle filozófiai vitákat lehet folytatni. De nem matematikait.

A gondolatmenet lényegét a Tétel_2 utáni Következmény_2 mondja ki. Ld. még alul a diszkussziót.

Egy fontos előzetes, amiről eddig azt gondoltam, hogy mindenki számára nyilvánvaló, ezért nem hangsúlyoztam. Egy halmaznak kétféle minősége van: egyrészt objektumok (dolog, ding) gyűjteménye, (collection, zusammenfassung), másrészt maga is objektum (ami aztán lehet eleme egy újabb gyűjteménynek.) Az M alaphalmaz valamely N részhalmaza az M alaphalmazban gyűjtemény minőségben van jelen, ugyanakkor a 2^M hatványhalmazban objektum minőségben van jelen. Kérlek, ezt tartsd szem előtt, ha szeretnéd megérteni, miről beszélek. (Ettől még nem kell egyetértened.) Az „összefont gondolatok gubanca” éppen attól van, hogy e kétféle minőség egymásba keveredik a diagonalizációs módszerben. Maga Zermelo (1908), más szavakkal, hasonlót mond a kétféle minőségről - amit a mai szakirodalom már rég elfelejtett - de azt más vonatkozásban teszi és nem kapcsolja össze eme „Cantori gubanccal”. Zermelo a Russell antinómia kapcsán valójában azt mondja, hogy az a bizonyos russelli halmaz gyűjteményként létezik, de a cél érdekében mégse tekintsük objektumnak.

Zermelo is nemlétezéssel érvel. Például az összes halmazok halmazáról is bebizonyítja, hogy az nem létezik – holott ismerjük az elemeit: ezek a halmazok, És van is róla intuitív fogalmunk, amire Thomas Jech a könyvében (hivatkozás ld. alább) azt mondja, hogy hibás az intuíciónk. Tehát Cantor intuíciója hibás. Akkor mit is mentett meg Zermelo? Nyilván azt, amiben Cantor intuíciója nem hibás. És akkor a kérdés: bijektív B leképezés feltételezése esetén a T átlóhalmaz (ld. alább) Cantor intuíciója szerint létezik? Igen. (Ezt MA ki is mondja) De a Tétel_2 szerint nem létezik. De a Leválasztási axióma szerint mégis létezik. Zermelo így „mentette meg” a Cantor tételt.

Itt vedd még figyelembe, amit már fent elmondtam: egy halmaznak kétféle minősége van: egyrészt objektumok („dolgok”, ahogy Zermelo nevezi) kollekciója, ugyanakkor a halmaz maga is objektum, ami eleme lehet egy kollekciónak valamely „zusammenfassung” eredményeként. A hatványhalmaz elemei objektumok, ugyanezek az alaphalmazban rész-kollekciók. Zermelo (1908) -ban így definiálja a halmaz fogalmát: a halmaz olyan objektum, amelynek van eleme. Zermelo a leválasztási axiómára hivatkozva megmutatja (ez nála a 10.Theorem következménye), hogy az összes halmazok halmaza, mint objektum nem létezik, noha kollekcióként („bereichnak”, „domain”, „tartomány”) nyilván létezik, hiszen tudjuk, mik az elemei: ezek a halmazok. Amire én hívtam fel a figyelmet, az analóg ezzel: a H_f mint kollekció létezik, de mint objektum nem létezik, ez a Diag tétel következménye.

Emellet Zeremlo (1930) -ban megkülönbözteti az „altartományokat” (subdomaineket, ezek felelnek meg a kollekcióknak) a „halmazoktól”, ami - noha nem egykönnyen - kihámozható a következő idézetből:

„Ez a BAPUVEF axiómarendszer, amelyet ’ZF -rendszernek’ fogunk nevezni, szolgál kiindulópontként. ’Normál tartománynak’ nevezzük a 'halmazok' és 'urelemek' tartományát, amely kielégíti 'ZF rendszerünket' az a∈b 'alapreláció' tekintetében. Az ilyen 'tartományokat', azok 'elemeit', 'altartományait', 'összegeit' és 'metszeteit' az általános halmazelméleti fogalmak és axiómák szerint pontosan úgy fogjuk kezelni, mint a halmazokat, amelyektől egyébként sem különböznek lényegesen [Ez meg miféle definíció? Mennyire nem lényegesen?]. De mindig inkább 'tartományoknak', mint 'halmazoknak' fogjuk hívni őket, hogy megkülönböztessük őket a 'halmazoktól', amelyek a vizsgált tartomány elemei.” (Zermelo 1930a)

Szemantikai értékrés Cantor édenkertjének égboltján - avagy mi az, amit megmentett Hilbert?

 C: Geier János, 2009.09.18-24

Ld. még: http://www.geier.hu/Cantor/Cantor_rovid.htm

Az eredeti az kissé kiegészítve és sajtóhibák javítva. 2009.10.06, majd 2010.10.02.

A teljes cikkre mutató linkek betéve: 2010.09.27  

Minden jog fenntartva. Ez az írás a szerző írásbeli beleegyezése nélkül nem másolható,
nem sokszorosítható, nem terjeszthető, sem részben, sem egészben.
Az oldal linkelhető.
Idézés esetén az irodalmi hivatkozások szabályainak betartása szigorú követelmény.

FIGYELEM: Ha a matematikai - logikai jelek  nem olvashatók, akkor nézd meg ezt a PDF  fájlt.

EZ AZ ÍRÁS NEM AZONOS A teljes cikk -KEL!  ANNAK MONDANIVALÓJA JÓVAL BŐVEBB. 

A CANTOR TÉTEL

Tétel (Cantor hatványhalmaz tétele) Tetszőleges M halmaz nem ekvivalens a H=2^M hatványhalmazával.

Bizonyítás: (a jól ismert tankönyvi verziók rekonstrukciója)
Tegyük fel indirekte, hogy M ekvivalens H-val, azaz, hogy
(1)                                        létezik  B: M → H  bijektív leképezés.
Tekintsük a H hatványhalmaznak azt a T elemét (ami egyúttal részhalmaza az M halmaznak)], melynek pontosan azok az M halmazbeli x elemek elemei, melyekhez rendelt B(x) halmaz nem tartalmazza elemként x-et. Azaz a T∈H halmaz legyen olyan, hogy tegyen eleget a
(2)                                         ∀x∈M [x∈T ⟺ ¬ x∈B(x)].
követelménynek
(*)
Az (1) miatt létezik t∈M , melyre
(3)                                                  B(t) = T.

A (2) -ben x:=t partikularizációval kapjuk:
(4)                                              t∈T ⟺ ¬ t∈B(t)

A (4) és (3) kétszeri felhasználásával kapjuk:
(5)       ha [t∈T] akkor [¬ t∈B(t)] azaz [¬ t∈T], és ha [¬ t∈T] akkor [t∈B(t)] azaz [t∈T].

Ez abszurdum, amivel cáfoltuk a kiinduló (1) indirekt feltételezésünket.
qed

Erre a továbbiakban ’Cantor bizonyítás’ elnevezéssel hivatkozok.

(Comment 2025-12-09.) Szkeptikus blogon Mandras azt írja, hogy „G. J. úr az elutasított cikkben először is előadja a Cantor-tétel „szokásos”, általa hibásnak vélt bizonyítását.” Miért van idézőjelbe téve a „szokásos”, ami később még 3x is ugyanígy szerepel nála? Talán nem ez a szokásos bizonyítás?
Nos az van, hogy az általam jórészt véletlenszerűen, csak a címük alapján kiválasztott (csak Zermelot és Skolemet választottam célzatosan) alábbi dolgozatok többsége a tankönyvi „szokásosat” hozza: abból indulnak, hogy indirekte feltételezik a bijektív leképezés létezését M és 2^M között.

Az alábbi 10 darab random választott könyvek illentve cikk közül 8 darab mind a bijektivitást tételezi fel indirekt hipotéziskén.

Bijektív hipotézisből indulás:
Ruzsa, I. (1966, p147,) A matematika néhány filozófiai problémájáról. Tankönyvkiadó,
Hajnal, A. and Hamburger, P. (1989, p34) Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest)
Goldrei, D. (1998 p148) Classic Set Theory, CRC Press company, New York
Halmos, P. (1960, p93) Naive set theory, D. Van Nostrand Company, Inc., New York
Rubin, J. (1967, p68,) Set Theorem for the Mathematician, Holden-Day, San Francisco,
Stoll, R. R. (1979, p86,) Set Theory and Logic, Dower Publications, Inc., New York
Suppes, P. (1960, 1972, p97) Axiomatic set theory, Dover Publication inc., New York
Hallett, M. (2013) Zermelo’s Axiomatization of Set Theory, https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory

Injektív hipotézisből indulás:
Jech, Th. (2002) Set Theory, 3rd Millennium ed, rev. and expanded. Springer, 2002, , p22-23)
       “Let f be a function from X into P(X)…” (into= injektív)

Indulás tetszőleges leképezésből: (MA verziójával azonosan indulal rokon.)
Enderton, B. H. (1977, p133) “Elements of set theory”, Elsevier, Oxford, reprint.

A két klasszikus, érdekes kivételek:
Zermelo, E. (1908) “Untersuchungen über die Grundlagen.., Math. Annalen 65
       “… ha P(M) ekvivalens lenne egy Mo ⊆ M részhalmazzal…”
Skolem, Th (1962, p16.) AbstractSet Theory, Notre Dame, Indiana.
       „...no mapping f of P(M) into M can exist. Indeed, let us assume
       the existence of such a mapping f and let N be the set of all f(X) for subsets X of M for which f(X)∈X..”
Mindkét utóbbi bizonyítás szintén (reduction ad absurdum típusú) indirekt bizonyítás, de a tankönyvihez képest megfordítják az irányt: az indirekt hipotézis bennük az, hogy létezik f :2^M→M injektív leképezés.

Látható, hogy Enderton verziója az egyetlen (12-ből 1), ami tetszőleges leképezéssel indul, hasonlóan MA verziójához.. (MA nyilván nem ismerte Enderton bizonyítását, és más hasonlót sem, hiszen nem idézte. Eszerint az „én verzióm” elnevezésűt MA saját kútfőből kreálta, ami nem baj, de akkor ne büszkélkedjen a „történelmi” ismereteivel.)

Jech bizonyítása Endertonéhoz és MA -hoz hasonló. Kis eltérés azoktól annyi, hogy az Jech injektív leképezéssel indul, ami ugyanúgy nem indirekt hipotézis, mint Endertoné vagy MA-é, mert ilyen leképezések vannak. De Jech nem mutat rá, hol használja fel az injektivitást, és valójában nem is használja fel. Ezért Jech bizonyítása tekinthető MA bizonyításával azonosnak; MA bizonyítása sem használja fel, hogy f injektív lenne.

Egyébként pedig bármelyik bizonyítás, ami nem a bijektivitás feltételezésével indul, simán átalakítható a bijektívessel ekvivalenssé. Sőt: átalakítandó! Ugyanis, ha abból indulunk, hogy f:M→2^M tetszőleges leképezés, akkor az magában foglalja azt a lehetőséget is, hogy f bijektív, és ezt a lehetőséget nem lehet figyelmen kívül hagyni, mivel a két ág lefutása eltérő. (ld. itt alább a Szétágaztatási szabályt.). Akkor pedig két eset van: (i) f bijektív, ii) f nem bijektív. Tehát, ha tetszőleges f leképezésből indulunk, az (i) lehetőséget is figyelembe kell venni, ez pedig maga a „tankönyvi” bizonyítás. A (ii) eset tautológia, ezért ezzel már nem kell foglalkozni. Ugyanez van f injektivitásának feltételezésekor, bármelyik irányú is az.

Szétágaztatási szabály: ha egy bizonyítás valamely lépésében úgy lehet szétágazni, hogy az ágak lefutása eltérő, akkor kötelező is ez a szétágaztatás – máskülönben hamis bizonyítás lehet belőle, hiszen akkor fontos lehetőség vagy korlátozás sikkadhat el. Jelen esetben MA verziójának első lépése valóban nem indirekt hipotézis, de a ketté ágazás hatására két önálló ág keletkezik, mindkettő elején egy-egy önálló hipotézissel. E két ág lefutása eltérő, tehát ez a ketté ágaztatás kötelező is.

* * *

Állításom: Ez a levezetés hibás, nem bizonyítja a konklúziónak szánt állítást, azaz (1) tagadását. A hiba lényege: nem bizonyított, hogy a (2) követelményt kielégítő T halmaz szükségképpen létezik. Sőt ennek fordítottja igaz: amikor a levezetés során eljutunk (2) -ig,  már ott bizonyítható (anélkül, hogy hivatkoznánk a levezetés folytatására!), hogy az (1) feltétel fennállása mellett a (2) követelményt kielégítő T∈H nem létezik. Emiatt a (3) és (4)-ben lévő kifejezések értelmezhetetlenek, ezért a levezetésben nem lehet eljutni a (5) ellentmondás kimutatásáig. (Magában az (5)-ben lévő [t∈T] is egy üres kijelentő mondat.)

Definíció:   Legyen U⊆V és R az (U,V)  páron értelmezett reláció. Az R relációból származtatott  diagonalizációs tulajdonságot a következőképp definiálom:   
                                        D(v) := ∀x∈U [R(x,v) ⟺ ¬ R(x,x)] , v∈V.
Tétel (Diagonalizációs tétel):   Legyen U=V. Akkor az R-ből származtatott  diagonalizációs tulajdonság kielégíthetetlen a V halmazon, azaz tetszőleges v∈V-re  D(v) = h (h-val a ’hamis’ logikai értéket jelölöm), azaz ∀v∈V [¬ D(v)].
Biz: Legyen  e∈V  tetszőleges rögzített elem. A Φ_e(x) := [R(x,e) ⟺ ¬ R(x,x)] -ben elvégezve a x:= e helyettesítést kapjuk, hogy Φ_e(e) = [R(e,e) ⟺ ¬ R(e,e)] = h.
Tehát létezik olyan x∈V, melyre Φ_e(x) = h, Emiatt [∀x∈V Φ_e(x) ] = h, azaz D(e) = h.
Mivel e-t tetszőlegesen választottuk, ezzel a tételt bebizonyítottuk. qed.

Megjegyzés: Ez egy egyszerű, és egyszerűen bizonyítható tétel. Ez egy svájci bicska. Amit tettem az annyi, hogy megmutattam, hogyan lehet ezzel a bicskával átvágni a Cantor tétel bizonyításában rejlő gubancot (önhivatkozó, „összefont gondolatok”). (És nyilvánvaló, hogy a Russell antinómiában lévőt is át lehet vele vágni, amint azt az előadás PowerPointjában be is mutattam.)

Tétel_2: Ha
(1’)                          B: M → H  egy bijektív leképezés,
akkor nem létezik olyan T∈H, melyre  
(2’)                                              ∀x∈M [x∈T ⟺ ¬ x∈B(x)].
Bizonyítás:
Egyelőre használjunk ki annyit, hogy B injektív és jelöljük B képterét K -val, K∈H.
Bevezetve a  X=B(x)  jelölést  (ahol x∈M), (2’) ezzel ekvivalens: 
(5)                                    ∀X∈K [B^-1(X)∈T ⟺ ¬ B^-1(X)∈X]; T∈ H .
Definiáljuk az R(X,Y) relációt így:
(6)                                   R(X,Y) := [B^-1(X) ∈ Y]; X ∈ K, Y ∈ H.
Ezt felhasználva (5) ezzel ekvivalens:
(7)                                  D(T) = ∀X∈K [R(X,T) ⟺ ¬ R(X,X)]; T ∈ H .
Látható, hogy (7) nem más, mint a (6)-ban definiált R relációból származtatott D diagonalizációs tulajdonság  és ez  ekvivalens (2’) –vel.
Az (1) feltétel azzal ekvivalens, hogy létezik olyan injektív B: M → H leképezés, mely egyben szürjektív is, azaz K=H. Ez megfelel a Diagonalizációs tétel  U=V feltételének, így a Diagonalizációs tétel alkalmazásával kapjuk, hogy D(T) = h.
Tehát (1’) fennállásakor nem létezik a (2’) követelménynek eleget tévő T∈H.
qed 
Következmény_2: A Cantor levezetése elakad a (2) után a (*) pontnál, mivel azon túl egy addigra bizonyítottan nem létező T objektumra történik hivatkozás. (A (2) még elvégezhető, de a (3) már nem.) Azt, hogy ilyen T nincs, a kiinduló indirekt (1) feltételre támaszkodva, de a (2) ponton túli folytatástól független, önálló gondolatmenettel vezettem le. Mivel a Cantor levezetés az ellentmondás kimutatása előtt elakad, ezért ez egy hibás levezetés.

Az már más kérdés, hogy helyette, épp a Tétel2 -re hivatkozva, lehet-e egy másik bizonyítást konstruálni. Ha találunk kellő  hivatkozási alapot, akkor (formailag) lehet (ld. alább).  De akár megvan ez a hivatkozási alap, akár nincs, ettől függetlenül igaz, hogy az eredeti bizonyítás hibás, amint azt a fenti matematikai gondolatmenet bizonyítja. És ez így van a Cantor elméleten belül is és a ZFC-n belül is, hiszen semmi olyan nincs felhasználva e hiba kimutatása során, ami csak az egyik rendszerben lenne igaz és a másikban nem.

Kapcsolat a ZF(C) részhalmaz axióma sémájával. Wolfram szerint (eredeti betűjelek kissé átalakítva):
                                  ∃T ∀x (x ∈ T ⟺ (x ∈ M & ϕ (x))).
azaz: ha ϕ egy tulajdonság, akkor tetszőleges M halmaz esetén létezik az a T := { x ∈ M | ϕ(x) }, halmaz, mely az M halmaznak pontosan azokat az x elemeit tartalmazza, melyek rendelkeznek a ϕ tulajdonsággal.
Alkalmazás a Cantor levezetésre. Legyen ϕ(x) := [ ¬ x ∈ B(x)], akkor a részhalmaz axiómaséma partikuláris esete ez lesz:
                                ∃T ∀x (x ∈ T ⟺ (x ∈ M & ¬ x ∈ B(x))).
Azaz e konkrét axióma azt állítja, hogy bijektív B leképezés, és tetszőleges M halmaz esetén létezik a H hatványhalmaznak az a T eleme, melyre
(**)                         ∀x∈M (x ∈ T ⟺ ¬ x ∈ B(x)).
 A (**) azonos a (2) követelménnyel. Tehát a ZF(C) részhalmaz axióma sémája alapján egy olyan konkrét axiómát állítottunk elő, mely pontosan az ellenkezőjét állítja annak, amit a Diagonalizációs tétel alkalmazása állít a Cantor levezetésre (ld. Tétel_2). Ez egy „másodlagos ellentmondás”, ami semmiképp nem azonos a Russell antinómiával, és amiből úgy lehet kikerülni, hogy tagadjuk a B bijektivitását. Ezzel a formális segédlettel tehát a Cantor hatványhalmaz tétel a ZF(C)-ben bizonyítható. Ez elgondolkodtató!  (Neumann János maga mondja, hogy az egy formális segédlet. Ld. a teljes cikkben az idézetet tőle.)

2010.10.02. Ha elfogadjuk a ZFC axiómarendszert, akkor formális értelemben (de csakis úgy!) megvan a kellő hivatkozási alap ahhoz, hogy a Cantort tételt az eredeti hibás gondolatmenettől eltérő módon, épp a Diagonalizációs tételre hivatkozva bizonyítsuk, hiszen ott kimondatott egy ezt biztosító axióma. Ezek után hosszasan lehet filozofálni azon, hogy vajon a "naív halmazelméletben"  szintén rendelkezésre állt-e egy ilyen hivatkozási alap. Van, aki úgy gondolja, hogy egy ki nem mondott, hallgatólagos feltételezés is lehet hivatkozási alap, és erről még egy lejárató blogot/posztot is indít. Lelke rajta.

(2025-12-12) MA ellenvetésére válaszul: a „naiv” halmazelméletben Cantori absztrakciós elve (azaz a korlátlan komprehenziós elv) csupán csak egy kellően át nem gondolt elv, de nem axióma, se nem axiómaséma. Mivel a Tétel_2 ebben az esetben az ellenkezőjét állítja, emiatt el kell azon gondolkodni, melyik állítás az erősebb. A Russell antinómiánál Zermelo (1908) elgondolkodott, és úgy rendezte az axiómáit, hogy vesszen a sepciális eset: a russelli halmaz nem létezik. A Cantor tételnél miért nem ugyanez a válasz: bijektív B esetén a T halmaz nem létezik. Utóbbi bizonyítva is van, mégis kötitek az ebek a karóhoz. (Mellesleg a Russell halmazra is érvényes a Diagonalizációs tétel, azzal is bizonyítható, hogy az nem létezik. De ott nincs ez a karóhoz kötözés. Vajon mért?)

DISZKUSSZIÓ

MA azzal érvel, hogy Cantor elméletében a korlátlan komprehenziós elv elfogadott volt, tehát abban bizonyítható a Cantor tétel. Én pedig mindig is azt állítottam (utólag látom, nem eléggé emeltem ezt ki) és bizonyítottam, hogy mivel az a bizonyítás hibás, ezért a korlátlan komprehenziós elv még annál is hibásabb, mint amit amit a konszenzus mond: nemcsak a Russell antinómia miatt hibás, hanem ez a hiba már a Cantor tételnél is kiütközik. Ha úgy oldjuk fel a Russell antinómiát, hogy a Russell halmazt nemlétezőnek tekintjük, akkor a Cantor tételnél is ezt kell követni: bijektív B feltételezésekor a T -vel jelölt átló-halmazt is nemlétezőnek kell tekinteni - amit bizonyítottam is. (ld. még alább)

A gondolatmenet sarokpontja a Következmény_2. 
Ha csak annyi lenne itt a hivatkozási alap, hogy "T azért nem létezik a (*) pontnál, mert majd az indirekt Cantor bizonyítás végén kiderül az ellentmondás", akkor az hiba lenne, hiszen bizonyítások során - akár direkt, akár indirekt - csak a sorrendben korábbi lépésekre szabad támaszkodni.
A fenti gondolatmenet azonban nem sérti meg ezt a "sorrendiségi szabályt", amit a következő okfejtés mutat meg.
Azt, hogy a T nem létezik a kiinduló feltételek mellett, egy általános tételre (Diagonalizációs tétel =DT) alapozva a Tétel_2 mondja ki. A DT  tetszőleges R relációról szól. A DT-nek a konkrét helyzetre történő alkalmazása a Tétel_2, amikor is tekintjük a (6) -ban megadott konkrét R -t. A DT bizonyítása független a Cantor bizonyítás (*) -on túli folytatásától, hiszen az egy általános tétel. A Tétel_2 bizonyítása is független a (*) ponton túli folytatástól, hiszen az egy alkalmazása a DT-nek, a kiinduló feltételekre (azaz (*) -nál korábbi állításokra) támaszkodva.. Tehát: a gondolatmenet úgy mutatja ki a (*) pontnál a T -nek az adott feltételek melletti nemlétezését, hogy nem fut előre. Így tehát szó sincs az indirekt bizonyítás félreértelmezéséről.

Megjegyzés
Itt egy, a matematikai levezetések során lépten-nyomon tetten érhető elvet alkalmaztam, amit a teljes cikkben "korlátozási szabálynak" neveztem. Ez alatt azt értem, hogy egy levezetés (legyen az akár direkt, akár indirekt) során nemcsak lehet támaszkodni a premisszákra (közvetlenül vagy közvetve), hanem minden lépésben kötelező is figyelembe venni a premisszák általi esetleges korlátozást. A figyelembe vétel azt jelenti, hogy ahol beleütközünk egy ilyen korlátba, ott a bizonyítás elakad, nem folytatható tovább. Ennek indoka, hogy ilyen esetben a folytatásban üres, jelölet nélkül jel fog szerepelni, így az azt tartalmazó mondatok nem tekinthetők állításnak (assertion), csupán csak üres kijelentő mondatoknak. (Ennek kifejtését ld. a teljes cikkben vagy alább egy példával illusztrálva)

A korlátozási szabályt (és a másik kettőt) nem én találtam ki, és főleg nem azért, hogy arra alapozzak egy saját elméletet. Én csak felhívtam a figyelmet arra, hogy ezeket a levezetési szabályokat hallgatólagosan már ősidők óta követik matematikai (és egyéb!) levezetésekben. Ezt bárki megállapíthatja, aki megnéz néhány matematikai dolgozatot – melyek egyébként is nyilvánvalóak.

Ismerve a félreértelmezési alternatívákat, azokat előre ki akartam védeni azzal, hogy ezeket az általánosan elfogadott elveket explicite lerögzítem. (Ld. a cikkben a 3 szabályt.)

Ezt a szándékomat Mekis kiforgatta, úgy értelmezte, mintha egy saját rendszert akarnék kidolgozni, és ezt homályosnak minősítette. A posztban ezt mondja:„ GJ nem teszi világossá, a halmazelmélet melyik verziójában dolgozik… ehelyett valamiféle homályosan körülírt "természetes matematikai gondolkodásra" [TMG] hivatkozik ”. Hát, akinek csak egy kalapácsa van, az mindent szögnek néz.
Azt pedig ajánlom Mekis figyelmébe, hogy amikor valaki bármiféle indokolás nélkül homályosnak minősíti a másik gondolatait, az a helyzet kétesélyes: lehet, hogy az ő fejében van homály. Elmondtam a három alkalmazott szabályt; konkrétan ezekre hivatkoztam, nem pedig csak úgy általánosságban a TMG -re. Ha ezek neked homályosak, az nagyon sajnálatos. Aki nemcsak elkezdi, de el is végezi a matematikus szakot, az minden bizonnyal jobban érti és el is fogadja ezeket a szabályokat.

MINDEN VALÓS SZÁM EGYENLŐ (Betéve 2025-12-09)

Az alábbi játékos hamis bizonyítás tökéletesen példázza azt a levezetési hibát, ami a Cantor tétel szokásos bizonyításában is fennáll.
Northrop(1947) nyomán, aki Leitzmann (1928) -ra hivatkozik, be fogom „bizonyítani”, hogy bármely két valós szám egyenlő egymással. Persze előre „tudjuk”, hogy ez a „bizonyítás” hibás. A hibát csak a kezdők nem veszik észre.

Tétel_NL Bármely két szám egyenlő. (A továbbiakban szám alatt végig valós számot kell érteni.)
Bizonyítás_NL
Indirekt hipotézisként tételezzük fel, hogy van két különböző szám.
Akkor az egyik nagyobb mint a másik, jelöljük a nagyobbat a-val, a kisebbet b-vel:
(1)           a > b.
Akkor van olyan c>0 szám, hogy
(2)           a = b + c.
Szorozzuk meg mindkét oldalt (a – b) -vel:
(3)           a² – ab = ab + ac - b² – bc.
Mindkét oldalból vonjunk ki ac -t:
(4)           a² – ab – ac = ab – b² – bc.
Bontsuk mindkét oldalt tényezőkre:
(5)           a (a – b – c) = b (a – b – c).
Legyen s az a szám, melyre
(6)           (a – b – c) s = 1.

(*)
Szorozzuk be (5) mindkét oldalát s-sel:
(7)           a (a – b – c) s = b (a – b – c) s
A (6) miatt (7) -ből következik
(8)           a = b,
ami ellentmond a kiinduló indirekt hipotézisnek.
Tehát nincs két különböző szám; bármely két szám egyenlő egymással.
Qed

Ezt a példát már 2009 ben is ismertem. A cikkemben egy mondattal utaltam is rá: „(Triviális példa: ha a feltételek között az van, hogy a=b+c, akkor semelyik lépésben nem szabad (a-b-c) -vel osztani, indirekt bizonyításnál sem.)” Utólag bánom, hogy ezt a bizonyítást annak idején nem közöltem. Mentségemre legyen, hogy feltételezem, hogy igazi szakértőkkel van vitám, akik enélkül is értik miről beszélek amikor a cikkben ismertetett szabályokat leírom. H734988 enélkül is értette. Mandras nem értette. (Azok után sem, hogy H734988 elmagyarázta neki.)

A Bizonyítás hibája
Mivel (2) miatt (a – b – c) = 0, ezért nem létezik olyan s szám, melyre (a – b – c) s =1.
Tehát a (6) deskripció kielégíthetetlen: nem létezik olyan, s-sel jelölni kívánt szám, mely kielégíti az (6) követelményt; az „s” egy üres jel, nem jelöl semmit. Frege (1892) szavaival élve az s egy jel (sign, Zeichung), van jelentése (sense, Sinn), de nincs jelölete (reference, design, Bedeutung, Bezeichneten). Emiatt a Bizonyítás_NL a (*) lépésnél elakad, ami alatt azt értem, hogy a soron következő, (7) lépés már nem végezhető el, mivel abban a jelölet nélküli „s” jel szerepel. Így a levezetés nem jut el a (8) -hoz, a célul kitűzött ellentmondás nem jön létre.

A világos fogalmazás érdekében a „deskripció” kifejezést használom itt, a szokásos „definíció” helyett. Ruzsa (2000) szerint „deskripció: egy adott objektum megnevezése olyan tulajdonságok alapján, amelyekkel csak az adott objektum rendelkezik.” És ismét Ruzsa szerint: „A deskripció használatával… a denotáció hiánya fordulhat elő.” Denotáció-hiány: = szemantikai értékrés, vagy ha tetszik: igazság-értékrés, jelölethiány.

A Bizonyítás_NL tehát nem bizonyítja a Tétel_NL-t; az egy hamis bizonyítás.

Megjegyzés
Northrop eredeti példájában a (5) utáni lépés egyszerűen úgy szól, hogy osszuk el mindkét oldalt (a – b – c)-vel, utána egyből a (7) -et kapja. A kiinduló indirekt hipotézis szerint (a – b – c) =0. A valós számkörben nem lehet 0-val osztani, tehát itt a hiba. Azért nem, mert nincs olyan x szám, melyre 0*x=1. (0/0 itt nem játszik.) A (6) közbeiktatása kiemeli a párhuzamot a Cantor bizonyítással.
Diszkusszió
a) Egy tétel reduction ad absurdum típusú indirekt bizonyítása abban áll, hogy a tétel premisszaegyüttesét kiegészítjük a bizonyítandó konklúzió tagadásával (ez az indirekt hipotézis), és az így kiegészített premisszaegyüttes alkotja egy új bizonyítás kiinduló premisszaegyüttesét. Amikor eljutnunk az ellentmondáshoz, akkor még kell egy lépés: az ellentmondásra hivatkozva megcáfoltnak tekintjük az indirekt hipotézist, és kimondjuk, hogy ezzel bizonyítottuk az eredeti tétel konklúzióját.
Amíg el nem jutottunk az ellentmondáshoz, addig az indirekt hipotézist igaznak kell tekinteni. (A többi premisszát eleve igaznak tekintjük az elejétől kezdve.) Ezt az elvet szeretném a feltételes igazság szabályának nevezni.
b) A mindennapi matematikai tevékenység során általánosan alkalmazott triviális alapelv, amit már az iskolában is megtanítanak (számtalan elemi algebrai példa van erre, ld. a középiskolai példatárakat. Öregebbeknek: Laricsev.), hogy bizonyításoknál ügyelni kell arra, hogy az adott premisszák mellett léteznek-e azok a matematikai objektumok, melyeknek a jeleit felhasználjuk. Elvileg ezt a bizonyítás minden egyes lépésénél meg kell vizsgálnunk, és ha valamely lépésnél - a bizonyítás folytatásától függetlenül - bizonyítható, hogy egy felhasználni kívánt változóhoz nem tartozik jelölet, ott a bizonyítás elakad, nem folytatható. Ez a korlátozási szabály kissé más megfogalmazása.

A korlátozási szabályt reduction ad absurdum típusú indirekt bizonyításnál is be kell tartani, amint azt a Bizonyítás_NL példázza: a (6) deskripcióban szereplő ’s’ jelnek, éppen az indirekt hipotézis következtében nincs jelölete, ez a folytatástól függetlenül bizonyítható, tehát ezt követően a bizonyítás elakad.
Az Proof_NL bizonyítás attól hamis, hogy nem veszi figyelembe a korlátozási szabályt, azaz nem áll le a (6) utáni lépésnél.
Totális a párhuzam a Cantor tétel bizonyításával, aminek belátását a tisztelt olvasóra bízom.

Ld. a cikkemnek ezt a mondatát: „A továbbiakban azt fogom kimutatni, hogy a Cantor hatványhalmaz tétel közismert tankönyvi levezetéseinek gondolatmenete megsérti a (iii) szabályt.”

Mellesleg (2010.11.10):
Egyébként az is nagyon fontos kérdés, hogy milyen alapon általánosítjuk végtelenre azt a véges tapasztalatunkat, hogy amennyiben adott egy H halmaz valamely h elemének valamely lokálisan megállapítható P tulajdonsága, akkor kell létezzen a H halmaz azon részhalmaza, mely pontosan az ilyen P tulajdonságú elemeket tartalmazza. (Van, aki ezt nevezi a lokális tulajdonság kollektivizálhatóságának.) Ez a legtöbb esetben természetes. Pl. ha látok egy páros számot (ezt lokálisan állapítom meg, ti. 2 -vel elosztva 0 a maradék), akkor joggal gondolom, hogy létezik a természetes számok halmazának az a részhalmaza, mely a párosakat és csak azokat tartalmazza (ehhez persze el kell fogadnunk a természetes számok halmazának létét, mint aktuális végtelent). De miért kéne gond nélkül elfogadnunk e szabály olyan mértékű általánosítását, hogy végtelen M halmaz esetén (ld. a fenti Cantor hatványhalmaz tétel jelöléseit) is eleve léteznie kellene a (2) követelményt kielégítő  T-nek?  Ahogy mondogatni szokták:  a "végtelenben" (értsd: az aktuális végtelent elfogadó elméletekben) sok minden másképp van, mint végesnél. Pl. ott nem igaz, hogy a rész feltétlenül kisebb az egésznél, hiszen egy végtelen halmaz bizonyos saját valódi részhalmazaival is tud ekvivalens lenni. Akit ez nem zavar, annak vajon miért nehéz elfogadni, hogy a Cantor hatványhalmaz tétel indirekt bizonyításának kiinduló feltételei mellett a lokálisan megállapítható „x nem eleme B(x)” tulajdonság nem kollektivizálható (valójában ez a Tétel_2 állítása).

Íme a lenyelendő béka: van olyan lokálisan megállapítható tulajdonság, ami nem kollektivizálható. Sokan nem tudják ezt lenyelni. Az ő vágyálmuk: szeretnék, hogy minden lokálisan megállapítható tulajdonság kollektivizálható legyen. Azonban ezt a vágyálmot semmi mással nem tudják alátámasztani, mint hogy úgymond "posztulálják", ami pl. a részhalmaz axiómaséma lefektetésében nyilvánul meg. Ezt az axióma-sémát elfogadva, formális értelemben valóban bizonyítható a Cantor tétel, hiszen ekkor a (*) pont előtt a fent tárgyalt, Tétel_2 -vel kapcsolatos ellentmondásra jutunk (ld. ZF(C)-s fejezet). A Cantor hatványhalmaz tétel tehát e vágyálomra hivatkozva (és a Diagonalizációs tételt felhasználva!) valóban bizonyítható.

Kiegészítés (2025-12-09) Az eltelt időben rengeteg halmazelméleti munkát, többek Zermelo, Cantor, Skolem stb. eredeti cikkeit, valamint 10 könyvet is megnéztem a fenti szempontok szerint. Kiderült, hogy Zermelo(1908b) is szinte pontosan arról beszél a bevezetőjében, amiről én, csak éppen a Russell antinómia kapcsán:

„Angesichts namentlich der ,,Russellschen Antinomie" von der ,Menge aller Mengen, welche sich selbst nicht als Element enthalten" scheint es heute nicht mehr zulessig, einem beliebigen logisch definierbaren Begriffe eine ,,Menge" oder ,,Klasse" als seinen ,,Umfang" zuzuweisen. Die ursprtingliche Cantorsche Definition einer ,,Menge" als einer „Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen" bedarf also jedenfalls einer Einschrenkung, ohne dass es doch schon gelungen ware, sie durch eine andere, ebenso einfache zu ersetzen, welche zu keinen solchen Bedenken mehr Anlass gabe…. Diese Aufgabe muß in der Weise gelöst werden, daß man die Prinzipien einmal eng genug einschränkt, um alle Widersprüche auszuschließen, gleichzeitig aber auch weit genug ausdehnt, um alles Wertvolle dieser Lehre beizubehalten.” (Zermelo 1908b)

Aláhúzás tőlem. A google tanslator (majdnem) jól fordítja.

Az utolsó mondatból nyilvánvaló a célhoz igazítás.

Nem sokkal később még a bevezetőben: „Die weitere, mehr philosophische Frage nach dem Ursprung und dem Gültigkeitsbereiche dieser Prinzipien soll hier noch unerörtert bleiben.”

Én Zermelo bevezetőjének korábbi mondataiban sem találtam olyant, ami „philosophische Fragen” -nek tekinthető. Tehát Zermelo egy olyan fontos filozófiai kérdést, ami Russellnek, Fregenek és sok másnak komoly fejtörést okozott, antifilozófiával old meg. Utólag meg kell állapítanom: nem érthető, hogy a cikkemben vázolt filozófiai irányzatok között miért szerepel Hilbert formalista irányzata, mint ami a Russell és egyéb antinómiák megszüntetésére hivatott. Zermelo és Hilbert a formalizmust illetően ellenvéleményen voltak: Zermelo teljesen mellőzte dolgozataiban a formalizmust, a ZF -et pedig nem Hilbert alkotta. Akkor pedig miért mondja a halmazelmélet történetével foglalkozó szakirodalom azt, hogy a ZFC képviseli Hilbert formalista irányzatát? (Én pl. Ruzsától vettem, amit annak idején írtam erről.) Itt tehát nem igazán érnek össze ezek a dolgok, ami külön elemzést igényel.

Szóval: „Tekintettel a Russell antinómiára, ...ma már nem tűnik megengedhetőnek, hogy bármely logikailag definiálható fogalom ’terjedelméhez’ ’halmazt’ vagy ’osztályt’ rendeljünk.” mondja Zermelo a bevezetőjében.

Tehát terjedelem (gyűjtemény, kollekció) van, de az mégsem halmaz.

Ha már így állunk, akkor érdemes megfigyelni, hogy a Részhalmaz axiómasémában nincs kihasználva, hogy a M egy halmaz: elég lenne csak annyit megkövetelni, hogy kollekció legyen… de ez messzire vezetne most.

Érdekes megfogalmazás: „nem tűnik megengedhetőnek”.

Ez a teljes mondat úgy szól, mintha Zermelo egy örök érvényű, objektív és általános törvényszerűséget fedezett volna fel, pedig csak egy saját megoldási javaslatot mond a Russell antinómia feloldására. E megfogalmazás szerint – erre utal a „bármely” kifejezés – Zermelo nemcsak a Russelli {x | x ∉ x} halmazra alkalmazza Cantor korlátlan komprehenziós elve alóli „felmentést”, hanem láthatóan egyéb esetekben is megengedné azt. De a Russell halmazon kívül egyéb példát mégsem mond, és arra sem ad semmiféle szabályt, hogy egy ilyen felmentést milyen körülmények esetén kellene megtenni. Ezért ha ebből az egy példából kellene rekonstruálni Zermelo „felmenési elvét”, az így szólna: ha valamely axióma kizárása az elméletből megszüntet egy ellentmondást, akkor azt ki is kell zárni. Akkor esetleg a most T -vel jelölt átlóhalmazra is megengedhetné ugyanezt, és kizárhatná ezt az axiómát is:

„tetszőleges M és vale ekvivalens U halmaz esetén, tekintve az ekkor létező bijektív B: M → U  leképezést, ∃T⊆M ∀x∈M [x∈T ⟺ ¬ x∈B(x)].

De a Cantor bizonyításban lévő ellentmondás megszüntetéséhez az is elég lenne, és indokolt is lenne, hogy ezt csdak U=2^M esetére zárná ki.
Később Zermelo ad is egy bizonyítást arra, hogy az összes halmazok halmaza nem létezik. (Mellesleg azzal a bizonyítással, - akaratán kívül, merthogy azt nem említi - azt is bizonyítja, hogy az a bizonyos Russelli halmaz sem létezik.) Azaz Zermelo azt állítja ezzel, hogy az (x∈x) tulajdonság nem kollektivizálható. Zermelo „ügyesen” válogat: a Russell antinómia megszűnése érdekében úgy alakítja a célhoz igazított axiómarendszerét, hogy a Russelli halmazt ne lehessen „újként definiálni” (ezek az ő szavai), ellenben a Cantor bizonyításban lévő, most T-vel jelölt halmaz létezéséhez még egy alátámasztást is ad a korlátos kompressziós axiómaséma által.
Akkor mi van? Tisztelt tanult vitapartnereim miért nem mondták nekem anno: „Ember, nyitott kapukat döngetsz! Nem kell bizonygatnod, hogy vannak nem-kollektivizálható tulajdonságok: már Zermelo is erről beszél.” Nem ártana tanult barátaimnak elolvasni az eredeti forrásokat. Így van az, ha sok, egymást követő nemzedéken át letisztul egy népmese.

Megjegyzem még
A történelem során ilyen nem-kollektivizálható tulajdonságokkal Cantor előtt nem találkozhattunk. Tapasztalhatjuk, hogy az ilyen tulajdonságok mindegyike kizárólag a Cantor-féle diagonalizációnál bukkan fel. Felbukkanásuk viszont ez esetben nem is csoda, hiszen a Cantor -féle diagonalizáció - önhivatkozás. Pontosabban: U=V esetén az. Az önhivatkozás megsérti a sorrendiségi szabályt. De hiszen erről szól a cikkem ... Érdemes végignézni: a diagonalizációs trükkön alapul a Cantor hatványhalmaz tétel, a valós számok "megszámlálhatatlanságának" Cantor-féle tétele, a Gödel tétel, a Turing tétel, . ..és mind az összes többi végtelenről szóló tételt. És ugyanez mondható el a kapcsolódó antinómiákról: Russell-, borbély-, Richard-, a Berry- stb antinómiák. Az úgynevezett matematika-filozófia mást sem tesz 120 (most már 130) év óta, mint Cantor diagonalizációs trükkjéből adódó problémákon rágódik.

Végül megjegyzem még
A halmazelmélet axiómáinak indoklása alapvetően eltér a matematika többi axiómarendszerének indoklásától. Utóbbiaknál mindig arról van szó, hogy hogyan modellezzük a valóság egy rész-jelenségkörét (pl. a tapasztalati sík vagy tér geometriai viszonyait), vagy a matematika valamely virtuális rész-világát (ld. Peano axiómák, test-axiómák). Ehhez a tapasztalatból absztraháljuk az alapfogalmakat és az axiómákat. (Euklidész V, párhuzamossági posztulátuma épp azért volt problémás, mert a végtelenre hivatkozott, amiről nincs tapasztalat. A Peano axiómái a természetes számsorozat tulajdonságainak elemzéséből keletkeztek stb.) Ezekre azután felépítjük az elméletet, és megnézzük, mi jön ki belőle - és nem utolsó sorban: ismét visszatérünk a tapasztalathoz, és megnézzük, elméleti modellünk jól jósolja-e a tapasztalatot.
A halmazelméleti axiómarendszereknél ellenben homlokegyenest másról volt szó: ott a cél szentesíti az eszközt. Ti. az ilyen axiómarendszerek megalkotói, elsőként maga Zermelo, előre kijelölték, mit szeretnének "megmenteni" ( ld. még a teljes cikkben a Hilbertnek tulajdonított kijelentéseket, vagy a Zermelotól vett fenti idézetet.), és ehhez igazították az axiómákat. Cseppet sem zavarta őket az, ami a matematikusokat (köztük Gausst, a két Bolyait apát és fiát, Lobacsevszijt és egyik tanárát, utóbbi ugyanúgy Gauss egyetemi évfolyamtársa volt, mint az idősebb Bolyai) 2 ezer éven át zavarta. Ez így valóban nem több, mint egy öncélú játék az axiómákkal.

****

Reflexióim az elutasításra

Melléérvelés mindenütt

… //fenti folytatása.

Mekis ezt mondja a levelezésben: „Mármost az egzisztenciális kvantorral kifejezett létezési állítások nem okoznak értékrést; a "van olyan x, hogy x páros is meg páratlan is" [p&p] mondat a szokásos kontextusokban hamis (mert x egyetlen értékelése sem elégíti ki); a standard elsőrendű szemantika szabályai szerint x-nek ettől függetlenül van értéke.” Mi lenne az x-nek ez az (konkrét!) értéke?

Erre a következő magyarázatot kaptam: GJ: „Meg tudná mondani, mi az x értéke ilyenkor?” Mekis: „Benne van a definícióban. Az, amit az aktuális értékelés x-hez rendel; vagyis a struktúra alaphalmazának tetszőleges eleme.”

Bevallom, én ezt a választ nem értem. A „tetszőleges elem” mióta konkrét, és ez esetben mi az „aktuális kiértékelés”? Talán úgy kellene ezt érteni, hogy van a természetes számok halmaza, és ezek között (vagy valahol ezen kívül az absztrakt térben?) van egy speciális elem, ami ’a’ „tetszőleges” elem? (Úgy látszik, Mekis szemléletétől nem áll távol az ilyesmi, hiszen még abba a vitába is belemegy, hogy a végtelen páros szám-e, és hogy „Cantor éppen azon fáradozott, hogy lehetővé tegye a végtelen mennyiségekkel való számolást.” )

Egyszer egy kutyaiskola vezetője kirándulást akart szervezni hétvégére a kutyásoknak, kutyákkal együtt persze, a veresegyházi medveotthonba. Valaki megkérdezte: „Miért vigyük oda a kutyákat?” … „Hát...h... hogy szokják a medvéket.”

De azért köszönöm a választ, sokat segít. Ugyanis Mekis a [p&p] mondattal hallgatólagosan szintén elismeri, hogy az érvelésem helyes, hiszen én is, és „Hilberték” is a „szokásos kontextusban” beszélünk a Cantor tétel bizonyításáról. Ott pedig, Mekis által elismerten, van értékrés. Ne tessék már azt bizonygatni, hogy a valós számok körében van olyan x, melyre 0*x=1, amit majd az „aktuális kiértékelés rendel az x-hez”. Milyen „standard elsőrendű szemantika” az, ami felülírja a józan észt?

Aki nem hisz nekem és nem hisz saját eszének sem, csak a külső tekintélyeknek, annak itt egy referencia melyben a szertők azt állítják, hogy a Russell antinómia következtében az összes halmazok halmaza (ezt ott V-vel jelölik) nem létezik: https://plato.stanford.edu/archives/spr2021/entries/russell-paradox “...All the contradiction shows is that “V”is an empty name (i.e., that it has no reference, that V [the whole universe of sets] does not exist)…”.

Azaz ezt mondják: ha indirekte feltételezzük, hogy az összes halmazok V halmaza létezik, akkor előáll a Russelli circulus vitiosus; ez abszurdum, tehát a V halmaz nem létezik. Akkor mi a gond következővel : Ha indirekte feltételezzük, hogy M ekvivalens 2^M -mel, akkor előáll egy circulus vitiosus; ez abszurdum, tehát nem létezik az a bizonyos T átló-halmaz. Ez egymagában nem ellentmondás. Csak akkor keletkezik ellentmondás, ha ennek ellenére a ZFC-ben ragaszkodunk a T átlóhalmaz létezéséhez. És akkor a ZFC-ben egy bizonyított állítás áll szemben egy kimondottan e célhoz igazított, mesterséges axiómával, Cantor elméletében pedig egy kellően át nem gondolt elvvel. Zermelo és követői a Russell antinómia esetében a ZFC-ben nem ragaszkodak a Russelli átlóhalmaz létezéséhez, ezáltal a circulus vitiosus megszűnik (mivel ekkor a benne szereplő mondatok nem állítások, csak üres kijelentő mondatok); a Cantor tétel esetében, a ZFC-ben, ragaszkodnak a T átlóhalmaz létezéséhez. És ekkor valóban csak az marad az említett „másodlagos ellentmondás” feloldására, hogy B nem bijektív. De ezt a ragaszkodást milyen megfontolás, milyen filozófia indokolja - hacsak a cél szentesíti az eszközt elvet nem tekintjük filozófiai elvnek. (ld. alább, és ld. a cikkemben a Neumann Jánostól vett idézetet.)

A sokat magasztalt Zermelo-féle részhalmaz (azaz korlátos komprehenziós) axiómaséma pedig csak egy fedősztori: azzal, hogy Zermelo a korlátlan komprehenziós elvet helyettesítette a korlátossal, „végtelen sok” olyan konkrét axiómát kidobott a rendszeréből, ami még Cantoréban benne volt, és egyúttal – észrevétlenül, mint egy ügyes bűvész a nyulat - kidobta azt is, hogy „R-axioma: az {x| x nem eleme x-nek} halmaz létezik”. Elég lett volna csak ezt az R-axiómát kidobni, és el van intézve.

Azzal érvelni, hogy a leválasztási axiómaséma következménye a helyettesítésinek, felesleges, mert ekkor a leválasztási axiómaséma egy tétele a ZFC-nek, és így ugyanaz van, amit előbb mondtam. Érthetetlen, hogy Zermelo az1930-as cikkében miért hagyta benn mindkettőt. Ott azzal védekezik, hogy most nem célja a függetlenség elemzése. De ez nem válasz arra, hogy miért nem szünteti meg ezt a redundanciát. Azért, mert ez nem célja? De miért nem célja? Ehhez a redundanciához azóta egyetlen szerző sem mert hozzányúlni, a ZFC ismertetésénél mindkét axiómasémát felsorolják.

Félreolvasás mindenütt

A cikkemben - pont azért, mert számítottam a félreolvasásra, de ezek szerint az sem volt elég - egy explicit mondattal világossá teszem, hogy kimondottan a szokásos, tankönyvi Cantor-tétel bizonyítással foglalkozom, ami abból az indirekt hipotézisből indul, hogy bármely halmaz és hatványhalmaza között létezik bijektív leképezés. Ugyanilyen célból egy másik explicit mondatot is betettem a cikkbe, miszerint nem magát a Cantor tételt akarom cáfolni, hanem a szokásos, tankönyvi bizonyításban mutatok ki egy hibát. Ehhez képest MA már azt a címet adja a posztjának, hogy „Hamis a Cantor tétel”, és örökmozgókról, meg sarlatán csodadoktorokról beszél - akiknek egyike éppen én vónék, és aki egy „olyan”, akivel „meggyűlt a baja”. Aztán később, mikor a honlapomon ismét kihangsúlyoztam, hogy nem magát a Cantor tételt cáfolom, MA a posztjában a klasszikus „fogpiszkálós” székely viccel jött elő, mintha éppen akkor szerzett volna erről tudomást. MA olvasási képessége meglehetősen szelektív.

Itt jegyzem meg, hogy a Cantor tétel nem „egy apró kis tétel, ami rendszeresen izgatja arravaló emberek fantáziáját”, hanem már a kezdetektől fogva sokan próbáltak rajta fogást találni: egy bűvésztrükköt láttak benne, amit a benne lévő önhivatkozás képvisel. Russell (ő is „arravaló” lenne?) leírja , hogy annak idején ő úgy jött rá a Russell antinómiára, hogy megpróbált hibát találni a Cantort-tétel bizonyításában. A következő mondat MA posztjában pedig a csodálkozását kifejező „döbbenetes” jelző miatt történelmi ismerethiányról árulkodik:”...[ennek] van még egy oka, és ez a Russell-paradoxon levezetése, ami a mi 3. lépésünkhöz döbbenetesen hasonló okfejtéssel, de minden (látható) indirekt feltevés nélkül mutat ki ellentmondást Cantor eredeti (ma úgy mondjuk: naiv) halmazelméletében.” Az előzőek fényében semmi „döbbenetes” nincs ebben a hasonlóságban, hiszen a Russell antinómia ötlete (és a Burali-Forti, és a Richard…) a Cantor-diagonalizációból jött. De erről is írok a cikkemben, ahol a Russell és egyéb antinómiákat a Cantor-féle átlós eljárás paródiájának mondom.

Mellesleg, két indirekt feltevés is van a Russell antinómiában: tegyük fel, hogy R eleme R-nek…., tegyük fel, hogy R nem eleme R-nek… és mindkettő az ellenkezőjére jut. A Russell antinómia nemhogy nem indirekt bizonyítás, hanem éppen hogy egy dupla (reduction ad absurdum típusú) indirekt bizonyítás. Emiatt forog körbe – körbe: circulus vitiosus. A „normál” indirekt bizonyítás fél fordulat után leáll. A Cantor tétel szokásos bizonyítása szintén egy végtelen körforgásba fut be. Egy olyan gép, ami nem tud a saját tevékenységére kintről ránézni, itt egy logikai „fekete lyukba” esik: sose fog abból kikerülni és azzal leállni, hogy „cáfoltam az indirekt hipotézist”.

A cikkemet azzal kezdem, hogy Cantor-korabeli érvelést fogok használni. Teszem ezt annak érdekében, hogy kiderüljön: már az akkori eszközökkel kiderülhetett volna, hogy hibás Cantor érvelése az „alefek” terén, emiatt pedig „Hilberték” (azóta látom, hogy inkább Zermelóé az érdem e téren, és ott van még Fraenkel és Skolem) nem mentettek meg semmit. (Idézet a cikkemből: „Megmenteni csak azt lehet, ami előtte már létezett, így jogosan vethető fel a kérdés: az ún. »naiv halmazelmélet« keretein belül hibátlan-e a Cantor féle hatványhalmaz tétel bizonyítása?”. De olvasd tovább is, pl a „Előadásomban virtuális időutazásra invitálok a ..” bekezdést,)

Nem is lenne korrekt „Hilbertékkel” szemben a „modern matematikai standard” szerint érvelni, hiszen az akkor még nem létezett. Ezek után az én kedves barátaim, mintha el sem olvasták volna a cikk eme részleteit (talán így is volt), behúztak engem a saját utcájukba, hogy az ő logikájuk, a „ A modern matematikai standardban” stílusában érveljek velük szemben.

Ez az utcába húzás sikerült is nekik. De nem gondolom, hogy szándékosan és tudatosan tették volna. Ők így működnek. Én pedig nem voltam eléggé résen, és bele mentem annak kimutatásába, hogy az alternatív, általuk javasolt bizonyítás ekvivalens a „szokásossal”.

Ezt utóbbi egyébként továbbra is tartom, de az előbbiek fényében ez már irreleváns. Ld. még fent, ahol felsorolok egy tucatnyi dolgozatot, melyek között 8 olyan könyv van, ahol az általam idézett szokásos módon bizonyítják a Cantor tételt (bijektív leképezés feltételezéséből indulnak), a többi meg vegyes. MA bizonyításával megegyezőt, amikor tetszőleges leképezésből indul, egyetlen szakirodalmi referenciát találtam. (Ő maga egyet sem mondott, hiába kértem.)

Mandras első ellenérvének kritikája

amit a Szkeptikus blogban mondott, jóval a levelezésünk után. Idézet Mandrastól:

A tételt Cantor-tételként szokás emlegetni, és annyit mond, hogy nincs kölcsönösen egyértelmű leképezés egy H halmaz és hatványhalmaza, azaz összes részhalmazainak halmaza (pot(H)) között.
Nézzünk először egy rövid kis bizonyítást erre az állításra.
1. Legyen f tetszőleges, H-n értelmezett és pot(H)-ba képező függvény.
2. Tekintsük a következő, H_f halmazt: {x ∈ H: x ∉ f(x)}, azaz H azon elemeinek halmazát, amelyek nem elemei a saját f szerinti képüknek.
3. Ha H valamely y elemére f(y) = H_f, akkor két lehetőség van:
a. y ∈ H_f , tehát y eleme saját f szerinti képének. De H_f H-nak azokat és csak azokat az elemeit tartalmazza, amelyek nem elemei saját f szerinti képüknek. Tehát y ∉ H_f.
b. y ∉ H_f, azaz y nem eleme a saját f szerinti képének. Ebben az esetben y H-nak olyan eleme, amely nem eleme saját f szerinti képének, tehát H_f definíciója szerint y ∈ H_f.
4. Mivel 3a. is, 3b. is ellentmondásra vezet, nem lehet olyan y, hogy f(y) = H_f, ezért f nem lehet kölcsönösen egyértelmű (közelebbről: nem lehet ráképezés).

Ez a bizonyítás azzal indul, hogy f tetszőleges. Emiatt Mandras (és másutt Mekis is) azt mondja, hogy ez egy „direkt” bizonyítás, mert nincs benne indirekt hipotézis. Csakhogy, ha egy leképezés tetszőleges lehet, akkor nincs megtiltva, hogy akár bijektív is lehessen. Ezért rögtön az elején kétfelé kell ágazni: (i) bijektív, (ii) nem bijektív. A (ii) eset tautológia, marad az (i) eset, ami pedig azonos a tankönyvivel. Erről másutt részletesebben beszélek, ld. alább Mekis érvei kapcsán.

Mandras második ellenérvének kritikája

amit a Szkeptikus blogban mondott, jóval a levelezésünk után. Idézet Mandrastól:

G. J. úr az elutasított cikkben először is előadja a Cantor-tétel „szokásos”, általa hibásnak vélt bizonyítását. Előadása nem sokban különbözik a fentiektől, mint ahogy tételünknek egyszerűsége folytán nincsenek is lényegesen különböző bizonyításai. Ugyanazt lehet más sorrendben, vagy esetleg fölösleges lépések közbeiktatásával előadni. Nézzük azért végig.
1". csak annyiban különbözik 1.-től, hogy indirekte eleve felteszi f kölcsönösen egyértelmű voltát (bijektivitását).
2". ugyancsak a H_f definíciója, de ezt megcsillagozza.
3". annyiban módosul, hogy f bijektivitása miatt kell, hogy legyen H_f-nek egy és csak egy f szerinti ősképe; ez, a fentiekkel teljesen megegyezően eleme is, meg nem is H_f-nek, ami ellentmondás.
A bizonyítás cáfolatát egy segédtételre alapozza, amelyet diagonalizációs tételnek nevez. Ez lényegében a következőt mondja: Tekintsünk egy R relációt egy U halmaz elemei között. Akármilyen is R, nem lesz olyan u eleme U-nak, hogy minden v-re igaz legyen: v vagy u-val, vagy önmagával az R relációban áll, de nem mind a kettővel. Ez persze igaz, hiszen ha v-t éppen u-nak választjuk, a követelményből arra jutunk, hogy a „v R-ben áll önmagával”, és az „v R-ben áll önmagával” állítások közül egy és csak egy igaz.
4". Válasszuk U-t pot(H)-nak, R-nek meg azt a relációt, amely H két részhalmaza között akkor áll, ha az elsőnek az f szerinti ősképe eleme a másodiknak.
5". Tekintsük pot(H) egy tetszőleges G elemét. f bijektivitása miatt G-nek van egy és csak egy f szerinti ősképe, legyen ez x (tehát f(x) = G).
6". A diagonalizációs tétel most ezt állítja: nincs olyan H_f eleme pot(H)-nak, hogy minden G-re vagy x ∈ H_f, vagy x ∈ G(=f(x)), de csak az egyik. De épp ez volna a 2”-ben szereplő H_f definíciója, tehát H_f nem létezik.
G. J. szerint a „szokásos” bizonyítás azért hibás, mert H_f nemlétezése miatt a 3" lépés értelmetlen: nemlétezőről beszél, márpedig a nemlétezőkről szóló mondatok se nem igazak, se nem hamisak. A csillag azt jelzi, hogy innen nem volna szabad folytatni a bizonyítást.
A válasz nyilvánvalóan az, hogy ha G. J. gondolatmenetét akarjuk követni, nem is kell folytatnunk. 2"-ben H_f létezése az indirekt feltevésből (bijektív f függvény létezéséből) plusz (a naiv halmazelméletben) a komprehenzió elvéből következik [1]; 2"-höz tehát helyesen tehetjük hozzá: „és ez a H_f létezik”[2]. Ha valakinek ehhez van kedve [3], folytathatja a bizonyítást 3" helyett a 4", 5", 6" úton is, majd megállapíthatja:
7". 2" és 6" között ellentmondás van, tehát az indirekt feltevés hamis.
Tehát G. J. gondolatmenete nemhogy megcáfolná [4] a Cantor-tételt, hanem egy más (valójában csak egy kicsit átrendezett és megbonyolított) bizonyítást ad rá.

Észrevételem [1] -hez. Ez így igaz. Ez egy nagyon fontos kijelentés MA részéről, hiszen itt elismeri, hogy olyan leképezésre is érvényes a komprehenzió elve, amiről utólag esetleg mégis kiderül, hogy nem létezik. Ezt azért fontos megjegyeznem, mert már hallattam itt furcsákat arról, miért is nem lehet indirekte feltételezni a B bijektivitását, és csak „tetszőleges létező leképzésből” indulva lehet indítani a Cantor tétel bizonyítását, amint azt MA fenti első verziójában is látható.

Ellenérvem [2]-höz. Ez pontosan így van, amint azt a cikkem végén a Részhalmaz axiómaséma kapcsán el is mondtam. Itt létrejön egy „másodlagos ellentmondás”: a Diag tétel következtében bijektív B esetén a (2’) szerinti T halmaz nem létezik, ellenben a Zermelo -féle részhalmaz axiómaséma szerint létezik (amit maga MA is kijelent az [1] mondattal). Formailag ez valóban ellentmondás, de egyrészt ez már nem az eredeti bizonyítás, másrészt filozófiailag problémás, amint azt fentebb már kifejtettem: milyen axióma az, ami egy bizonyított tétel direkt tagadása?

Észrevételem [3] -höz. Ez nem kedv kérdése: aki nem akar egy durva levezetési hibába esni, az nem folytathatja a (*) után. Ha mégis folytatja, akkor ugyanabba a levezetési hibába esik, mint aki a fenti Northrop/Leitzmann által bemutatott hamis bizonyítást tovább folytatja az ottani (*) után.

Észrevételem [4] -hez. Ezt is említettem már, de megismétlem: a cikkem nem a Cantor tétel megcáfolásáról szól. És ha MA úgy gondolja, hogy egy megbonyolított bizonyítást adtam rá (én ugyan nem adtam, csak egy lehetőséget mondtam, előr fenntartással) ám, nyugodtan gondolhatja, hogy ebben neki igaza van – ez nem oszt, nem szoroz. Én azt bizonyítottam, hogy a szokásos, a „B bijektív” hipotézissel induló bizonyítás hibás, mert az elakad a (*) pontban; akkor is elakad, ha érvényesnek tartjuk a leválasztási sémát. (A többi bizonyításverzió pedig magában foglalja ezt a bijektíveset, amint azt kimutattam.) Tehát csak egy lehetőség marad a bizonyításra (ha valaki úgy akarja): a Tétel_2 -vel, miszerint a T:={x∈M | x∉x} halmaz nem létezik, direktben szembe állítani a Leválasztási axiómaséma partikuláris esetét, miszerint a T:={x∈M | x∉x} halmaz létezik. (Ez szerepel a cikkben, tehát itt nincs szó fogpiszkálóról.) Ez pedig filozófiailag problémás, mint már volt és lesz arról szó.

Mekis egy ellenvetésének kritikája

amit a MekisLevelezes 4. levélben mondott.

2. A nagyobbik probléma: Az esetszétválasztás egyik ága az, hogy a bizonyítandó tétel igaz, a másik az, hogy a bizonyítandó tétel hamis. Így bármely matematikai bizonyítást meg lehetne akasztani.[1]

Például:
T: 2+2=4
B: 1. Tegyük fel, hogy 2+2=4. Ezzel megelőlegeztük a bizonyítandót, tehát el kell vetni. 2. Tegyük fel, hogy 2+2 /=4. (Jó, tudom, jobb helyeken !=.) Ez marhaság, hiszen más gondolatmenetből tudjuk, hogy 2+2=4, tehát a 4 jelet ellentmondásos tulajdonságokkal rendelkező entitásra használjuk [2], ami lehetetlenség, tehát nincs jelölete, értékrés lép fel, a bizonyítást e ponttól nem lehet folytatni. Harmadik eset nincs. Tehát a tétel szokásos bizonyítása hibás, mert mire belekezdenénk, elakadunk.[3]

Itt Mekis arra az esetszétválasztásra utal, hogy amikor a Cantor bizonyításnál MA és Mekis abból indulnak, hogy B tetszőleges, akkor én azt azt már az elején ketté választom: 1) B nem bijektív vs. 2) B bijektív. Az 1) ág tautológia, marad a 2) ág, tehát ez az említett variáns ekvivalens az tankönyvivel, mondom én (ld. ugyanezt részletesebben fent).

Itt megjegyzem, hogy a fő bizonyítandó tétel úgy szól, hogy „bármely halmaz esetén nincs bijektív leképezés a halmaz és hatványhalmaza között.” Saját mintavételem szerint a szakirodalomban az esetek kb 80% -ában az általam elemzett szokásos, tankönyvi bizonyítással bizonyítanak, ld. ld. fent. De vannak ettől eltérő bizonyítások is. Mekis és Mandras egy egy ilyen bizonyítással próbálta kikerülni az én kritikámat, mondván, hogy amit ők mondanak, az egy ”direkt” bizonyítás, mert nincs benne indirekt hipotézis. Csakhogy ekkor már nem magát a Cantor tételt bizonyítják, hanem valójában egy segédtételt, aminek majd következménye lesz a Cantor tétel. Az ő segédtételük így szól: „Tetszőleges f:M → 2^M leképezés nem lehet szürjektív”. Noha ennek triviális (intuitíve nem is kérdéses) következménye a Cantor tétel, de az explicitség jegyében ezt a lépést meg kell tenni: Biz: Per definitionem bijektív leképezés az, ami egyszerre szürjektív és injektív. Tegyük fel, hogy f bijektív, akkor e segédtétellel szembeni ellentmondást kapuk, hiszen ami nem szürjektív, az az előbbi miatt bijektív se lehet. qed. Mellesleg: ez egy indirekt bizonyítás. Tehát a Cantor tétel teljes bizonyítása ekkor is indirekt.

Mint már volt szó arról, hogy másik bizonyítást mondani melléérvelés, ám legyen: ebbe is bele álltam, és az imént bemutatott módon visszaalakítottam az ő bizonyításukat a szokásos indirektre.

Arra hívnám fel a figyelmet, hogy elsőként ők alakították át az általam elemzett, leggyakoribb indirekt bizonyítást egy másikra, és én azt csak visszaalakítottam az eredetire. Sőt: valójában azt mutattam ki, hogy az ő bizonyításuk magában foglalja az eredeti bijektíveset. Mekis érvelését ennek tükrében érdemes nézni.

Mekis trükkösen fogalmaz: „Az esetszétválasztás egyik ága az, hogy a bizonyítandó tétel igaz, a másik az, hogy a bizonyítandó tétel hamis.” Persze lehet ezt is mondani, utólag. De a fentiek fényében ez így szólt volna, ha nem kérdezem Mekist (nem kérdeztem): „Az esetszétválasztás b) ága a szokásos bizonyítás szerinti indirekt hipotézis, amit ti megpróbáltatok elrejteni egy átfogalmazással; az a) ág az, ami ezek után marad a tiétekből, de ez tautológia.” Azt pedig állítom, hogy ha egy esetszétválasztás olyan ágakra bontja a gondolatmenetet, amely ágak lefutása eltérő, akkor azt kötelező is megtenni, amint erről már votl szó korábban is.

Mekisnek ez a példája tehát az én gondolatmenetem parafrázisa akarna lenni, amiben ki akarja mutatni annak fonákságát.

De Mekis érvelése cseppet sem analóg az enyémmel, amit most megmutatok.

[1]-hez. Ez nem igaz. Mekis példájában: „tegyük fel, hogy 2+2 /=4. Ez marhaság, hiszen más gondolatmenetből tudjuk, hogy 2+2=4,” Akkor rendben is vagyunk: itt bekövetkezett egy ellentmondás, tehát vége az indirekt bizonyításnak, a 2x2=4 tétel bebizonyíttatott. Mekis példabizonyítása nem elakadt az elején, hanem elkészült.

Ellenben a tankönyvi Cantor-bizonyítás a (*) pontnál elakad, még az előtt, hogy eljutna az eredeti bizonyítás abszurdumáig, a circulus vitiosusig.

[2]-höz. Mekis a „B bijektív” hipotézissel állítja párhuzamba azt a hipotézist, hogy „2x2 /= 4 igaz”, és mivel máshonnan tudjuk, hogy 2x2 /= 4 hamis, ebből szerinte az következik, hogy „ a 4 jelet ellentmondásos tulajdonságokkal rendelkező entitásra használjuk”, ld. [1].

Eszerint a 4 -es szám egy „ellentmondásos tulajdonságokkal rendelkező entitás” lenne csupán csak amiatt, mert szerepel egy hamis állításban? Ez nagyon „vicces”. Bármelyik objektumot szerepeltetni lehet hamis állításban. Akkor semelyik objektum nem létezik?

De nézzük tovább tárgyilagosabban.

Mekis tehát és „T” jellel állítja párhuzamba a „4” jelet.

Nálam adva van a T halmaz deskripciója, és a Diag tételből az következik, hogy a 2) ág esetén nem létezik ezen deskripciót kielégítő T halmaz, azaz „T” egy üres jel.
Ellenben Mekis parafrázis-kísérletében nem látok olyant, ami a 4 szám deskripciója lenne, és olyan bizonyítást sem, aminek a 2) premissza esetén a konklúzió az lenne, hogy a 4-es szám nem létezik, azaz hogy a „4” egy üres jel.

Tehát Mekis érvelésében nincs megfelelője a T deskripciójának, és nincs megfelelője a Diag tételnek se a Tétel_2 -nek. Mekis eme példája tehát nem parafrázisa az én gondolatmenetemnek.

[3] -hez. „mert mire belekezdenénk, elakadunk”. Tévedés: a „belekezdéskor” még nem akadunk el. Legyen a nulladik lépés a 2) hipotézis kimondása: 2x2/=4. Itt még nyilván nem akadunk el, hipotézist kimondani szabad. Ez után az első lépés annak megállapítása, hogy „2+2=4 ellentmond a 2) induló hipotézisének”. Ez a lépés is elvégezhető, ugyanis azt megelőzően nincs olyan állítás, ami valamely, ebben az állításban szereplő változó által jelölt objektum nemlétezését mondaná ki. (Nincs is benne változó.) Második lépés pedig nincs, mert az elsőben már létrejött az ellentmondás, amivel egyúttal cáfoltuk a 2) ág elején lévő hipotézist, és ezzel a tétel bebizonyítottuk. qed
A bizonyítás valóban nem folytatható az első lépés után. De ez sem amiatt van, mintha itt valamiféle értékrés jött volna létre, hanem amiatt, mert már az első lépésben létrejött az ellentmondás, és egy indirekt bizonyításnál pontosan ilyenkor kell kimondni, hogy qed.

Összehasonlításul: Az én cikkemben az van, hogy „A Cantor levezetése elakad a (2) után a (*) pontnál, mivel azon túl egy addigra bizonyítottan nemlétező T objektumra történik hivatkozás.” Tehát a (3) az első olyan pont, amire már nem kerülhet sor, ezáltal nem kerül sor az abszurdumot jelentő circulus vitiosusra a végen. (A (2) deskripcióra még sor kerül, hiszen az előtt a T nemlézetése még nem volt bizonyítva. A T nemlétezése az indirekt hipotézis következménye, ami a Diag. tétel alkalmazásával bizonyított.
Hogy érthető legyen: itt idői sorrend (egymás utáni lépések sora) van. Előbb kimutatjuk, hogy valamely változójelnek nincs jelölete, mert nem elégíti ki a rá vonatkozó követelményt, majd az ezt követő első olyan lépés lesz nem-elvégezhető, melyben ez a változójel szerepel. Az pedig nem járható, hogy utólag visszalépünk a (2) -re és azt mondjuk, hogy már az is értelmetlen. (Aki ilyent mond, az éppen, hogy ő értelmezi félre az indirekt bizonyítás elvét. Valami ilyesmi félreértelmezés lehet MA prüntyögése mögött is. )

Összefoglalás

Zermelo (1908b) a Russell antinómiát úgy „űzi ki” a ZFC-ből, hogy javaslata szerint felmentést kell adni Cantor korlátlan komprehenziós elvének (absztrakciós elv) univerzalitása alól, ld. fent a „Tekintettel a Russell antinómiára,…” kezdetű mondatot. Zermelo ezzel precedenst teremt: a russelli circulus vitiosus megszüntetése érdekében ki kell dobni azt az axiómát, ami kimondja, hogy a {x | x ∉ x} halmaz létezik. Ezt a javaslatát semmi mással nem indokolja, mint azzal, hogy ezáltal megszűnik a Russell antinómia. (Ki hinné?)

Ezt trükkös módon éri el. Azt javasolja, hogy Cantor elvét, miszerint tetszőleges φ tulajdonság esetén létezik a {x | φ(x)} halmaz, le kell cserélni a korlátos axiómasémára, miszerint tetszőleges M halmaz és rajta értelmezett φ tulajdonság esetén létezik a {x | x∈M & φ(x)} halmaz. Ezzel ”végtelen sok” olyan axióma, melyek Cantor elméletében érvényesek, a ZFC-ben már nem lesz érvényes, miáltal megszűnik az azoknak megfelelő halmaz „újként való definálásának” (ezek Zermelo szavai) lehetősége, így azok létezése nincs biztosítva. A trükk egyszerű: a kidobott axiómák között lesz az is, ami szerint a {x | x ∉ x} halmaz létezik. (Miét nem csak ezt dobja ki? A többiek mit vétettek? Erre Zermelo nem ad választ, a kérdést fel se veti, azóta se senki más.)

(a) Legyen R(x,y):= (x∈y). Alkalmazva a Diag tételt, kapjuk, hogy a D:={x | ¬ (x∈x)} átlóhalmaz nem létezik. Cantor naiv halmazelméletében sem létezik. Ez Zermelo szerint jó ok a korlátlan axiómaséma alóli említett felmentésre e konkrét esetben.

(b) Legyen M tetszőleges halmaz, és tegyük fel, hogy létezik bijektív B: M → 2^M  leképezés.
Legyen R(x,y):= (B^-1(x) ∈ y). Alkalmazva a Diag tételt, kapjuk, hogy a T:= {x | x ∈ M & ¬ (B^-1(x)∈x)} átlóhalmaz nem létezik. Cantor naív halmazelméletében sem létezik, hiszen a korlátlan axiómaséma magában foglalja a korlátosat. Ez jó ok a korlátlan axiómaséma alóli felmentésre e konkrét esetben.

Mi a különbség (a) és (b) között?

Az (a) esetben Zermelo – az említett kerülő trükk alkalmazásával – kidobta a ZFC -ből azt az axiómát, mely szerint a russelli átlóhalmaz létezik.

A (b) esetben Zermelo benne hagyta a ZFC-ben azt az axiómát, mely szerint a Cantor bizonyításban szereplő T átlóhalmaz létezik.

Mindkét esetben bizonyított, hogy az abban szereplő átlóhalmaz nem létezik. Az (a) egy precedens a korlátlan komprehenziós elv alóli felmentésre. Akkor a (b) esetben miért nem ezt követi Zermelo?

ZFC = Célhoz igazított játék az axiómákkal.

Végül A fentiekből az derül ki, hogy a Cantor bizonyítás az eredeti módon - akár a naivban, akár a ZFC-ben vagyunk - csak akkor végezhető el, ha igaznak fogadjuk el a leválasztási axiómasémának azt a partikuláris esetét, miszerint

diagAX Tetszőleges bijektív B: M → 2^M leképezés esetén létezik az a T∈2^M halmaz, mely kielégíti a

(2’) ∀x∈M [x∈T ⟺ ¬ x∈B(x)]

követelményt.

Mivel a Cnator elmélet nem axiomatikus, ezt abban hivatkozási alapnal, ”szemi-axiómának” lehet tekonmtnei, a ZFC-ben axiómának van elfogaddva.

MA is elismeri: „H_f (=T) létezése az indirekt feltevésből (bijektív f függvény létezéséből) plusz (a naiv halmazelméletben [és a ZFC-ben]) a komprehenzió elvéből következik ” Ezzel MA kimondta a diagAX -ot, azt, hogy az a naív elméletben hivatkozási alap a T halmaz létezésére. A tankönyvi bizonyítás (a naiv elméletben) a diagAX igazként való elfogadására alapoz, pontosan ahogy MA is mondja.

Nyilvánvaló, hogy ha a szerzők a naivban a diagAX -ot nem fogadnánk el igaznak, akkor nem tudnák elvégezni a tankönyvi bizonyítást. Ráadásul a fentebb felsorolt tankönyvi és egyéb bizonyításokra jellemző, hogy amikor a most „T”-vel jelölt átlóhalmazt „definiálják”, a szerzők explicite sosem hivatkoznak a diagAX -ra, ami azt mutatja, hogy nyilvánvaló trivialitásnak tekintik a T halmaz létezését; bijektív B esetén is! De emögött továbbra is a diagAX áll.

A Tétel_2 - függetlenül attól, hogy a naívban vagy a ZFC-ben vagyunk - pontosan azt mondja ki, hogy a diagAX állítás hamis. De a diagAX Zermelo rendszerében igaz axiómának van elfogadva, és ez fel is van használva a Cantor-bizonyításban. Tehát a Cantor bizonyítás (akkor és) csak akkor végezhető el Zermelo axiómarendszerében, ha azt ellentmondásosnak fogadjuk el, ami nonszensz.

Kell ennél több?

És persze Cantor naív halmazelmélete is ellentmondásos lenne, ha ragaszkodnánk benne a diagAX igaz voltához. De ott már volt precedens a Cantori korlátlan komprehenziós elv szűkítésére, éppen a Russell antinómia megszüntetése érdekében: így keletkezett a korlátos axiómaséma. Ugyanilyen elvi ok alapján egy ilyen lépés most is indokolt: az imént kimutatott ellentmondás megszüntetése érdekében a korlátos komprehenziós sémát tovább kell szűkíteni úgy, hogy a diagAX se maradjon meg.

Az önhivatkozást kell kiűzni, bármilyen formában is jelenik az meg, máskülönben a bármely axiómarendszer ellentmondásos lesz. Maga az inverz önhivatkozó tulajdonságdefiníció képviseli az ellentmondást.(tulajdonságdefiníció = kielégíthetőnek elfogadott tulajdonság-deskripció.)

Ha elfogadjuk, hogy önhivatkozó (akár inverz, akár direkt) „tulajdonság-definícióra” nem lehet érvelést alapozni – márpedig az előzőekben szándékom szerint ezt mutattam meg - akkor mihelyt feltételezzük, hogy a B: M → 2^M bijektív, a Cantor bizonyítás nem végezhető el, hiszen ekkor, éppen e hipotézisből adódóan, a [¬x∈B(x)] egy (inverz!) önhivatkozó tulajdonságot ír le, azaz ez nem tekinthető definit tulajdonságnak. Amely axióma érvénytelen tulajdonságon alapul, arra nem lehet érvelést alapozni. Tehát a diagAX axióma érvénytelen.

Ez megfelel Russel álláspontjának, aki filozófiai alapon amellett érvel, hogy (x∈x) kifejezés nem tekinthető definitnek a benne lévő önhivatkozás miatt. Russell szerint ez a kifejezés egyszerűen értelmetlen - és akkor nyilván értelmetlen a tagadása, (x∉x) is.

„...a statement which appears to be about a class will only be significant if it is capable of translation into a form in which no mention is made of the class. … a sentence or set of symbols in which such pseudo-names occur in wrong ways is not false, but strictly devoid of meaning. The supposition that a class is, or that it is not, a member of itself is meaningless in just this way.” (Russell, 1920, p136)

A magam részéről ezt a szöveget csak akkor tudom értelmezni, ha a „statement” kifejezés helyébe „description” -t teszek: egy osztály deskripciója nem hivatkozhat magára az osztályra, rejtetten sem. Desckripció: R:=az összes halmazok tartományába tartozó azon halmazok halmaza, melyek nem elemei önmaguknak.(Figyelem! Ez az R halmaz most nem azonos a korábban R -rel jelölt relációval!) Russell vélhetően a „:=” utáni rész-mondatról beszél. Az maga a deskripció, a „:=” előtt pedig a neve van annak, amit leírtunk.) A descripció-mondat rejtetten hivatkozik magára az R Russell halmazra, hiszen (ha az létezik) az is tagja az összes halmazok tartományának.
Ha az (x∈x) definit tulajdonság lenne, az azt jelentené, hogy bármely halmazról el kellene tudni dönteni, hogy tartalmazza-e elemként önmagát vagy sem, hiszen az ennek függvényében lesz eleme vagy sem az R halmaznak. De az R halmaz esetén ez nem lehetséges, hiszen a Russell antinómia lényege, hogy az R halmazól nem eldönthető, hogy (R∈R) vagy sem. Tehát, ha feltételezzük, hogy az R halmaz létezik, akkor (x∈x) nem definit, akkor pedig nincs alapja az R halmaz létezésének. Ugyanez a gondolatmenet elvégezhető bijektív B feltételezésekor a (x∈B(x)) -re is és akkor kiderül, hogy (x∈B(x)) nem definit, így nincs alapja a T átlóhalmaz létezésének, tehát a tankönyvi Cantor-bizonyítás nem végezhető el.

Én azt gondolom, hogy a Russell antinómia filozófiai alapon történő feloldásához nem szükséges Russell típuselmélete: ehhez elég az előző gondolatsor és a matematikai elemzésem. De ezt talán majd máskor részletezem...

A fentiekben azt mutattam meg matematikai gondolatmenetekkel, hogy ez a russelli gondolat bijektív B feltételezése esetén a [¬x∈B(x)] formulára is vonatkozik: bijektív B feltételezésekor a [¬x∈B(x)] tulajdonság-deskripció értelmetlen, nem definit. Így az a kérdés fel sem vethető, hogy létezik-e az a T halmaz, melyre [¬T∈B(T)] igaz, ezáltal a tankönyvi Cantor-bizonyítást nem lehet elvégezni.

Utolsó módosítás: 2026-01-03

Geier János

Ennek a lapnak Ön a . látogatója 2025.december 15. óta.