(összeállítva: 2001.08.28, megjegyzésekkel ellátva: 2002.05.16, GJ.)
Forrás: http://www.miskatonic.org/godel.html (Last modified: Thu Jul 20 21:03:38 EDT 2000)
"In 1931, the Czech-born mathematician Kurt Gödel demonstrated that within any given branch of mathematics, there would always be some propositions that couldn't be proven either true or false using the rules and axioms ... of that mathematical branch itself. You might be able to prove every conceivable statement about numbers within a system by going outside the system in order to come up with new rules an axioms, but by doing so you'll only create a larger system with its own unprovable statements. The implication is that all logical system of any complexity are, by definition, incomplete; each of them contains, at any given time, more true statements than it can possibly prove according to its own defining set of rules."
My comment: Not for all branch of mathematics - just for very special ones! What is the complexity required?
Forrás: Mérő László (1989) Észjárások, Budapest: Akadémiai kiadó, 248. o.
"Gödel tételének felismerésével a tudomány rájött, hogy akármilyen kereteket, axiómarendszereket alakít ki magának, mindig lesznek olyan igazságok, amelyek az adott kereteken belül nem bizonyíthatók be."
Megjegyzésem: Ez a mondat kétféleképp értelmezhető: tetszőleges állításról ("igazságról") avagy csak a rendszer keretein belül megfogalmazható állításról van szó?
Az első értelmezés esetén:
Ezt Gödel előtt is tudta mindenki, hiszen pl. a geometria Euklidésztől származó (majd Hilbert által teljessé tett) axiómarendszerétől senki nem várta el soha, hogy belőle mondjuk a számelméleti tételek is levezethetők legyenek.
A második értelmezés esetén (vélhetően ez az értelmezés fejezi ki a szerző szándékát):
A Gödel tétel az adott rendszer keretein belül megfogalmazható, ugyanakkor mégsem eldönthető állításokról szól.
Ez viszont nem "akármilyen" keretekre, csak nagyon speciálisakra igaz. (ld. pl. alább a Ruzsa Imre, Urbán János idézetet, vagy a Péter Rózsa idézetet.)
Tehát: egyik értelmezés szerint sem igaz az idézőjelbe tett, aláhúzott mondat.
Forrás: Mérő László (1996). Mindenki másképp egyforma. Budapest: Tericum kiadó.
pp. 50. "Mint azt Gödel tétele (1931) magának a logikának az eszközeivel megmutatta, egyetlen adott rendszerben sem lehet a rendszeren belül megfogalmazható összes igazságot levezetni ".
Megjegyzésem: Ez már pontosabb, de itt sem igaz, hogy "egyetlen adott rendszer"-re, csak bizonyos speciálisakra: olyanokra, melyek saját objektumként képesek kezelni saját formuláikat. (ld. itt és itt.) A geometria, az algebra, a newtoni mechanika, a relativitáselmélet stb. axiómarendszerei közül egyik sem ilyen! Az népszerűségre törekvő ismeretterjesztés nem ment fel a pontosság iránti igény alól.
Forrás: Krajcsi Attila (1998) Logikai többértelműségek, Szakdolgozat, ELTE, BTK, Pszichológia szak. Témavezető: Mérő László.
pp.10." Minden rendszerben vannak olyan értelmes kijelentések, amelyek nem vezethetőek le. Ez Gödel híres-neves tétele. Az benne a fontos a mi szempontunkból, hogy olyan állításokra, amire a logika nem tudja megadni a megfelelő levezetést (mert bizonyíthatóan nincs is ilyen levezetés), az ember képes választ adni."
Megjegyzésem: Tényleg így gondolod, Attila? Akkor légy szíves döntsd el, igaz-e a következő állítás, és válaszolj rá igennel vagy nemmel:
"Krajcsi Attila nem tudja bebizonyítani ennek az állításnak az igazságát."
Forrás: Ruzsa Imre, Urbán János (1966) A matematika néhány filozófiai problémájáról, Matematikai logika, Budapest: Tankönyvkiadó
pp. 504. "Gödel tételét nem egészen szabatosan így fogalmazhatjuk meg: Ha egy axiómarendszer ellentmondástalan, továbbá bizonyos értelemben eléggé kifejező, akkor nem kategorikus."
pp. 458. "Egy axiómarendszer kategorikus, ha tetszőleges, hozzá tartozó D formulára vagy D, vagy not D tétele A-nak."
pp. 457. "Egy véges sok axiómából álló A axiómarendszerben megfogalmazható ítéletek (formulák) közül azok tételei az axiómarendszernek, amelyek következményei az axiómáknak."
pp. 504/a. "Az általános tétel bizonyítása, sőt már a tétel szabatos kimondása is (annak pontos körülhatárolása, hogy mit követelünk meg a kérdéses axiómarendszertől), az ebben a munkában ismertetett logikai apparátus mellett még egy sor mélyebb eszközt is felhasznál, ezért részletesen nem tárgyalhatjuk."
pp. 504/b. "A bizonyítás alapgondolatát egy konkrét rendszer példáján, az egész számok aritmetikájának axiómarendszerén mutatjuk be."
Megjegyzésem: Ok, ez korrekten felhívja a figyelmet arra, hogy a szabatos kimondáshoz, a feltételek pontos megfogalmazásához mélyebb ismeretek szükségesek. Olyan mélyek, hogy ahhoz 500 oldal előkészítés sem elégséges. Tehát: csak bizonyos nagyon szofisztikált feltételeknek eleget tevő axiómarendszerekre érvényes a Gödel tétel. Semmi esetre sem mindegyikre.
Forrás: Péter Rózsa (1963) Játék a végtelennel, Budapest: Gondolat,
pp. 260. "Hogy keveset fognak az axiómarendszerek, azt Gödel meglepő felfedezése tárta fel: az, hogy minden valamirevaló axiómarendszernek, mely a számelméletet tartalmazza, vannak eldönthetetlen problémái."
Megjegyzésem: A geometria, az algebra, a topológia, analízis, newtoni mechanika, a relativitáselmélet, a valószínűség számítás, stb. stb.: ezek "valamire való" rendszerek? Mert ezekre nincs bizonyítva, hogy érvényes lenne rájuk a Gödel tétel.
Forrás: http://www.typotex.hu/m_0045s.html, Typotex könyvkiadó ismertetése
Kurt Gödel (1906-1978) osztrák származású amerikai matematikus; a matematikai logika, a matematikai analízis és a matematikai fizika terén ért el kimagasló eredményeket. Smullyan e kötete Gödel híres tételével - a nemteljességi tétellel - foglalkozik. Gödel 1931-ben bizonyította be, hogy bizonyos feltételeknek eleget tévő axiómarendszerekben mindig található olyan állítás, amely nem következménye az axiómarendszernek, de az ellenkezője sem, amelyet tehát az axiómarendszeren belül sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet. Smullyan korábbi munkáihoz hasonlóan rendkívül szellemesen és szemléletesen mutatja be és vezeti le a bizonyítási eljárásokat. - A kötet matematikusok, filozófusok, a számítógép-tudománnyal foglalkozó szakemberek számára fontos mű.
Megjegyzésem: Kurt Gödel életrajza itt található: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Godel.html,. Eszerint Brnoban született, 1906-ban. Az életrajz szerint (is) Brno akkor az Osztrák Magyar monarchia része volt, valójában Csehország második legnagyobb városa (ld. http://www.brno-city.cz/main/index-en.htm) Akkor most Gödel osztrák? Vagy cseh? Vagy ... magyar?