A kerekterfelismerést  a FineReader -rel (annak demo verziójával) végeztettem. (Saját tapasztalatom szerint ez a jelenlegi legjobb és legszebben kidolgozott OCR program.) Ennek ellenére keletkeztek sajtóhibák, hiszen az eredeti jegyzet mechanikus írógéppel íródott, és stenciles módszerrel sokszorosították, a betűk pl. sok helyen "betömődek". Néhány hibát kijavítottam, de a maradékokról szívesen veszem a visszajelzést: Mail

2001. április 29-30.

• Russell V1: Az összes dolgok halmazának...
• Russell V2: A nem tartalmazkodó halmazok halmazának... 
• Russell V3: Az összes halmazok halmazának...
• Russell V4: A Russell-féle antinómia egyéb alakjai
• Burali-Forti V1: Az összes számosságok halmazának...
• Burali-Forti V2: Az összes rendszámok halmazának...
• Richard paradoxon V1:(Kalmár szerint az eredeti Richard-féle verzió)
• Richard paradoxon V2:(Kalmár szerint Kőnig Gyula-féle verzió)
• Richard paradoxon "magyarázata" a dialektikus materializmus szempontjából

Mellesleg: a dialektikus materializmus "felsőbbrendűségének" dicsérete.

• Ezt érdemes megnézni …
• és ezt is …
• no meg ezt is …
• Itt pedig az önigazolás
  (ahová ugrik, az mindig a lap legtetejére kerül!)

2. A nem tartalmazkodó halmazok halmazának antinómiája. Ha egy matematikai tételt bebizonyítunk, később azonban ellenpéldát találunk rá, akkor első gondolatunk az, hogy a bizonyításban valami hiba van. E hiba megkeresésére végiggondoljuk a bizonyítást az ellenpélda speciális esetén, hogy lássuk, mi az, ami igaz marad ebben az esetben a bizonyításból és mi az, ami nem, ami tehát általánosan sem lehet helyes.

átgondoljuk, amikor H az összes dolgok halmaza, akkor arra a meglepő eredményre jutunk, hogy nincs hiba a bizonyításban, hanem már a bizonyítás egy részlete is két egymásnak ellentmondó eredményre vezet.

Legyen tehát az 57. oldalon adott bizonyításban H az összes dolgok halmaza, H' pedig az összes halmazok halmaza, amely egyrészt részhalmaza H-nak, másrészt azonos H hatványhalmazával, tehát kölcsönösen egyértelműen leképezhető rá, ha bármely h elemének, vagyis bármely halmaznak, önmagát feleltetjük meg. Az 57. oldalon F_h-val jelöltük H-nak azt a részhalmazát, amely H' valamely h elemének megfelel; esetünkben tehát F_h = h. Ennélfogva a G halmaz, amelyet az 57. oldalon ügy definiáltunk, mint a H' halmaz azon x elemeinek halmazát, amelyekre x Î F_h, esetünkben mindazon x halmazok halmaza, amelyekre x Ď x, vagyis amelyek nem tartalmazzák önmagukat elemük gyanánt.

A legtöbb halmaz ilyen. Pl. ha x a természetes számok halmaza, akkor x Ď x, hiszen x maga nem természetes szám, hanem halmaz és így nem tartozik a természetes számok halmazába. Definiálható azonban olyan x halmaz is, amelyre x Î x, pl. az összes halmazok halmaza. Ennek minden halmaz eleme és ő maga is halmaz, tehát definíciója szerint ő maga is közé tartozik a saját elemei közé.

Azokat a x halmazokat, amelyekre x Î x, vagyis, amelyek önmagukat tartalmazzák, a "tartalmaz" igéből képzett visszaható igével úgy nevezhetjük, hogy tartalmazkodó halmazok; tehát azok a halmazok, amelyekre x Ď x, a nem tartalmazkodó halmazok. Eszerint G a nem tartalmazkodó halmazok halmaza.

Az 57. oldal meggondolása G definíciója után így folytatódik. G részhalmaza H-nak; esetünkben ez triviális, hiszen H halmaz és H-nak minden halmaz részhalmaza. Mégsem felelhet meg a G halmaz a H^' halmaz egyetlen h elemének sem- folytatódik a meggondolás az 57. oldalon. Mert különben H azonos volna F_h -val, tehát esetünkben h-val. Márpedig, ha h Î F_h, vagyis esetünkben h Î h, akkor a definíció szerint h Ď G (mert G-nek csak az olyan x halmazok elemei, amelyekre x Ď x, márpedig h Î h miatt h nem ilyen halmaz), tehát F_h = h -nak van olyan eleme, ti. h, amely G-nek nem eleme. Ha pedig h Ď F_h, vagyis esetünkben h Ď h, akkor a definíció szerint h Î G (mert G-nek mindazok az x halmazok elemei, melyekre x Ď x, márpedig h Ď h miatt h is ilyen halmaz),

Az előző két bekezdésben tehát két egymásnak ellentmondó tételt bizonyítottunk be, egyrészt azt, hogy nincs H'-nek olyan eleme, amelynek G felel meg az említett leképezésnél, másrészt, hogy van H'-nek ilyen eleme, ti. G. Még mindig arra gondolhatunk, hogy a bizonyítás első fele hibás (másik feléről nyilvánvaló, hogy nem hibás, mert ha H minden elemének önmaga felel meg, akkor G-nek is önmaga felel meg); tehát megpróbálhatunk még egy lépéssel továbbmenni, a bizonyítás első felét abban az esetben átgondolni, amikor h = G.

Eszerint tehát, ha G Î G, vagyis G tartalmazkodó halmaz, akkor G definíciója szerint G Ď G, mert G elemei között egyetlen egy tartalmazkodó halmaz sem szerepelhet. Vagyis az a feltevés, hogy G Î G, ellentmondásra vezet; tehát G Î G nem állhat, vagyis G Ď G áll. De ez azt jelenti, hogy G nem tartalmazkodó halmaz, tehát G definíciója szerint G Î G, mert G-nek minden tartalmazkodó halmaz eleme. Az adódik tehát, hogy mégis G Î G, holott az előbb bebizonyítottuk, hogy G Ď G; így tehát ellentmondásra jutunk. Vagyis, bár hibát nem találtunk a bizonyításban, sikerült azt a tényt, hogy két egymásnak ellentmondó tételt bizonyítottunk be, a bizonyítás egy apró részletére koncentrálni, mintegy kikristályosítani belőle az ellentmondást.

Ezt az ellentmondást felfedezőjéről Russell-féle antinómiának nevezzük. Ez tehát ügy jön létre, hogy a nem tartalmazkodó halmazok G összességét tekintjük és felvetjük azt a kérdést, vajon maga G tartalmazkodó halmaz-e vagy sem. Ha azt tesszük fel, hogy igen, akkor az derül ki, hogy nem (mert G elemei között egyetlen egy tartalmazkodó halmaz sem fordulhat elő és így, ha G tartalmazkodó halmaz, akkor G sem fordulhat elő elemei között, vagyis mégsem tartalmazkodó halmaz), így G nem lehet tartalmazkodó halmaz. De akkor G előfordul a saját elemei között (mert G elemei között minden nem tartalmazkodó halmaz előfordul és így, ha G nem tartalmazkodó halmaz, akkor ő maga is előfordul G elemei között), vagyis G mégis tartalmazkodó halmaz, ellentétben azzal, amit épp az előbb bizonyítottunk be, ti. hogy G nem tartalmazkodó halmaz.

A RUSSELL-féle antinómia ebben a formában elmondva kuriózumnak hat; senkinek sem jutna eszébe éppen az összes nem tartalmazkodó halmaz halmazát képezni. Láttuk azonban, hogy ez az antinómia természetesen adódik, ha a valós számok halmazának meg nem számolhatósága CANTOR-féle bizonyításában szereplő átlós módszer általánosításával bebizonyítjuk, hogy egyetlen halmaz hatványhalmaza sem lehet magával a halmazzal, vagy valamely részhalmazával ekvivalens és ezt a bizonyítást az összes dolgok halmazára alkalmazzuk, amikor a bebizonyított tétel nem érvényes. (RUSSSLL maga nem árulta el, hogy így jött rá a róla elnevezett antinómiára, pedig valószínű, hogy így Jött rá. A RUSSELL-féle antinómia fenti "kikristályositási módját" annak a tételnek bizonyításából, hogy minden halmaznál van nagyobb számosságú halmaz és az e tételre adott ellenpéldából, először KÖNIG DÉNES írta le.)

A RUSSELL-féle antinómiát más alakban is el lehet mondani, úgy ti., hogy az "Î" reláció helyére más relációkat teszünk. Lényeges azonban hozzá, hogy legyen olyan G fogalom, amely akkor és csak akkor áll valamely x-szel a kérdéses relációban, ha x maga nem áll ugyanebben a relációban önmagával. Ilyen átalakított fogalmazása a RUSSELL-féle antinómiának a következő: nevezzünk egy melléknevet predikábilisnek, ha ő neki magának is megvan az a tulajdonsága, amit kifejez. Pl. ez a melléknév: "négyszótagú", predikábilis, mert maga is négyszótagú szó. A "háromszótagú" melléknév példa nem predikábilis melléknévre, mert hiszen ő maga nem háromszótagú, hanem ötszótagú szó. Nevezzük a nem predikábilis mellékneveket. Egy melléknév tehát akkor és csak akkor impredikábilis, ha nincs meg az a tulajdonsága, amit kifejez.

Már most annak megfelelően, hogy a RUSSELL-féle antinómiához úgy jutottunk, hogy azt a kérdést vetettük fel, eleme-e a nem tartalmazkodó halmazok halmaza önmagának, vessük fel azt a kérdést, predikábilis-e, vagy impredikábilis-e az "impredikábilis" melléknév. Ha azt tesszük fel, hogy predikábilis, vagyis, hogy bír azzal a tulajdonsággal, amit kifejez, akkor az derül ki, hogy ő maga impredikábilis, mert ezt a tulajdonságot fejezi ki. Tehát feltevésünk lehetetlenségre vezetett, hiszen, ha egy melléknév predikábilis, akkor nem lehet impredikábilis. Igy tehát feltevésünk helytelen: az "impredikábilis" melléknév nem lehet predikábilis, és így impredikábilisnak kell lennie. Ez azonban azt mu-

tatja, hogy az "impredikálbilis" melléknév bír azzal a tulajdonsággal, amit kifejez (hiszen ő maga az impredikábilitás tulajdonságát fejezi ki); tehát predikábilis. Ezzel azonban ellentmondásra jutottunk azzal az előbb bebizonyított ténnyel szemben, hogy az "impredikábilis" melléknév nem lehet predikábilis.

A RUSSELL-féle antinómiának ez a megfogalmazása annyiban tetszetős, hogy még a halmaz fogalmára sincs hozzá szükség, tehát azok is megérthetik, akik halmazról még nem hallottak. Viszont az a hátránya, hogy a "predikábilis" melléknév értelme nincs pontosan definiálva, hiszen a melléknevek között vannak olyanok, amelyek által kifejezett tulajdonság nem olyan precízen definiált valami, mint pl. az, hogy hány szótagú egy szó, hanem vitatkozni lehet a-felett, hogy valamely tárgynak megvan-e a kérdéses tulajdonsága és így arról is, hogy a kérdéses melléknévnek magának megvan-e az általa kifejezett tulajdonsága. Pl. az, hogy a "szép" melléknév szép-e vagy nem, ízlés kérdése.

Még inkább áll ez a RUSSELL-féle antinómiának arra a még népszerűbb, tréfás alakjára, amely a falu borbélyát ügy definiálja, hogy az az a férfi a faluban, aki azokat és csak azokat a férfiakat borotválja a falu lakosai közül, akik nem borotválkoznak maguk. Ha feltesszük, hogy a falu borbélya maga borotválkozik, akkor ebből a definícióból az derül ki, hogy mégsem borotválkozik maga, mert azokat, akik magok borotválkoznak, nem ő borotválja. Ez azonban azt jelenti, hogy feltevésünk - ti., hogy a falu borbélya, tehát egy olyan ember, aki nem borotvál meg olyan embert, aki maga borotválkozik, maga borotválkozzék - lehetetlen, így az derül ki a falu borbélya fenti definíciójából, hogy a falu borbélya maga nem borotválkozhatik. Ha azonban ő maga nem borotválkozik, akkor a definícióból az derül ki, hogy mégis csak maga borotválkozik, mert azokat, akik maguk nem borotválkoznak, S borotválja; tehát ellentmondásra jutottunk a falu borbélya definíciójának azon következménye ellen, hogy a falu borbélya maga nem borotválkozik. Ennek a fogalmazásnak nagy hátránya az, hogy tulajdonképpen nem ellentmondás jött ki, hanem csak az derült ki, hogy a kérdéses definíció hibás. Definiálás közben ti. a falu összes többi lakosaira gondoltunk, csak magára a falusi borbélyra nem.

3. Az összes halmazok halmazának antinómiája. A RUSSELL-féle antinómiának több különböző fogalmazása van azonban magán a hal-

Ugyanúgy, ahogy az összes dolgok halmazának antinómiájából mintegy kikristályosítottuk az összes nem tartalmazkodó halmazok halmazának antinómiáját, a tulajdonképpeni RUSSELL-féle antinómiát, ugyanúgy az összes halmazok halmazának az előző bekezdésben vázolt antinómiájából is kikristályosithatunk egy közvetlenebb ellentmondást. Ily módon a következő antinómiához jutunk. Tekintsük mindazon halmazosztályok Q összességét, amelyek nem fordulnak elő elemeik között, röviden, a nem tartalmazkodó halmazosztályok összességét. A Q-nak tehát azok és csak azok a halmazosztályok elemei, amelyek saját elemeik között nem fordulnak elő. Az így definiált Q halmaz nyilvánvalóan halmazosztály, hiszen elemei bizonyos halmazosztályok, tehát mindenesetre halmazok. Ha már most feltesszük, hogy Q Î Q, vagyis, hogy Q olyan halmazosztály, amely előfordul a saját elemei között, akkor ebből az következik, hogy Q nem fordulhat elő a saját elemei között, mert hiszen Q elemei között csak olyan halmazosztályok fordulnak elő, amelyek nem tartalmazkodóak, Q pedig a feltevés szerint tartalmazkodó. Ennélfogva az a feltevés, hogy Q Î Q, ellentmondásra vezetett, így tehát Q nem le-

hat eleme önmagának. Ha azonban Q Ď Q, akkor Q nem tartalmazkodó halmazosztály, tehát előfordul Q elemei között, hiszen ezek között minden olyan halmazosztály előfordul, amely nem tartalmazkodó; vagyis Q Î Q. így tehát ellentmondásra jutottunk azzal az előbb bebizonyított ténnyel szemben, hogy Q Ď Q.

4. A Russell-féle antinómia egyéb alakjai. Ezen a módon végtelen sok különböző, a RUSSELL -féle antinómiához hasonló antinómiát kaphatunk. Valóban, nevezzük a halmazokat másképp elsőosztályú halmazoknak is, a halmazosztályokat másodosztályú halmazoknak is, stb.; ha már az n-edosztályú halmaz fogalma definiálva van, akkor nevezzünk n+1-edosztályú halmaznak minden olyan halmazt, amelynek elemei mind n-edosztályú halmazok, így az n-edosztályú halmaz fogalma bármely pozitív egész n-re definiálva van. E definíció értelmében minden n-edosztályú halmaz egyúttal minden m<n esetén m-edosztályú halmaz is. Pl. minden másodosztályú halmaz, azaz minden halmazosztály, egyúttal elsőosztályú halmaz is, vagyis halmaz. Állításunk tehát igaz, ha n = 2 (ekkor m < n csak úgy lehet, ha m = 1); és ha valamely m-re igaz, vagyis ha minden n-edosztályú halmaz egyúttal m-edosztályú is, valahányszor m < n, akkor ugyanez igaz n+l-re is. Valóban, legyen m<n+1. Akkor vagy m=l, és így állításunk nyilvánvaló, hiszen az n+l-ed osztályú halmazok természetesen halmazok, tehát elsőosztályú halmazok is; vagy pedig m > l és akkor 0 < m-l < n, tehát minden n-edosztályú halmaz a feltevés szerint m-1-edosztályú és így minden n+1-edosztályú halmaz, mint n-edosztályú halmazoknak, tehát egyúttal m-l-edosztályú halmazoknak összessége, n-edosztályú halmaz.

Legyen már most Q_n az n-edosztályú nem tartalmazkodó halmazok összessége. Minthogy Q_n elemei n-edosztályú halmazok, ezért Q_n n+1-edosztályú halmaz, és így egyúttal n-edosztályú halmaz is. Ha feltesszük, hogy Q_n Î Q_n , akkor ellentmondásra jutunk, mert hiszen akkor Q_n tartalmazkodó n-edosztályú halmaz, és így nem szerepelhet Q_n elemei között, mert Q_n elemei mind olyan n-edosztályú halmazok, amelyek nem tartalmazkodóak. Eszerint Q_n Î Q_n lehetetlen, vagyis Q_n Ď Q_n áll. Más szóval Q_n nem tartalmazkodó n-edosztályú halmaz, és így Q_n definíciója szerint mégis csak előfordul Q_n elemei között, vagyis mégis csak Q_n Î Q_n. Így tehát megint ellentmondásra jutottunk.

merítik ki a RUSSELL-fále antinómia összes különböző alakjait. Tekintsük pl. az összes olyan halmazpárokat, amelyek kölcsönösen elemei egymásnak. Ilyen párt alkotnak pl. az összes dolgok halmaza és az összes halmazok halmaza. Valóban, az összes dolgok halmaza halmaz, tehát előfordul az összes halmazok halmazának elemei között; másrészt az összes halmazok halmaza, mint egyáltalában minden dolog, előfordul az összes dolgok halmazának elemei között. Azonban természetesen nem minden halmaznak van ilyen értelemben párja, vagyis nem minden á halmazhoz van olyan B halmaz, hogy A € B és B € A. Pl. ha az A a természetes számok halmaza, akkor B € A csak ügy állhat, ha B természetes szám; ekkor viszont A € B nem állhat.

Jelölje már most B mindazon A halmazok összességét, amelyekhez nincs olyan B halmaz, hogy egyidejűleg A Î B és B Î A. Jelentse továbbá K a {H} halmazt. Akkor H Î K mindenesetre áll. Ha feltesszük, hogy viszont K Î H is áll, akkor a K halmazhoz van olyan halmaz, ti. H, amellyel kölcsönösen elemei egymásnak és így akkor K mégsem fordulhat elő H elemei között, mert hiszen H elemei az olyan halmazok, amelyekhez nincs olyan halmaz, amellyel kölcsönösen elemei egymásnak. Vagyis az a feltevés, hogy K Î H, ellentmondásra vezet és így K Ď H. De akkor K-hoz nincs olyan halmaz, amellyel kölcsönösen elemei volnának egymásnak. Mert ha L ilyen halmaz volna, vagyis K Î L és L Î K volna, akkor L = H kellene, hogy legyen, mert hiszen K-nak nincs más eleme, mint H. Azonban L = H nem lehetséges, mert, mint bebizonyítottuk, K Ď H. Így tehát a K halmazhoz nincs olyan halmaz, amellyel kölcsönösen elemei volnának egymásnak, és így K mégis csak közétartozik H elemel közé, hiszen H-nak eleme minden olyan halmaz, amelyhez nincs olyan halmaz, amellyel kölcsönösen elemei volnának egymásnak, így tehát ellentmondásra jutottunk azzal az imént bebizonyított tétellel szemben, hogy K Ď H.

lyik nagyobb nála. Ennél azonban erősebb tételt is bebizonyítottunk: azt, hogy valahányszor H olyan halmaz, amelynek elemei számosságok, akkor van olyan számosság, amely H bármely eleménél nagyobb (I. rész, II. fejezet, 2.§., 3.pont, 58-59.oldal). Minthogy ez a tétel még erősebb állítást mond ki, mint az, hogy minden számosságnál van nagyobb számosság, ezért várható, hogy erre szintén tudunk ellenpéldát konstruálni. Evégett válasszuk H gyanánt az összes számosságok halmazát. Akkor biztosan nincs olyan számosság, amely nagyobb H bármely eleménél. Mert ha f ilyen számosság volna, akkor f -nak f -nál is nagyobbnak kell lennie, hiszen f is eleme H-nak, mert H-nak minden számosság eleme; már pedig egy számosság sem lehet nagyobb önmagánál.

2. Az összes rendszámok halmazának antinómiája. Hasonlóan ellentmondásra vezet az összes rendszámok R halmaza is. Ez az R halmaz jólrendezett, ha két eleme közül azt nevezzük előbbinek, amely kisebb rendszám, mert hiszen elemei rendszámok és, mint láttuk (II. rész, II. fejezet, 3.§., 4.pont, 131.oldal), minden olyan halmaz, amelynek elemei rendszámok, jólrendezett halmaz. Ennélfogva R rendtípusa, amit jelöljünk r-val, rendszám. De akkor r előfordul R elemei között, hiszen R-nek minden rendszám eleme. Azok a rendszámok, amelyek kisebbek r-nál, az R halmaz valódi szeletét alkotják; szeletét, mert ha egy rendszám kisebb r-nál, akkor minden nálánál kisebb rendszám is kisebb r-nál és valódi szeletét, mert a r maga nem tartozik a r-nál kisebb rendszámok halmazába, de az R halmazba beletartozik. Már most azonban, mint tudjuk, a r-nál kisebb rendszámok nagyság szerint rendezett halmazának rendtípusa ugyancsak r és így R-nek volna olyan valódi szelete, amelynek ugyanaz a rendtípusa, mint R-nek magának, ami, mint tudjuk, lehetetlen. Ezt az antinómiát felfedezőjéről BURALI-FORTI-féle antinómiának nevezzük.

A BURALI-FORTI-féle antinómiának is lehet különböző alakot adni. Így pl. könnyen látható, hogy az összes kezdőszámok halmaza is ellentmondásra vezet. Ezekkel a különböző alakjaival azonban nem foglalkozunk.

1. A legkisebb, bizonyos számú írásjellel nem definiálható természetes szám antinómiája. Az eddig említett antinómiák mind a "nagyon nagy" halmazok körében játszódnak le. Ezzel szemben már a legegyszerűbb végtelen, megszámlálható halmazon, a természetes számok halmazán belül is lép fel antinómia. Ilyen antinómiához a következő módon jutunk. Tekintsük azokat a magyar nyelven (pl. írógépen) leírt mondatokat, amelyek valamely természetes számot egyértelműen definiálnak. Ilyen mondat pl. a következő: "a legkisebb olyan pozitív egész szám, amely nem bontható fel három négyzetszám összegére"; ez a mondat egyértelműen definiálja a 7-et. Minden ilyen mondathoz határozzuk meg a leíráshoz szükséges írásjelek számát, beleértve a kis- és nagybetűket, pontot, vesszőt és egyéb írásjeleket és a hézagot is. Ezeknek az írásjeleknek száma tehát azon billentések száma, amely ahhoz szükséges, hogy a kérdéses mondatot írógépen leírjuk.

Tekintsük már most azokat a, valamely természetes számot egyértelműen definiáló, magyarnyelvű mondatokat, amelyeknek leírásához legfeljebb 100 írásjel szükséges. Ezek valamennyien felírhatok pontosan 100 írásjellel is, ha a mondat végére annyi hézagot teszünk, mint ahány írásjel még hiányzik a 100-ból. Ilyen mondat csak véges számú lehet. Ugyanis a legmodernebb írógépeken is csak 46 billentyű van; mindegyik kétféle jelet üthet le (váltóval és a-nélkűl), a hézaggal együtt ez 93 jel. Így egy 100 írásjelből álló szöveg első jelét 93 féleképpen választhatjuk; bárhogyan választjuk az első írásjelet, 93 eset van a második írásjel választása szempontjából) bárhogyan választjuk az első két írásjelet, ismét 93 aleset lehetséges, aszerint, hogy a harmadik írásjelet hogyan választjuk, stb. így 100 írásjelből álló szöveget, beleértve az értelmetlen szövegeket, továbbá az olyan szövegeket, amelyek nem definiálnak semmiféle természetes számot, összesen 93¹⁰⁰ -féleképpen lehet készíteni.

Már most rendeljük hozzá minden olyan 100 írásjelből álló magyar szöveghez, amely egyértelműen definiál valamely természetes számot, éppen azt a természetes számot, amelyet definiál. Megeshetik, hogy két különböző szöveghez ugyanaz az általuk definiált természetes szám tartozik, pl. "a negyedik prímszám" szintén a 7-et

definiálja. Mindenesetre csak véges számú olyan természetes szám lehet, amely magyar nyelven valamely 100 írásjelből álló szöveggel definiálható, ti. legfeljebb annyi, ahány ilyen szöveg lehetséges (valójában sokkal kevesebb). Ennél fogva vannak olyan természetes számok is, amelyek nem definiálhatók 100 írásjellel, hiszen a természetes számok halmaza végtelen. Tekintsük már most azon természetes számok közül, amelyek nem definiálhatok 100 írásjellel, a legkisebbiket. Ez tehát a 100 írásjellel nem definiálható természetes számok halmazának eleme, és így maga sem definiálható 100 írásjelből álló magyar szöveggel. Másrészt azonban be lehet bizonyítani, hogy mégis csak definiálható 100 írásjellel. Ugyanis a következő mondat éppen ezt a természetes számot definiálja egyértelműen: A legkisebb, magyar nyelven száz írásjellel (a hézagot beleértve} nem definiálható természetes szám. Ha megszámláljuk e mondat írásjeleinek számát, kiderül, hogy véletlenül éppen 100 írásjelből áll. De ha véletlenül 101 írásjelből állna, akkor el lehetne ugyanezt mondani 100 helyett 1000 írásjelről beszélve, a definíció akkor sem lenne hosszabb, (mert "ezer" éppen ügy négy betűből áll, mint "száz") és az nyilvánvaló, hogy az így keletkezett mondat ezernél kevesebb írásjelből áll. Ezt az antinómiát felfedezőjéről RICHARD-féle antinómiának nevezzük.

2. A véges számú jellel nem definiálható valós számok antinómiája. Hasonló antinómiához jutott Richard-ral egy időben KŐNIG GYULA. Ő azonban a természetes számok helyett a valós számokat tekintette. Minthogy magyar nyelvű szöveg összesen megszámlálhatóan végtelen sok lehetséges (mert minden ilyen szöveg olyan véges sorozat, amelynek minden eleme a 93 írásjel egyike), így legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmazt alkotnak azok a magyar nyelvű szövegek, amelyek valamely valós számot egyértelműen definiálnak. Másrészt az összes valós számok halmaza nem megszámlálható, így tehát vannak magyar nyelven semmilyen szöveggel nem definiálható valós számok. Ilyen valós számhoz juthatunk az átlós módszer segítségével, ha a magyar nyelven definiálható valós számok közül csak azokat tekintjük, amelyek 0 és l között vannak, mindegyiket végtelen tizedes tört alakjában írjuk (nem engedve meg olyan tizedes törteket, amelyekben csak véges számú 9-től különböző számjegy szerepel), ezeket felírjuk egymás alá, ügy, ahogy definícióik valamely megszámlálásának sorrendjében következnek, le-

írjuk az átlóban álló számjegyeket, mindegyiket megváltoztatjuk, vigyázva, hogy végtelen sok 9-től különböző legyen a megváltozott számjegyek között ás a kapott számjegysorozat elé 0 egészet írunk. Természetesen ahhoz, hogy az így keletkező valós szám egyértelműen meg legyen határozva, pontosan meg kell azt is mondanunk, hogy hogyan számláljuk meg azokat a magyar nyelvű mondatokat, amelyek valamely valós számot egyértelműen definiálnak és azt is, hogy az átlóban álló számjegyeket hogyan változtatjuk meg. Azonban annak sincs semmi akadálya, hogy ezeket is megadjuk; pl. külön megszámláljuk az egybetűs, a kétbetűs, a hárombetűs, stb. szövegeket, mindegyiket lexikografikus sorrendben, tehát ügy, ahogy a szótárban következnének egymásután. Mindegyikből, mint az előző pontban a 100 betűs szövegek esetén láttuk, csak véges számú van; végül az így keletkezett véges sorozatokat egymás után írjuk. Természetesen ez esetben mindenféle szöveg szerepel köztük, olyan is, a-mely nem magyar nyelven van, olyan is, amely értelmetlen, olyan is, amely nem definiál valós számot (pl. vers, közmondás) ezeket azonban utólag elhagyhatjuk közülük. Az átlókban álló számjegyek megváltoztatására pedig alkalmazzuk a következő eljárást: ha a megváltoztatandó számjegy nem 8 vagy 9, akkor növeljük 1-gyel, ha pedig 8 vagy 9, akkor csökkentjük 1-gyel. Ily módon tehát egy teljesen meghatározott valós számot kapunk, amely nem szerepel a véges számú írásjellel magyar nyelven definiálható valós számok között. Azonban az a szöveg, amelyet éppen most mondtam el, mégis csak ennek a valós számnak egyértelmű definícióját adja, legfeljebb ezt kell még elé tennünk: "A következőképpen keletkező valós szám." így tehát egyrészt azt is bebizonyítottuk, hogy ez a valós szám nem definiálható véges számú írásjellel magyar nyelven, másrészt azt is, hogy definiálható ily módon.

1. Ellentmondások a matematika fejlődésének különböző szakaszaiban. A halmazelmélet antinómiái így magukban kuriózumnak hatnak. Valójában azonban komoly nehézséget jelentenek a halmazelméletre nézve, sőt, minthogy halmazelméleti módszereket a matematika más ágaiban is használunk, az egész matematikára nézve. Hiszen amikor pl. bebizonyítottuk azt, hogy minden számosságnál van na-

gyobb számosság, a bizonyításban semmi sem mutatta azt, hogy az ellenkezőjét is be lehet bizonyítani, így tehát addig, amíg az antinómiákat ki nem küszöböljük a halmazelméletből, egyetlen egy halmazelméleti, sőt általában matematikai tételben sem bízhatunk, mert nem tudhatjuk, nem lehet-e az ellenkezőjét is bebizonyítani.

Mielőtt arról beszélnénk, hogy hogyan lehet a halmazelméletből az antinómiákat kiküszöbölni, azt a kérdést nézzük meg közelebbről, hogy mi a magyarázata annak, hogy antinómiák egyáltalában fellépnek a halmazelméletben. Ez a kérdés nem matematikai, hanem filozófiai kérdés. A matematikus, ha valami meglepő dolgot konstatál (pl. azt, hogy van olyan folytonos függvény, amely sehol sem differenciálható), akkor egyszerűen tudomásul veszi azt a meglepő tényt is; annak vizsgálatát, hogy miért van ez így, mint nem a maga szaktudományába tartozót, a filozófiára bízza. Így a matematikus azt is tudomásul veszi, hogy a halmazelméletben vannak ellentmondások.

Természetesen az, hogy az a kérdés, miért vannak a halmazelméletben ellentmondások, filozófiai kérdés, nem azt jelenti, hogy ne foglalkozzunk vele, hanem csak azt, hogy erre a kérdésre csak valamiféle filozófiai kiindulás alapján kaphatunk választ. Az idealista filozófia legkülönbözőbb iskolái megpróbáltak erre a kérdésre választ adni, azonban semmi elfogadható eredményre nem jutottak. A dialektikus materializmus fölényét az idealista filozófiával szemben mutatja az a tény is, hogy világos választ ad többek között erre a kérdésre is.

A matematika fejlődése során nem a halmazelmélet volt az első olyan fejezete a matematikának, amelyben ellentmondások léptek fel. Már az exakt matematikai gondolkodás hajnalkorában, a régi görög filozófusok körében ismeretes volt ZÉNÓN antinómiája: a gyorslábú Achilles nőm érheti utol a teknősbékát, ha előnyt ad neki, mert mire az előnyt bepótolja, a teknősbéka valamivel előbbre megy. Mire Achilles az így keletkezett újabb előnyt is bepótolja, a teknősbéka megint valamivel előbbre megy, stb., tehát a teknősbéka mindig előbbre lesz valamivel. Másrészt ZÉNÓN is ki tudta számítani elsőfokú egyenlet segítségével a teknősbéka előnyéből, valamint Achilles és a teknősbéka sebességéből, hogy mikor éri utol Achilles a teknősbékát. Mai szemmel nézve ZÉNÓN okoskodása hibás: megad végtelen sok olyan időpontot, amikor Achilles még nem érte utol a teknősbékát-és ebből arra következtet, hogy sohasem éri utol. Valójában azonban csak arra lett volna joga következtetni, hogy ás az időpont, amikor utoléri, későbbi, mint az általa megadott vég-

telen sok időpont. Abban a korban azonban, amikor mag nem voltak tisztázva az olyan fogalmak, mint hogy végtelen sok számnál lehet nagyobb szám (más szóval, hogy végtelen számhalmaz lehet felülről korlátos), komoly logikai nehézséget jelentett a ZENON-féle antinómia.

Magának a RUSSELL-féle antinómiának alapgondolata is a régi görögökre vezethető viasza, ők azonban nem matematikai, hanem logikai antinómiának tekintették, hiszen akkor még non volt halmazelmélet a világon. EPIMENIDES krétai filozófus mondotta egyszer: "minden krétai hazudik". Fígyelmeztették rá, hogy ha igazat mond, akkor ő is hazudik, hiszen ő is krétai. De az nem lehet, hogy igazat mondjon, hazudjék is; tehát nem mondott igazat, vagyis hazudott. De ha hazudott, akkor nem igaz az, amit mondott, vagyis nem igaz az, hogy minden krétai hazudik. Tehát - folytatják az erre vonatkozó görög források, - minden krétai igazat mond, és így EPIMENIDES is, amiről pedig kiderült az előbb, hogy lehetetlen. Az okoskodásnak ez az utolsó része hibás, hiszen úgy is megeshetik, hogy nem igaz, hogy minden krétai hazudik, hogy némely krétai igazat mond, de EPIMENIDES éppen hazudott. Ha azonban EPIMENIDES fenti kijelentése helyett azt mondta volna: "én most hazudok", akkor valóban antinómiához jutnánk. Mert ha igazat mondott, akkor igaz az, amit mondott, ti. hogy hazudott. Eszerint lehetetlen, hogy igazat mondott, mert az, hogy igazat mondott és hazudott is, nem fér össze. Más szóval valóban hazudott. De akkor az, amit mondott, ti. hogy hazudott, mégis csak igazság, tehát mégis igazat mondott, ellentétben azzal, hogy az előbb bebizonyítottuk, hogy hazudott. (Az EPIMENIDES-féle antinómiának a RUSSELL-féle antinómiával azonban csak a szerkezete, ti. az ellentmondás létrejöttének módja, közös; más szempontból viszont a RICHARD-féle antinómia rokon az EPIMENIDES-félével.)

Újabb ellentmondások léptek fel a differenciál- és integrálszámítás feltalálása idején is. Mai szemmel nézve ezeket Is hibás fogalomalkotásoknak és hibás okoskodásoknak tulajdonítjuk: a végtelen kicsi, végtelen nagy misztikusan bevezetett fogalmával és más hasonló ködös fogalmakkal való visszaélésnek. A maguk idejében azonban ezek is komoly logikai nehézséget jelentettek. Voltaképpen csak az analízis fogalmainak (határérték, végtelen sor ősz-szege, differenciálhányados, integrál) szabatos definíciója és a

rájuk vonatkozó tételeknek szabatos bizonyítása, amelyet CAUCHI kezdett meg és CANTOR, DBDEKIND és WEIERSTRASS fejezték be, küszöbölte ki ezeket az ellentmondásokat az analízisből, a végtelen kicsi és a végtelen nagy fogalmival együtt. Ezek helyett lényegében halmazelméleti fogalmakra, többek között a végtelen sorozatok, tehát bizonyos módon rendezett végtelen halmazok fogalmára építették fel az analízist. Röviddel ezután azonban a halmazelméletben léptek fel újabb ellentmondások.

2. A matematikában fellépő ellentmondások magyarázata a dialektikus materializmus alapján. A dialektikus materializmus világos választ ad arra a kérdésre, miért léptek fel a matematika fejlődésének egyes korszakaiban ellentmondások. A dialektikus materializmus tanítása szerint ugyanis a világnak, a tudatunktól független objektív valóságnak, egyik lényeges tulajdonsága az, hogy folytonos változásban, fejlődésben van. Ugyanígy fejlődésben vannak a világról való ismereteinek is; a világot csak megismerő módszereink fejlődése során lehet megismerni. A világ megismerésére szolgáló segédeszközeink között fontos szerepe van a matematikának. ENGELS klasszikus meghatározása szerint a matematika az a tudomány, amely az anyagi világ térformáival és mennyiségi viszonyaival foglalkozik. A matematika e szerepét csak ügy tudja betölteni, ha fokozatosan fejlődik. Már most a matematika fejlődésére is, mint minden fejlődésre, érvényesek a fejlődés dialektikus törvényei. Eszerint e fejlődés nem csupán mennyiségi változás, tehát nemcsak abban áll, hogy mindig több ós több fogalmat definiálunk és több és több tételt bizonyítunk be, hanem lassú mennyiségi változásai időnként hirtelen, minőségi változásba csapnak át. Ilyenkor tehát a változás gyökeresen megváltoztatja a matematika jellegét. Ilyen gyökeres változás volt az, amikor az ember egyáltalán elkezdett matematikai fogalmakról és kérdésekről szabatos módon gondolkodni. De hasonlóan gyökeres változást jelentett a differenciál- és integrálszámítás felfedezése Is. NEWTON és LEIBNIZ előtt Is kiszámították már néhány görbe vonalú idom területét ós szerkesztettek már érintőt néhány görbe vonalhoz, de NEWTON és LEIBNIZ nem a matematikának ezt a mennyiségi fejlődését fokozták, nem a speciális területképleteknek vagy érintő szerkesztéseknek számát növelték eggyel, hanem általánosan vetették fel a görbe vonalú idomok terület számításának és a görbe vonal érintője szerkesztésének kérdését.

változást jelentett a halmazelmélet felfedezése is. Egyes speciális halmazokat már CANTOR előtt is vizsgáltak, CANTOR azonban nem egy-két újabb speciális halmaz vizsgálatába fogott, hanem általánosan vetette fel a halmazok vizsgálatának kérdését.

A fejlődés dialektikus törvényeihez az is hozzátartozik, hogy olyankor, amikor a fejlődés mennyiségi változásokból minőségi változásokba csap át, ellentmondások törnek felszínre. Ezek az ellentmondások lappangva addig is meg vannak a jelenségek mélyén, nyilvánvalóvá azonban éppen a gyökeres változások Idején válnak. Az exakt matematikai gondolkodás hajnalkorán, a differenciál- és integrálszámítás feltalálása idején, a halmazelmélet keletkezésekor fellépő ellentmondásokat tehát a dialektikus materializmus értelmében annak kell betudnunk, hogy a matematika fejlődésének ezeket a stádiumait rohamos, minőségi változások jellemezték.

Megjegyezzük, hogy a logikát ellentmondás, amely abban nyilvánul meg, hogy két olyan tételt sikerül bebizonyítanunk, amelyek közül az egyik tagadja azt, amit a másik állit, csak speciális e-sete az általános, filozófiai értelemben vett ellentmondásnak. Filozófiai értelemben pl. olyankor is ellentmondásról beszélünk, amikor egy problémát nem lehet azokkal a módszerekkel megoldani, amelyek addig rendelkezésünkre állottak. Ilyen ellentmondás volt pl. a görög matematikában a között a probléma között, hogy mérjük meg a négyzet átlójának hosszát, egységül választva a négyzet oldalának hosszúságát, és aközött a tény között, hogy a görög matematika csak racionális számokat ismert. Ez az ellentmondás akkor tört felszínre, amikor kiderült, hogy a négyzet átlójának a négyzet oldalához való aránya nem fejezhető ki racionális számmal. Itt tehát nincs szó logikai ellentmondásról (nem azt bizonyították be, hogy a négyzet átlójának és oldalának aránya racionális is, meg nem is), mégis hasonló gyökeres változás kíséretében tört felszínre ez az ellentmondás a matematika fejlődésében, mint a fent említett logikai ellentmondások.

Mint mondtuk, a rohamos fejlődés idején fellépő ellentmondások már előbb is megvoltak, de lappangó formában. E lappangó formájuk feltárása olyan esetben, amikor egy tudománynak, tehát tudatunk egy jelenségének fejlődéséről van szó, bonyolultabb, mint pl. amikor a társadalom fejlődéséről beszélünk. A társadalom fejlődésének azok a korszakai, amikor a mennyiségi változások minő-

ségi változásokba csapnak át, a forradalom korszakai. A forradalmak alkalmával felszínre kerülő ellentmondások előzőleg iá megvoltak a társadalomban a dolgozó osztályok, valamint azon kizsákmányoló osztály közötti osztályellentét alakjában, amelynek uralmát a kérdéses forradalom megdöntötte, a forradalmat megelőző társadalmi és gazdasági rendszer belső ellentmondásai alakjában. Ezzel szemben a matematika ellentmondásainak lappangó alakját nem kereshetjük magában a matematikában, hiszen a matematika, mint tudatunk minden jelensége, csak visszatükröződése a való világnak, így a matematika ellentmondásai mögött rejlő, esetleg tudatunkhoz tartozó, ideológiai ellentmondások végső fokon megint csali: a társadalomban, a termelési viszonyokban fellelhető ellentmondások tükröződései.

Világos ez a differenciál- és integrálszámítás ellentmondásaira nézve. Ezeknek az ellentmondásoknak közvetlen oka az, hogy ás a mód, ahogy NEWTON és LEIBNIZ új módszerüket kifejezték, nem felel meg azon problémák természetének, amelyekre azokat alkalmazni kellett. Ez nem okozott zavart NEWTON és LEIBNIZ matematikai alkotásaiban, mert hiszen ők magukat az általuk alkotott módszereket ismerték és így nem zavarta Őket az a kifejezésmód, amit ezeknek a módszereknek elmondására alkalmaztak. Ami inkább zavarta azonban az utánuk következő matematikusokat, akik a differenciálás integrálás módszerét csak NEWTON és LEIBNIZ kifejezésmódján keresztül érthették meg.

Már most maguk a problémák, amelyeket NEWTON és LEIBNIZ, főleg az előbbi, felvetettek és amelyek az utánuk következő matematikusokat is foglalkoztatták, igen nagy számban mechanikai problémák voltak. E problémák megoldása azért vált NEWTON és LEIBNIZ korában és az utánuk következő időszakban aktuálissá, mert a kapitalizmus fejlődése mind újabb és újabb gépek feltalálásával járt együtt és eközben újabb és újabb mechanikai problémák merültek fel. Maguk a problémák tehát, amikkel a tudomány foglalkozott, mint minden fejlődő korszakban, úgy a fejlődő kapitalizmus korszakában is, a valóságból merített problémák voltak. Ezzel szemben azt a módot, ahogyan NEWTON és LEIBNIZ, különösen az utóbbi, azokat a módszereket elmondták, amelyeket e problémák megoldására feltaláltak, nagymértékben befolyásolta koruknak uralkodó ideológiája. LEIBNIZ, mint tudjuk, nemcsak híres matematikus, de

neves filozófus is volt. Filozófiája az idealista filozófiának egy erősen misztikus, metafizikus fajtájához tartozik (annak ellenére, hogy LEIBNIZ ebben a tekintetben nem volt következetes és időnkint alkalmazta a dialektikus módszert is). Nem is lehetett elismert, neves filozófus valaki a kapitalizmus korszakában, ha nem a metafizikus idealista világnézet filozófiáját vallotta magáénak, hiszen a materialista filozófia még az akkori, metafizikus formájában is, az uralkodó osztályok üldözésének tárgya volt, dialektikus materializmusról pedig még egyáltalán nem is lehetett sző.

LEIBNIZ filozófiájának metafizikus jellegét mutatja pl. az a tény, hogy tagadta a dialektika egyik legfontosabb megállapításának érvényét, annak a megállapításnak, hogy a világ jelenségei szoros kapcsolatban és összefüggésben vannak egymással. LEIBNIZ ezzel szemben azt állította, hogy mindez az összefüggés csak látszat. A világ összefüggés nélkül magukban működő egyedeknek, a LEIBNIZ által kreált szakkifejezéssel monaszoknak összessége. Az, hogy a világon rend van, LEIBNIZ szerint olyanféle jelenség, mint hogy egy órásüzletben is egyformán mutatnak az összes órák, ha az órás jól készítette őket és egyformán állította be őket, anélkül, hogy az egyes órák szerkezete között valamiféle áttétel volna. LEIBNIZ szerint az egyes összefüggés nélküli monaszokat is ügy szerkesztette meg valaki és ügy indította el működésüket, hogy a világ végezetéig harmonikusan működjenek együtt.

Leibniznek ez a "praestabilita harmónia" elmélete mélyen rányomta bélyegét LEIBNIZ egész gondolkodására és így természetes, hogy az a kifejezésmód, ahogyan matematikai gondolatait az utókor számára megírta, szintén magán viseli ennek az idealista metafizikus világnézetnek nyomait. Ahogy a világot egyes összefüggés nélküli monaszokból képzeli összetevő, ugyanúgy gondolta el a különféle mennyiségeket (pl. egy vonal hosszát, egy görbe vonalú idom területét, stb.) "végtelen kicsi" mennyiségekből összetéve. Felfedező társa, NEWTON, maga nem volt filozófus, hanem azonkívül, hogy kiváló matematikus volt, a fizikában is maradandóvá tette nevét. Mint fizikusnak, szorosabb kapcsolata volt a valósággal, a természettel, mint a fellegekben járó filozófus Leibniznek. E kapcsolata révén sokszor lényegesen világosabban fejezte ki magát, mint LEIBNIZ. Egy helyen pl. ezt írja: "a fluxiók módszerében (vagyis mai kifejezéssel: a differenciálszámitásban) semmi szükség sincs

arra, hogy végtelen kicsiny idomokat vezessünk be a geometriába". Kora uralkodó filozófiájának hatása alól azonban ő sem vonhatta ki magát. Élete végén a reakció nyomására abba la beleegyezett, hogy tanítványa, COTES, átdolgozza MBWTON főműve a "Philosophiae Naturális Principia Mathematica"-t, mégpedig olymódon, hogy az első kiadásban megmutatkozó ösztönös materialista megnyilvánulásokat kihagyta belőle. Természetes tehát, hogy az a kifejezésmód, ahogyan NEWTON az utókorra hagyta a differenciálszámításra és az integrálszámításra vonatkozó felfedezéseit, szintén tartalmazott Leibnizéhez hasonló misztikus kifejezéseket.

Ezzel tehát a differenciál- és integrálszámítással kapcsolatban fellépő ellentmondásokat visszavezettük a fejlődő kapitalizmusnak a valóságból vett problémái és ugyanezen kor uralkodó ideológiája közötti ellentmondásra. Mélyebb elemzés természetesen felleli e mögött az ellentmondás mögött azt az alapvető ellentmondást, hogy a kapitalizmus a maga fejlődő korszakában is elválaszthatatlanul össze volt kötve a kizsákmányolással; hiszen a metafizikus idealista filozófiának az volt a szerepe a fejlődő kapitalizmus korszakában is, hogy segítsen a kizsákmányolóknak féken tartani és sorsukba való beletörődésre kényszeríteni a kizsákmányolt tömegeket. Így tehát végelemzésben a differenciál- és integrálszámítással kapcsolatban fellépett matematikai ellentmondások mélyén is a kapitalista társadalom, a tőkés termelési viszonyok alapvető ellentmondásai rejlenek.

Ha a görög filozófia korának társadalmi és termelési viszonyait szemügyre vesszük, akkor nem nehéz kimutatni azt, hogy hasonlóan, az exakt matematikai gondolkodás kezdetén fellépett ellentmondások mögött fel lehet fedezni a rabszolgatársadalom alapvető ellentmondásait.

3. A halmazelmélet antinómiáinak magyarázata a dialektikus materializmus alapján. A halmazelmélet antinómiái a kapitalizmus hanyatló korszakában léptek fel. Akkor, amikor az egymás után fellépő gazdasági válságok nyilvánvalóvá tették a kapitalizmus ellentmondásait. Ez a helyzet megindította a kapitalista társadalom kritikáját; a kritika aztán átcsapott más térre is, így többek között a matematika terére is. Nagy szerepe volt ennek abban, hogy a az analízist megtisztították azoktól az ellentmondásoktól, amelyek a differenciálszámítás és Integrálszámítás módszerének NEWTON-

LEIBNIZ-fé1e kifejezésmódja, a végtelen kicsiny és végtelen nagy mennyiségekkel való gátlás nélküli számolás kapcsán léptek fel. (Más kérdés az, hogy e misztikus' fogalmak helyére túlságosan aprólékos "epszilontika" lépett, ami csak az analízis logikailag hibátlan megalapozását tartotta szem előtt, de nem mindig számolt a gyakorlati élet követelményeivel. Természetesen ennek is társadalmi, gazdasági oka van: a hanyatló kapitalizmus uralkodó osztályának már nem volt érdeke a termelés fejlesztése és így nem látta el a matematikát a való életből vett problémákkal olyan mértékben, mint a fejlődő kapitalizmus kora; mintegy magára hagyta, hogy csak a maga által felvetett problémákkal foglalkozzék.) Mint már említettem, az analízis ellentmondásainak kiküszöbölése lényegében halmazelméleti módszerekkel történt; többek között ez indította meg a végtelen halmaz fogalmával kapcsolatban felvetődő kérdések vizsgálatát.

Ha már most megnézzük azt, hogy tulajdonképpen mi jutott ellentmondásra a halmazelmélet antinómiáiban, akkor kiderül, hogy a halmazelmélet antinómiái a metafizikus idealizmus csődjét mutatják be a matematikán belül. Ez legvilágosabban a RUSSELL-féle antinómiával kapcsolatban látható. Ehhez az antinómiához ügy jutottunk, hogy az összes dolgok halmazát, mint egyszer s mindenkorra adott, változatlan összességet tekintettük. Az antinómia létrejöttéhez nagyon lényeges az, hogy a dolgok közé nemcsak a konkrét dolgokat soroljuk, hanem a matematika elvont fogalmait, így többek között éppen a halmazokat is, hiszen az ellentmondás éppen az által jön létre, hogy az összes halmazok halmaza egyrészt hatványhalmaza az összes dolgok halmazának, másrészt azonban részhalmaza ás ez utóbbi csak akkor áll, ha a halmazokat magukat is dolgoknak tekintjük. Valójában azonban a halmazok, a matematika egyéb absztrakcióihoz hasonlóan, tudatunk jelenségei. Ezeket az absztrakt fogalmakat azért alkotjuk meg tudatunkban, hogy ezek segítségével a valóság megismerését megkönnyítsük. Az absztrakt fogalmai lehetőséget adnak arra, hogy a valóságnak olyan tulajdonságait fedjük fel, amelyek különböző körülmények között egyaránt érvényesek; az absztrakció elsősorban éppen ezektől a különböző körülményektől való eltekintést jelenti avégett, hogy a különböző körülmények között lejátszódó jelenségekben a közöset észrevegyük. Ha nem absztrahálnánk, akkor a valóságért csak ügy ismerhetnők meg, ha minden

Ha azonban a dolgoknak, beleértve tudatunk jelenségeit, elvont fogalmainkat, többek között a halmazokat is, egyszer s mindenkorra adott változhatatlan, öröklétet tulajdonítunk, akkor ezzel már a metafizikus idealizmus hibájába estünk. A metafizikus ideológia egyik legelső képviselője, PLATON fogalmazta meg a maga világfelfogását olymódon, hogy az absztrakt fogalmak, az "ideák" a valóságban léteznek, sőt csak az ideák léte az igazi lét, a konkrét dolgok PLATON szerint csak az ideák halvány tükörképei. PLATÓN szerint az ember születése előtt az ideák világában ált, azokat közvetlenül szemlélte; jelenlegi "tökéletlen" létében pedig a konkrét dolgokban ezeknek az ideáknak mintegy árnyékait szemléli, akárcsak a barlangban tartózkodó, a barlang bejáratával háttal álló ember a barlang falán a külső világ tárgyainak árnyékát. PLATON szerint a megismerés ügy jön létre, hogy ezek az árnyképek emlékeztetik az embert azokra az ideákra, amelyeket születése előtt közvetlenül szemlélt. Az a feltételezés, hogy van olyan egyszer s mindenkorra megadható halmaz, amely minden dolgot tartalmaz, többek között a tudatunk alkotta absztrakt fogalmakat, köztük az összes halmazokat is, a PLATON-féle idea-elmélet modernizált alakja; így tehát a RUSSELL-féle antinómiában éppen ennek a feltételezésnek a képtelensége derült ki.

PLATÓN idea-elmélete a természet valóságos viszonyainak fejetetejére való állítása; valójában tudatunk jelenségei a tőlünk függetlenül létező világ Jelenségeinek visszatükröződése agyunkban. Tudatunkban a világ megismerésére irányuló törekvésünk során mind újabb és újabb absztrakt fogalmakat hozunk létre; így az összes dolgok halmazának, beleértve az absztrakt fogalmakat is, mint egyszer s mindenkorra adott halmaznak, nincs értelme.

Hangsúlyozzuk, hogy a metafizikus idealizmus alkalmazása az összes dolgok (vagy az összes halmazok, összes számosságok, összes rendszámok) halmazának képezése során nem abban áll, hogy nemcsak konkrét tárgyak halmazáról beszélünk, hanem olyan halmazokról is, amelyeknek elemei absztrakció utján keletkezett fogalmak. Hiszen akkor pl. az összes természetes számok halmazáról, vagy az összes valós számok halmazáról sem lehetne beszélni. Már pedig az anyagi világ mennyiségi viszonyaira vonatkozó általános törvények feltárása végett nemcsak megengedett, de szükséges is az absztrakciónak az a következő foka, hogy a már absztrakció utján létrehozott természetes számokat, vagy a valós számokat, egyidejűleg, összességükben tekintsük. Igaz ugyan, hogy az anyagi világ mennyiségi viszonyainak feltárása során mind újabb és újabb (mind nagyobb és nagyobb) természetes számok figyelembe vételére lehet szükségünk, azonban ezek az újabb természetes számok is ugyanúgy keletkeznek, mint az eddig figyelembe vett természetes számok: az l ismételt összeadása utján. Ennél fogva tekinthetjük egyidejűleg mindazokat az absztrakt fogalmakat, amelyekhez az 1-ből az l ismételt hozzáadása utján el lehet jutni, vagyis az összes természetes számokat, hogy közös tulajdonságaikat megvizsgálhassuk. Hasonlóan tekinthetjük az összes valós számok, mint az összes végtelen tizedes törtek összességét. Az összes (konkrét és absztrakt) dolgok, vagy pl. az összes halmazok összessége esetén egészen más a helyzet, mert a tetszőleges absztrakt fogalmak képezésére szolgáló módszerek nem adhatók meg előre (mint pl. az l ismételt hozzáadása, amivel minden természetes számhoz el lehet jutni), hanem maguk is fejlődnek annak során, hogy az anyagi világ mind általánosabb objektív törvényszerűségeit ismerjük meg. Így az összes dolgok (és hasonlóan pl. az összes halmazok) halmazához csak az a feltételezés vezethet, hogy az összes jövőbeli absztrakciók utján keletkező fogalmak előre megvannak valahol (az "ideák világában"), tehát az absztrakció utján nem mi képezzük őket tudatunkban, csak rájuk ismerünk! ez pedig a metafizikus idealizmus álláspontja.

gyarázata a dialektikus materializmus szempontjából. A RICHARD-féle antinómia mindkét említett (eredeti RICHARD-féle és KÖNIG GYULA-féle) alakja azon a feltételezésen alapul, hogy az, hogy valamely mondatnak van-e egy nyelven értelme és hogy mi az értelme, többek között, hogy definiál-e egyértelműen valamely természetes (ill. valós) számot, egyszer s mindenkorra adott valami. Valójában azonban a nyelv is dialektikus jelenség; egy-egy mondatnak az értelme nem egyszer s mindenkorra adott valami, hanem a nyelv fejlődésének van alávetve. A nyelv már pusztán azáltal, hogy beszélünk rajta, szakadatlan fejlődik, így azoknak a pozitív egész számoknak a halmaza, amelyek nem definiálhatók száz írásjellel, sem egyszer s mindenkorra adott halmaz; abban a pillanatban, hogy kimondjuk a definíciót, hogy "a legkisebb, magyar nyelven száz írásjellel nem definiálható természetes szám", máris megváltozik ez a halmaz- és ennél fogva más lesz a legkisebb eleme is. Ily módon tehát a halmazelmélet antinómiái mögött felfedezhetjük azt az ellentmondást, amely a XIX. században ébredező kritikai szellem és az ugyanakkor még mindig uralkodó metafizikus idealizmus között áll fenn. E mögött az ellentmondás mögött végelemzésben az az ellentmondás rejlik, amely a között van, hogy a hanyatló kapitalizmus korában már nyilvánvalóvá lettek a kapitalizmus hibái és a között, hogy ennek ellenére továbbra is fenn akarják tartani a kapitalizmus rendszerét, e rendszer haszonélvezői.

4. A halmazelmélet antinómiái idealista magyarázatának kritikája. Annak magyarázatával, hogy a halmazelméletben miért léptek fel logikai ellentmondások, az Idealista filozófiának különböző iskolái is megpróbálkoztak. Ezekkel a próbálkozásokkal itt csak vázlatosan ismerkedhetünk meg, mert a legtöbbjük matematikai logikai ismeretekre épít, jobban mondva, a matematikai logika mögé próbálja a maga idealista felfogását rejteni.

Valamennyi idealista magyarázat megegyezik abban, hogy a halmazelmélet ellentmondásait valami váratlan, előre nem látható katasztrófának tartja, és abban a véleményben is, hogy a halmazelmélet antinómiái válságot okoztak a matematikában. A részletekben azonban eltérnek egymástól az egyes idealista iskolák magyarázatai.

tek létre, mert az emberek vizsgálni kezdték a végtelen "titkait", amelyek az emberi elme számára örökké rejtve kell maradniok, csak két idealista iskolának: a logicizmusnak és az intuicionizmusnak magyarázatát említem. A logicizmus legfőbb képviselője RUSSELL, a halmazelmélet első antinómiájának felfedezője, valamint munkatársa, WHITEHEAD. Az ő véleményük szerint a matematika nem egyéb, mint a logika egy fejezete, a matematikai tételek tulajdonképpen logikai tételek és így a halmazelmélet ellentmondásai is logikai ellentmondások, amelyeket logikai hibák hoztak létre. E véleményük alátámasztására részletesen kifejtik a matematika különböző fejezeteinek fent vázolt halmazelméleti felépítését, amelyet azzal az indokolással neveznek logikát felépítésnek, hogy a halmaz fogalmát (osztály néven) logikai fogalomnak tekintik. Népszerű publikációiktól eltekintve, a matematikai fogalmak definícióját és a tételek bizonyítását a matematikai logika jeleivel írják le, hogy azok állítólagos logikai jellegét ezzel is hangsúlyozzák; evégett a matematikai logika jelölésrendszerét számos új jellel bővítik.

WHITEHEAD és RUSSELL szerint a halmazelmélet ellentmondásait olyan logikai hiba hozta létre, amely rokon a circulus vitiosus-nak (hibás körnek) nevezett hibával. E néven a logikában azt a hibát értik, amit akkor követünk el, ha egy fogalom definíciójában felhasználjuk magát azt a fogalmat is, amit definiálni akarunk, vagy ha egy tétel bizonyításában hivatkozunk magára a bebizonyítandó tételre is. WHITEHEAD és RUSSELL szerint az is circulus vitiosus, ha valamely definícióban felhasználunk egy olyan összességet (halmazt), aminek a definiálandó dolog is eleme. Így pl. a RUSSELL-féle antinómiában szereplő G halmaz definíciója: az összes halmazok közül azoknak az összessége, amelyek elem gyanánt nem tartalmazzák önmagukat, tehát hivatkozik az összes halmazok összességére, amelybe a definiálandó G halmaz is beletartozik. Vagy pl. a BURALI-FORTI-féle antinómiában szereplő r rendszám definíciója: az összes rendszámok nagyság szerint rendezett halmagának rendtípusa; ez a definíció felhasználja az összes rendszámok halmazát, amelynek r is eleme. Vagy pl. a RICHARD-féle antinómiában egy természetes számot (a legkisebb, száz írásjellel nem definiálható természetes számot) az összes természetes számok halmazára hivatkozva definiálunk (ti. ebből kell kiválogatnunk

WHITEHEAD és HUSSELL kiindulása, ti. hogy a matematikát a logikára akarják felépíteni, tipikus idealista felfogásról tanúskodik. A matematika ugyanis az anyagi világgal, annak bizonyos formáival és viszonyaival foglalkozik; ezzel szemben a logika a helyes gondolkodás formált és törvényeit vizsgálja. Azt állítani, hogy a logika előbbre való, mint a matematika, hogy tehát a matematikát a logikára kell felépíteni, azt jelenti, hogy a gondolkodásnak, tehát a tudat egy jelenségének elsőbbséget tulajdonítanak az anyagi világ, a lét előtt, ez pedig az idealizmus felfogása.

A logicizmus nem ad elfogadható magyarázatot az antinómiák létrejöttére. Téves az a beállítás, hogy ezek logikai antinómiák. BOCSVAR szovjet matematikus rámutatott arra, hogy WHITEHEAD és RUSSELL "logikai" rendszere olyan axiómákat is felhasznál, amelyek nem a helyes gondolkodás formáira és törvényeire vonatkoznak, (tehát nem tartoznak a logikába) és bebizonyította, hogy ha ezeket az axiómákat elhagyjuk, akkor olyan rendszert kapunk, amelyben akkor sem jutunk ellentmondásra, ha olyan definíciókat használunk, amelyekben WHITEHEAD. és HUSSELL szerint circulus vitiosus van, amennyiben felhasználnak olyan halmazt, amelynek eleme a definiálandó fogalom. Egyébként az, hogy egy definícióban van-e ilyen értelemben vett circulus vitiosus, nem állapítható meg egyértelműen; pl. az, hogy a RUSSELL-féle antinómiában a G halmaz az összes halmazok segítségével van-e definiálva, fogalmazás kérdése.

Különben is lépten-nyomon használunk a matematikában olyan definíciókat amelyek valamely dolgot (pl. számot) egy olyan halmaz segítségével definiálnak, amelynek a definiálandó dolog is eleme. (Az ilyen definíciókat POINCARÉ, aki e definíciók eltiltásában követi Whiteheadet és Russellt, impredikatív definícióknak nevezi.) Pl. egy függvény maximuma a függvény értékei közül az, amely a függvény értékkészletének (tehát a függvény összes értékei halmazának) nagyobb eleme, egy számhalmaz felső határa a számhalmaz felső korlátjai halmazának légkisebb eleme, két egész szán legnagyobb közös osztója a két szám közös osztói halmázának legnagyobb eleme (vagy az az eleme, amely a halmaz bármely elemével osztható). Az ilyenfajta definíciók eltiltása megbénítaná az egész matematika fejlődését.

Az intuicionizmus legfőbb képviselője BROUWER. Az ő véleménye szerint a matematika nem a logikára, hanem valami misztikus, közelebbről meg nem magyarázható, velünk született "ősintuícióra" épül. A halmazelmélet antinómiái BROUWBR szerint úgy jöttek létre, hogy gépiesen alkalmazták a logika törvényeit, többek között a harmadik kizárásának elvét, végtelen halmazokra is, holott azokat a véges halmazok körében szerzett tapasztalatokból merítettük és így a végtelen halmazokra való alkalmazásuk téves általánosítás. A végtelen halmazok körében BROUWEB szerint nem a logika törvényei, hanem az ősintuíció igazit el bennünket. Az ősintuíció szerint meg van engedve a pozitív egész számok halmazáról beszélni, de valamely pozitív egész szám létezését csak akkor állíthatjuk, ha módszert ismerünk annak konstruálására} általában valaminek a létezését csak a konstrukció' bizonyítja (nem pedig a logika törvényei, pl. az, hogy nemlétezésének feltételezése ellentmondásra vezet). A valós számok összességét nem mint halmazt engedi meg BROUWEH, hanem mint a "szabad keletkezés közegét"; a valós számok soha sincsenek készen, hanem mindig keletkezőben vannak, így egy függvény csak akkor van értelmezve a valós számok körében, ha a független változóhoz már annak keletkezése során (vagyis tetszőleges pontossággal való megközelítése során) hozzárendeli az ugyancsak keletkezőben levő függvényérték egymás utáni közelítő értékeit. Így tehát BROUWER csak folytonos függvényeket enged meg (legalább is csak ilyenek lehetnek nála mindenütt értelmezve). Az összes függvények halmaza már semmilyen értelemben sincs rendszerében megengedve, még kevésbé a magasabb számosságú halmazok, így tehát az összes dolgok halmazáról sem lehet beszélni.

BROUWBR idealista felfogásának van némi racionális magva; így pl. az igaz, hogy valamely mennyiség megkonstruálása többet ér (pl. a matematika alkalmazásai szempontjából is), mint puszta létezésének bizonyítása, így pl. többet érünk egy olyan végtelen sorral, amelynél minden pozitiv e-hoz meg tudunk konstruálni egy olyan v-t, hogy ha n > v, akkor a sor n-edik részletösszege e hibahatáron belül megközelíti a sor összegét, mint egy olyan sorbafejtéssel, amelynek éppen csak a konvergenciája van bebizonyítva. A valós szám intuicionista fogalmában is megcsillan a dialektika alkalmazását pl. a végtelen tizedes törtek tényleg valami keletkezést, fejlődést tükröznek, ti. a valóságban előforduló mennyiségek mind pontosabb mérését a mérőmódszerek fejlődése során. Az ősintuíció elmélete azonban menthetetlenül

idealista elmélet; végelemzésben arra szolgál, hogy az intuicionisták letagadhassák a matematika tapasztalati eredetét, az anyagi világra vonatkozó jelentéit. Ebből az idealista kiindulásból ered BROUWER legfőbb hibája: mindent elvet, amit az ősintuició szerinte nem igazol, így nemcsak a halmazelmélet, de az analízis tételeinek jelentős részét is, ami elméletének destruktív jellegét mutatja. A valós függvények halmazának és magasabb számosságú halmazoknak meg nem engedése teljesen indokolatlan; a valós számokhoz hasonló, de bonyolultabb módon a valós függvényeket is lehet "keletkezőben levő" fogalmaknak tekinteni, mert egy valós függvény megadása is dialektikus folyamat.

Téves dolog továbbá a halmazelmélet antinómiáiért a logika törvényeit, többek között a harmadik kizárásának elvét felelőssé tenni. Pl. a RUSSELL-féle antinómiát fentebb úgy fogalmaztuk, hogy nem használtuk fel ezt az elvet (mint abban a fogalmazásban, amely abból indul ki, hogy vagy G Î G, vagy G Ď G). Ehelyett abból a feltevésből, hogy G Î G, ellentmondást vezettünk le; ez azt mutatja, hogy G Î G lehetetlen, tehát G Ď G (ezt az okoskodást az intuicionisták is megengedik). Majd az így bebizonyított G Ď G tételből hoztunk le ellentmondást, ugyancsak a harmadik kizárása elvének alkalmazása nélkül.

Látjuk tehát, hogy az idealista filozófia csak olyan magyarázatot tud adni a halmazelmélet antinómiáira, amely - következetesen végiggondolva - a matematika megcsonkításához, lényeges részeinek elvetéséhez vezet, tehát a matematika fejlődését gátolja. Egyedül a dialektikus materializmus tudja az antinómiák létrejöttét úgy megmagyarázni, hogy a magyarázat termékeny legyen a matematika fejlődése szempontjából.